1、第七章二階電路聯情況。用二階線性常微分方程描述的電路稱為二階電路，二階電路中至少含有兩個儲能元件一一當然含 有兩個儲能元件的電路并不一定為二階電路，比如兩個電容（電感）串（并）重點:電路微分方程的建立 特征根的重要意義 微分方程解的物理意義難點:1.電路微分的解及其物理意義2.不同特征根的討論計算7.0知識復習、二階齊次微分方程的通解形式ay'' by' cy 0，其特征方程為：ap2bp C 0,特征根:P1,2b2ab2 4ac。4a當特征方程有不同的實根Pl、P2時,y AeP1A.eP2t當特征方程有相同的實根(AA2t)ept當特征方程有共軛的復根P1,2j

2、時，y e ()tt (A costA2 sin t)二、歐拉公式廣 ej cosj sinr sin(ej( t ) e j( t )j2e j cosj sinL cos(7.1二階電路的零輸入響應7.1.1二階電路中的能量振蕩在具體研究二階電路的零輸入響應之前，我們以僅僅含電容與電感的理想二階電路（即R=0,無阻 尼情況）來討論二階電路的零輸入時的電量及能量變化情況。Uo(c)(d)圖8-1 Lc電路中的能量振蕩"cJ（b）1c+設電容的初始電壓為 U。，電感的初始電流為零。在初始時刻，能量全部存儲于電容中，電感中沒有L蟲0， Q 0 )，這樣電流將不斷增大， dtdt原來存儲

3、在電容中的電能開始轉移，電容的電壓開始逐漸減小。當電容電壓下降到零時， 電感電壓也為零，此時電流的變化率也就為零，電流達到最大值10,此時電場能全部轉化為電磁能，存儲在電感中。dUcic iL I0 Cdt儲能。此時電流為零，電流的變化率不為零(電容電壓雖然為零，但其變化率不為零(Uc Ul從I0逐漸減小，電容在電流的作用下被充電(電壓的極性與以前不同)間，能量再度全部存儲在電容中，電容電壓又達到，只是極性與開始相反。0，罟0)，電路中的電流，當電感中的電流下降到零的瞬之后電容又開始放電，此時電流的方向與上一次電容放電時的電流方向相反，與剛才的過程相同,能量再次從電場能轉化為電磁能，直到電容電

4、壓的大小與極性與初始情況一致，電路回到初始情況。上述過程將不斷重復，電路中的電壓與電流也就形成周而復始的等幅振蕩。可以想象，當存在耗能元件時的情況。一種可能是電阻較小,電路仍然可以形成振蕩， 但由于能量在電場能與電磁能之間轉化時，不斷地被電阻元件消耗掉，所以形成的振蕩為減幅振蕩， 即幅度隨著時間衰減到零；另一種可能是電阻較大，電容存儲的能量在第一次轉移時就有大部分被電阻消耗掉,電路中的能量已經不可能在電場能與電磁能之間往返轉移，電壓、電流將直接衰減到零。7.1.2二階電路的微分方程二階電路如下，其中電容電壓的初始值為Uc(0 ) uC(0 ) U0，電感電流的初始值為iL（0 ） iL（0 ）

5、0。R iL（t）I1+UL（t）-P uc（t）+UL（t）圖8-2L、C串聯的二階電路根據該電路列寫電路方程為其電路電流為：i C如dt dUcUcUrUl因此：UR Ri Rc dtUrdtLC喚cdt2所以，電路方程為：LC?羋dt2RC巴C UCdt7.1.3二階電路微分方程的求解方程Lc害RC 普 uC0的特征方程為2LCp RCp 10。特征根為:其中:由特征根的性質（不等的實數、的初始條件即可得出通解中的待定系數。7.1.4二階電路特征根的討論分別討論特征根的情況。PiP2R2LR2LR2L1LC相等的實數或共軛的復數）就可以確定通解的具體形式。再據電路、過阻尼情況非振蕩放電過

