1、錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。Statistics (Statistics 介紹隨機(jī)變量獲得幫助通用方法位移與縮放形態(tài)參數(shù)凍結(jié)分布廣播離散分布的

2、特殊之處 分布擬合性能問(wèn)題與注意事項(xiàng)遺留問(wèn)題構(gòu)造具體的分布創(chuàng)建一個(gè)連續(xù)分布，繼承rv continuous類繼承 rv_discrete 類樣本分析描述統(tǒng)計(jì),T檢驗(yàn)和KS檢3處分布尾部正態(tài)分布的特殊檢驗(yàn) 比較兩個(gè)樣本均值對(duì)于兩個(gè)不同的樣本進(jìn)行的KS檢3會(huì) 核密度估計(jì)單元估計(jì)多元估計(jì)>>> print 'number of continuous distributions:', len (dist_continu)介紹在這個(gè)教程我們討論一部分模塊的特性。這里我們的意圖是提供給使用者一個(gè)關(guān)于這個(gè)包的實(shí)用性知 識(shí)。我們推薦reference manual來(lái)介紹更多的

3、細(xì)節(jié)。注意：這個(gè)文檔還在發(fā)展中。隨機(jī)變量有些通用的概率分布類被圭寸裝在 continuous random variables 以及 discrete random variables 中。有80多個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量(RVs)以及10余個(gè)離散隨機(jī)變量已經(jīng)用這些類建立。同樣，新的程序和 分布可以被用戶新建(如果你構(gòu)造了一個(gè)，請(qǐng)?zhí)峁┧o我們幫助發(fā)展這個(gè)包)。所有統(tǒng)計(jì)函數(shù)被放在子包中，且有這些函數(shù)的一個(gè)幾乎完整的列表可以使用info(stats) 獲得。這個(gè)列表里的隨機(jī)變量也可以從 stats子包的docstring中獲得介紹。在接下來(lái)的討論中，我們著重于連續(xù)性隨機(jī)變量(RVs) o幾乎所有離散變量也

4、符合下面的討論，但是我們也要指出一些區(qū)別在“離散分布的特殊之處”中。獲得幫助所有分布可以使用help函數(shù)得到解釋。為獲得這些信息只需要使用像這樣的簡(jiǎn)單調(diào)用：>>>>>> from scipy import stats>>> from import norm>>> print作為例子，我們用這種方式找分布的上下界%s upper: %s %,>>>>>> print 'bounds of distribution lower:bounds of distribution lower

5、: -inf, upper: inf我們可以通過(guò)調(diào)用dir（norm）來(lái)獲得關(guān)于這個(gè)（正態(tài)）分布的所有方法和屬性。應(yīng)該看到，一些方法 是私有方法盡管其并沒(méi)有以名稱表示出來(lái)（比如它們前面沒(méi)有以下劃線開(kāi)頭），比如veccdf就只用于 內(nèi)部計(jì)算（試圖使用那些方法將引發(fā)警告，因?yàn)樗鼈兛赡軙?huì)在后續(xù)開(kāi)發(fā)中被移除）為了獲得真正的主要方法，我們列舉凍結(jié)分布的方法（我們將在下文解釋何謂“凍結(jié)分布”）>>>> >> rv = norm（）> >> dir （rv） # reformatted'class ', 'delattr'

6、, ' dict', 'doc', 'getattribute','hash ', 'init ', 'module', 'new', 'reduce ', 'reduceex ','repr_ ', '_ setattr_ ', '_ str_ ', '_ weakref ', 'args', 'cdf', 'dist','entr

7、opy', 'isf', 'kwds', 'moment', 'pdf', 'pmf', 'ppf', 'rvs', 'sf', 'stats'最后，我們能通過(guò)內(nèi)省獲得所有的可用分布的信息。>>>> >> import warnings>>> ('ignore' , DeprecationWarning )> >> dist_continu = d for

8、d in dir (stats) if.isinstance (getattr (stats,d),> >> dist_discrete = d for d in dir (stats) if.isinstance (getattr (stats,d),len (dist_discrete)number of continuous distributions: 84>>> print 'number of discrete distributions: number of discrete distributions: 12通用方法rvs:隨機(jī)變量（