6、程1 過阻尼的條件2,R1Rn r當，即R2LLC2初（R2）時，特征根Pl、P2為不相等的負實數。此時固有頻率為不相等的負實數,2 .過阻尼時的響應當特征根為不相等的實數時，方程的解的形式為uc(t)AiePltA2eP2t其中:PiR2LP2R2L(旦2丄1 2L LC而i cd,如dt dt上，且電路的初始條件，匚（0 ） Io，有C同時因此，初始條件為:代入電路方程Uc (t)AiePltiL(t)Uc (0 )duci C竺 dtUc(0A2ep2t 中,Uc(t)Uo , iL(0duc"dTiL(0)U0，罟Ioc就可以解出其中的待定系數，得出P2tr J 1t P2e

7、)注 CU0 Pe (e Pit eP2t)dtPi P2U。L(P1 P2)皆 eP2t)由此可見，UC (t)和iL(t)均為隨著時間衰減的指數函數，電路的響應為非振蕩響應。其中當電流的變化率為零的時刻tm時電流達到最大值。diLdta Jlta cP2tpieP2e而:tm-4Pi P2 Pi3 .過阻尼時的響應曲線t圖8-3非振蕩放電過程的響應曲線二、臨界阻尼情況1 臨界阻尼的條件2,R1當2LLc，即R 2£L( R2 ¥ )時，特征根Pi、P2為相等的負實數P；此時固有頻率為相等的負實數,2 臨界阻尼時的響應當方程的特征根相同時,Uc(t)(AiAaOept ,

8、然后可以按照初值求取待定系數;也可以利用非振蕩放電過程的解，令p,p2，取極限得出。非振蕩放電過程的解為:U*c(t)U 0. P2t(Pie 2P1P2P2eP1t)，令 P1P2R2L，取極限,如圖所示，設 與及0之間存在三角關系根據羅必塔法則:Uc (t) UolimP2 P1d( pieP2tdp2r cP 1tp2e )d(P2 Pi)Uo(eP1tp1 teP1t) Uoet(1t)dp2duC Un t)C- -te由此可見，UC (t)和iL (t)也為隨著時間衰減的指數函數，仍然為非振蕩響應。其中tm丄3 .臨界阻尼時的響應曲線臨界阻尼時響應曲線的變化規律與過阻尼時的情況類似

9、。t三、欠阻尼情況欠阻尼的條件1LC，即R2 41)時，特征根p1、p2為一對共軛復數，其實部為負數。欠阻尼時的響應令旦2L1LC2，則微分方程的特征根2LP1P2arctg 0 cosoSin根據歐拉公式:ej cosj sinI e j cosj sin可將特征根寫為:Pi因此:Uc (t)UoP1 P2Uo"72r sin(I cos(oe j(PeP2tjoe eP2P2epit)j )tej( t ) e j( t )j2oejoee( j )tUoej( t ) e j( t )0 t ee-e j2U o o t .,esin( t )iC(t) c沁 be tndt

10、L電路的響應為衰減振蕩響由此可見，UC (t)和iL(t)均為幅值隨著時間按指數規律衰減的振蕩函數,應。3 .欠阻尼時的響應曲線4 .無阻尼的情況t無阻尼情況是欠阻尼的一種特殊情況。當 R 0時,，此時的響應2Uc(t)U 0 sin(ot2)iL(t)Uo .SinoLotot電路的響應為等幅振蕩響應，稱為系統的固有頻率，當二階電路的激勵為同頻率的正弦函數時,由此可見，uc(t)和iL(t)均為正弦函數，其幅值不隨時間衰減,稱此時電路發生了諧振， 其物理意義類似7.2二階電路的階躍響應與沖激響應7.2.1二階電路的階躍響應一、定義二階電路在階躍激勵下的零狀態響應，稱為階躍響應。S( t=0)