9、就是從這個(gè)分布中抽一些樣本）pdf:概率密度函數(shù)。cdf :累計(jì)分布函數(shù)sf :殘存函數(shù)（1-CDF）ppf:分位點(diǎn)函數(shù)（CDF的逆）isf ：逆殘存函數(shù)（sf的逆）stats:返回均值，方差，（費(fèi)舍爾）偏態(tài)，（費(fèi)舍爾）峰度 moment分布的非中心矩。讓我們使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的 RV作為例子o>>>>>> (0)為了計(jì)算在一個(gè)點(diǎn)上的cdf,我們可以傳遞一個(gè)列表或一個(gè)numpy數(shù)組>>>>>> (-1. , 0, 1)array( 0., 0.)>>> import numpy as np>>>

10、; (-1. , 0, 1)array( 0., 0.)相應(yīng)的，像pdf,cdf之類的簡(jiǎn)單方法可以用矢量化其他實(shí)用的方法可以像這樣使用。>>>>>> (),(),()>>> (moments = "mv")(array, array)為了找到一個(gè)分布的中心，我們可以使用分位數(shù)函數(shù)ppf,它是cdf的逆>>>>>>為了產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)變量集合O>>>>>> (size =5)array(卜0., 1.,-0., ,-0.)不要認(rèn)為產(chǎn)生了五個(gè)變量>&g

11、t;>>>> (5)欲知其意，請(qǐng)看下一部分的內(nèi)容。位移與縮放所有連續(xù)分布可以操縱loc以及scale參數(shù)作為修正location 和scale的方式。作為例子，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的location是均值而scale是標(biāo)準(zhǔn)差。>>>> >> (loc = 3, scale = 4, moments = "mv")(array, array)通常經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的分布的隨機(jī)變量X可以通過(guò)變換(X-loc)/scale 獲得。它們的默認(rèn)值是loc=0以及scale=1.聰明的使用loc與scale可以幫助以靈活的方式調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)分布達(dá)到所

12、想要的效果。為了進(jìn)一步說(shuō)明縮放的效果，下面給出期望為1/人指數(shù)分布的cdf oF(x)=1 - exp(-入 x)通過(guò)像上面那樣使用scale ,可以看到得到想要的期望值。>>>> >> from import expon> >> (scale =3.)均勻分布也是令人感興趣的:>>>> >> from import uniform>>> (0, 1, 2, 3, 4, 5, 10c= 1, scale = 4)array( 0. , 0. , , , , 1.)最后，聯(lián)系起我們?cè)谇懊娑?/p>

13、落中留下的（5）的問(wèn)題。事實(shí)上，像這樣調(diào)用一個(gè)分布，其第一個(gè)參數(shù),像之前的5,是把10c參數(shù)調(diào)到了 5,讓我們看：>>>> >> （5, size =500）在這里，為解釋最后一段的輸出：（5）產(chǎn)生了一個(gè)正態(tài)分布變量，其期望，即10c=5.我傾向于明確的使用1oc,sca1e 作為關(guān)鍵字而非像上面那樣利用參數(shù)的順序。因?yàn)檫@看上去有點(diǎn)令人困惑。我們?cè)谖覀兘忉尅皟鼋Y(jié) RV的主題之前澄清這一點(diǎn)。形態(tài)參數(shù)雖然一個(gè)一般的連續(xù)隨機(jī)變量可以通過(guò)賦予loc和scale參數(shù)確定，但一些分布還需要額外的形態(tài)參數(shù)。作為例子，看到這個(gè)伽馬分布，這是它的密度函數(shù)Y （x,a）=入（入

14、 x） a-1 F （a）e -入 x,要求一個(gè)形態(tài)參數(shù)a。注意到 人的設(shè)置可以通過(guò)設(shè)置scale關(guān)鍵字為1/人進(jìn)行。讓我們檢查伽馬分布的形態(tài)參數(shù)的名字的數(shù)量。（我們知道從上面知道其應(yīng)該為1）>>>> >> from import gamma>>>1>>>現(xiàn)在我們?cè)O(shè)置形態(tài)變量的值為1以變成指數(shù)分布。所以我們可以容易的比較是否得到了我們所期望的 結(jié)果。>>>>>> gamma(1, scale =2.). stats(moments ="'mv")(array,