11、Uc(t) C(t)圖8-7 RLC串聯的二階電路的階躍響應電路二、求解的步驟二階電路的階躍響應的求取類似于一階電路的階躍響應的求取方法。其步驟為1 .計算電路的初始值diLiL(0)、dtducUC(0)、貫2 .列寫電路微分方程根據KCL或KVL定理列寫將電路方程，將其整理成有關電容電壓或電感電流（狀態變量）的二 階微分方程。3計算電路方程的特解因為是階躍響應，所以電路方程的特解為常數A，且A可以根據初始值最后確定為階躍激勵的強度。4 計算電路方程的通解而電路方程的通解為齊次方程的解，因此根據其特征方程求得電路方程得特征根為當s為兩個不相等的實數當s為兩個相同的實根Pi、P2 時，y Ai

12、epit A2eP2tp 時，y (Ai A2t)ept當s為兩個共軛的復根際上，在此情況下（欠阻尼）Pi、P2 時，Pi,2j 時，y e（ j ）t e，可以直接設電路方程的通解為t(Ai cos t A2 sin t)。實y Ae 'sin( t )。然后用初始值確定其中的待定系數A與。5計算電路的初始值原電路方程的解即為通解于特解之和，再根據電路的初始條件計算出各個待定系數。這樣即可得出電路方程的解。三、響應曲線可以看出，三種情況下的穩F面給出過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼三種情況下電路方程的響應曲線,態值相同。另外，我們再給出衰減振蕩（欠阻尼）與等幅振蕩（零阻尼）情況下的響應曲線示

13、意圖。t722二階電路的沖激響應、定義所謂“二階電路的沖激響應”。實際上是零狀態的二階電路在沖激源的作用下所產生的響應，即為 二階電路在沖激源作用下，建立一個初始狀態后產生的零輸入響應。二、解法因此要求解因為已知初始狀態的二階電路的零輸入響應的求法在前面的章節中已經有詳細的介紹, 二階電路的沖激響應，關鍵在于求出沖激激勵所產生的電路初始值。+uc(t) -+ LiL(t)(t)圖8-10 RLC串聯的二階電路的沖激響應電路7.4狀態方程，其中的電容在電路系統中，以電容電壓及電感電流為變量，列寫出的微分方程稱為“狀態方程” 電壓及電感電流初始值即為方程的初始值。狀態方程在動態系統的研究中具有十分

14、重要的意義。所謂狀態變量，是一組數目最少的、 能夠確定網絡所有變量的動態變量。前面我們介紹了電路方程 的列寫，實際上是用的是輸入 -輸出方法，也就是選取我們需要研究的單個電路變量，列寫它跟輸入函數之間的微分方程關系，我們稱它為“輸入-輸出法“。這種方法常常列寫出高階微分方程，其求解存在一些困難，而且一般每一次只能描述一個變量的情況；而列寫電路方程的另一種方法是所謂的“狀態 變量法”，也就是先找出關于一組狀態變量的一階微分方程，然后找到該組狀態變量跟激勵函數的關系（也為一階關系），稱為“輸出方程”。可見對于高階電路的分析而言，狀態變量分析法一方面為我們提 供了所有動態變量之間的關系，另外也將求解

15、高階微分方程的問題轉化成為兩次一階方程的求取。電路的狀態方程形式如下:Ax Bw其中x為電路中的狀態變量向量的一階導數,x為電路中的狀態變量向量，w為電路的激勵向量（輸入向量），A、B分別為相應的系數矩陣。電路的輸出方程形式如下:Cx Dw其中r為電路中的待求響應（輸出相量）,x為電路中的狀態變量向量，w為電路的激勵向量,C、D分別為相應的系數矩陣。可見該方程組為一組代數方程組。由此可見，狀態方程即為有關一組狀態變量方程組。F面我們舉例說明。+Uc(t)-Us圖8-10 例題1的電路因為:U S LRUc整理，得:diLdtducdtR.1 .CiL-UC -USL C L S寫成標準式:UcRr 丄 c因為:整理，得:Uc1L Us0UciL RdtUsUcLdiL"dtdUcdt1 .CiL1 UCR2C寫成標準式:diLdtRi.L1rUcUsiLU