15、 array)注意我們也可以以關(guān)鍵字的方式指定形態(tài)參數(shù):>>>>>> gamma(a=1, scale =2.). stats(moments ="mv")(array, array)凍結(jié)分布不斷地傳遞loc與scale關(guān)鍵字最終會(huì)讓人厭煩。而凍結(jié)RV勺概念被用來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。>>>>>> rv = gamma(1, scale =2.)通過(guò)使用rv,在任何情況下我們不再需要包含 scale與形態(tài)參數(shù)。顯然，分布可以被多種方式使用， 我們可以通過(guò)傳遞所有分布參數(shù)給對(duì)方法的每次調(diào)用（像我們之前做的那樣）或

16、者可以對(duì)一個(gè)分布對(duì)象凍結(jié)參數(shù)。讓我們看看是怎么回事：>>>>>> (),()這正是我們應(yīng)該得到的。廣播像pdf這樣的簡(jiǎn)單方法滿足numpy的廣播規(guī)則。作為例子，我們可以計(jì)算t分布的右尾分布的臨界值 對(duì)于不同的概率值以及自由度。>>>>>> ,10, 11)array( 1., 1., 2.,1., 1., 2.)這里，第一行是以10自由度的臨界值，而第二行是以11為自由度的臨界值。所以，廣播規(guī)則與下面調(diào) 用了兩次isf產(chǎn)生的結(jié)果相同。>>>>>> ,10)array( 1., 1., 2

17、.)>>>,11)array( 1., 1., 2.)但是如果概率數(shù)組，如,與自由度數(shù)組，如10,11,12具有相同的數(shù)組形態(tài)，則進(jìn)行對(duì)應(yīng)匹配，我 們可以分別得到10% 5% 1娓的臨界值對(duì)于10, 11,12的自由度。>>>>>> ,10, 11, 12) array( 1., 1., 2.)離散分布的特殊之處離散分布的方法的大多數(shù)與連續(xù)分布很類似。當(dāng)然像 pdf被更換為密度函數(shù)pmf,沒(méi)有估計(jì)方法，像 fit就不能用了。而scale不是一個(gè)合法的關(guān)鍵字參數(shù)。Location參數(shù)，關(guān)鍵字10c則仍然可以使用 用于位移。cdf的計(jì)算要求一些

18、額外的關(guān)注。在連續(xù)分布的情況下，累積分布函數(shù)在大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)情況下是嚴(yán)格遞 增的，所以有唯一的逆。而 cdf在離散分布，無(wú)論如何，是階躍函數(shù)，所以 cdf的逆，分位點(diǎn)函數(shù)， 要求一個(gè)不同的定義：ppf(q) = minx : cdf(x) >= q, x integer為了更多信息可以看這里。我們可以看這個(gè)超幾何分布的例子>>>>>> from import hypergeom>>> M, n, N = 20, 7, 12如果我們?cè)谝恍┱麛?shù)點(diǎn)使用cdf,則它們的cdf值再作用ppf會(huì)回到開(kāi)始的值。>>>>>&

19、gt; x = ( 4) *2>>> xarray(0, 2, 4, 6)>>> prb = (x, M, n, N)>>> prbarray( , , 0.,0.)>>> (prb, M, n, N)如果我們使用的值不是cdf的函數(shù)值，則我們得到一個(gè)更高的值。>>>>>> (prb + 1e-8 , M, n, N)array( 1., 3., 5., 7.)>>> (prb - 1e-8 , M, n, N)array( 0., 2., 4., 6.)分布擬合非凍結(jié)

20、分布的參數(shù)估計(jì)的主要方法：fit :分布參數(shù)的極大似然估計(jì)，包括 location 與scalefit_loc_scale:給定形態(tài)參數(shù)確定下的location 和scale參數(shù)的估計(jì)nnlf:負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)expect:計(jì)算函數(shù)pdf或pmf的期望值。性能問(wèn)題與注意事項(xiàng)每個(gè)方法的性能與運(yùn)行速度根據(jù)分布的不同表現(xiàn)差異極大。方法的結(jié)果可以由兩種方式獲得，精確計(jì)算或使用獨(dú)立于各具體分布的通用算法。對(duì)于精確計(jì)算，一個(gè)分布能使用這種方式的第一種情況，這個(gè)分布是包中直接給你的（如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布），第二，給出解析形式，第三通過(guò)或或的rvs特殊函數(shù)給出。一般來(lái)說(shuō)使用精確計(jì)算會(huì)比較快。另一方面，通用方法被用于

21、當(dāng)分布沒(méi)有被指派明確的計(jì)算方法時(shí)使用。為了定義一個(gè)分布，只有 pdf 或cdf是必須的；通用方法使用數(shù)值積分和求根法得到結(jié)果。作為例子，rgh = 2, 2, 2, size=100）以這種方式創(chuàng)建了 10嚇隨機(jī)變量（抽了 100個(gè)值），這在我的電腦上花了 19秒（譯者：我花了秒），對(duì) 比取一百萬(wàn)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值只需要 1秒。遺留問(wèn)題里的分布最近進(jìn)行了升級(jí)并且被仔細(xì)的檢查過(guò)了，不過(guò)仍有一些問(wèn)題存在。分布在很多參數(shù)區(qū)間上的值被測(cè)試過(guò)了， 然而在一些奇葩的邊界，仍然可能有錯(cuò)誤的值存在。fit的極大似然估計(jì)以默認(rèn)值作為初始參數(shù)將不會(huì)工作的很好，用戶必須指派合適的初始參數(shù)。并且，對(duì)于一些分布使用極大

22、似然估計(jì)本身就不是一個(gè)好的選擇。構(gòu)造具體的分布下一個(gè)例子展示了如何建立你自己的分布。更多的例子見(jiàn)分布用法以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)創(chuàng)建一個(gè)連續(xù)分布，繼承 rv_continuous 類創(chuàng)建連續(xù)分布是非常簡(jiǎn)單的。>>>>>> from scipy import stats>>> class deterministic_gen. def _cdf ( self , x):.return (x < 0, 0. , 1.). def _stats (self ):.return 0. , 0. , 0. , 0.>>>>>&g

23、t; deterministic = deterministic_gen(name ="deterministic" )>>> (-3, 3,)array( 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 1., 1.)令人高興的是，pdf也能被自動(dòng)計(jì)算出來(lái):>>>> >> (-3, 3,)array( +00, +00, +00,+00, +00, +00,+04,)注意這種用法的性能問(wèn)題，參見(jiàn)“性能問(wèn)題與注意事項(xiàng)” 一節(jié)。這種缺乏信息的通用計(jì)算可能非常慢。 而且再看看下面這個(gè)準(zhǔn)確性的例

24、子：>>>> >> from import quad> >> quad, - 1e-1 , 1e-1)但這并不是對(duì)pdf積分的正確的結(jié)果，實(shí)際上結(jié)果應(yīng)為 1.讓我們將積分變得更小一些。 >>>>>> quad, -1e-3, 1e-3) # warning removed ,這樣看上去好多了，然而，問(wèn)題本身來(lái)源于pdf不是來(lái)自包給定的類的定義。繼承 rv_discrete 類在之后我們使用產(chǎn)生一個(gè)離散分布，其有一個(gè)整數(shù)區(qū)間截?cái)喔怕省Ｍㄓ眯畔⑼ㄓ眯畔⒖梢詮膔v_discrete 的docstring 中得到

25、。>>>>>> from import rv_discrete>>> help(rv_discrete)我們學(xué)到這一點(diǎn)：“你可以構(gòu)建任意一個(gè)像P(X=xk尸pk 一樣形式的離散rv ,通過(guò)傳遞(xk,pk)元組序列給rv_discrete初始化方法(通過(guò)value=keyword方式)，但其不能有0概率值。”接下來(lái)，還有一些進(jìn)一步的要求：關(guān)鍵字名字必須知道。Xk點(diǎn)必須是整數(shù)小數(shù)的有效位數(shù)應(yīng)當(dāng)被給出。事實(shí)上，如果最后兩個(gè)要求沒(méi)有被滿足，一個(gè)異常將被拋出或者導(dǎo)致一個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值。一個(gè)例子讓我們開(kāi)始辦，首先>>>> >

26、> npoints = 20# number of integer support points of the distribution minus 1> >> npointsh= npoints / 2> >> npointsf= float (npoints)> >> nbound = 4# bounds for the truncated normal> >> normbound = ( 1+1/ npointsf)* nbound # actual bounds of truncated normal>

27、 >> grid = ( - npointsh, npointsh+2, 1)# integer grid> >> gridlimitsnorm = / npointsh * nbound # bin limits for the truncnorm> >> gridlimits = grid -# used later in the analysis> >> grid = grid:-1> >> probs = -normbound, normbound)> >> gridint = gri

28、d最后我們可以繼承rv_discrete 類>>>> >> normdiscrete = (values =(gridint,.(probs, decimals=7), name ='normdiscrete' )現(xiàn)在我們已經(jīng)定義了這個(gè)分布，我們可以調(diào)用其所有常規(guī)的離散分布方法。>>>> >> print 'mean = % variance =% skew = % kurtosis =% %. (moments = 'mvsk')mean = , variance = , skew

29、 = , kurtosis =>>>> >> nd_std = (moments -v')測(cè)試上面的結(jié)果讓我們產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)樣本并且比較連續(xù)概率的情況。>>>»> n_sample = 500# fix the seed for replicability»> rvs = (size =n_sample)»> rvsnd = rvs»> f, I = (rvs, bins =gridlimits)»> sfreq = (gridint, f, probs

30、*n_sample) . T»> print sfreq+01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +01 +01+00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +01 +00 (Source code )(Source code )接下來(lái)，我們可以測(cè)試，是否我們的樣本取自于一個(gè)normdiscret

31、e分布。這也是在驗(yàn)證是否隨機(jī)數(shù)是以正確的方式產(chǎn)生的。卡方測(cè)試要求起碼在每個(gè)子區(qū)間(bin )里具有最小數(shù)目的觀測(cè)值。我們組合末端子區(qū)間進(jìn)大子區(qū)間 所以它們現(xiàn)在包含了足夠數(shù)量的觀測(cè)值。>>>> >> f2 =(町5.sum(), f 5:-5, f -5: . sum()> >> p2 = (probs:5. sum(), probs 5: - 5, probs - 5: . sum()> >> ch2, pval = (f2, p2 *n_sample)>>>>>> print '

32、;chisquare for normdiscrete: chi2 =%pvalue = % %(ch2, pval)chisquare for normdiscrete: chi2 = pvalue =P值在這個(gè)情況下是不顯著地，所以我們可以斷言我們的隨機(jī)樣本的確是由此分布產(chǎn)生的。樣本分析首先，我們創(chuàng)建一些隨機(jī)變量。我們?cè)O(shè)置一個(gè)種子所以每次我們都可以得到相同的結(jié)果以便觀察。作 為一個(gè)例子，我們從t分布中抽一個(gè)樣本。>>>> >> x = size =1000)這里，我們?cè)O(shè)置了 t分布的形態(tài)參數(shù)，在這里就是自由度，設(shè)為10.使用size=1000表示我們的樣

33、本由100嚇抽樣是獨(dú)立的(偽)。當(dāng)我們不指派10c和scale時(shí)，它們具有默認(rèn)值0和1.描述統(tǒng)計(jì)X是一個(gè)numpy數(shù)組。我們可以直接調(diào)用它所有的方法。>>>> >> print (), ()# equivalent to (x), (x)>>> print (), ()# equivalent to (x), (x)如何比較分布本身和它的樣本的指標(biāo)>>>=(x)>>> m, v, s, k = moments -mvsk')>>> n, (smin, smax), sm, sv,

34、 ss, sk>>>>>> print 'distribution:' ,distribution:>>> sstr = 'mean = % variance =% skew = % kurtosis =%>>> print sstr %m, v, s ,k)mean = , variance = , skew = , kurtosis =>>> print 'sample: ',sample:>>> print sstr %sm, sv, ss,

35、 sk)mean = , variance = , skew = , kurtosis =注意：用的是無(wú)偏的方差估計(jì)量，而卻用的是有偏的估計(jì)量。T檢驗(yàn)和KS檢驗(yàn)我們可以使用t檢驗(yàn)是否樣本與給定均值(這里是理論均值)存在統(tǒng)計(jì)顯著差異。>>>>>> print 't-statistic =% pvalue = % % (x, m)t-statistic = pvalue =P值為，這代表第一類錯(cuò)誤的概率，在例子中，為 10%我們不能拒絕“該樣本均值為 0”這個(gè)假設(shè), 0是標(biāo)準(zhǔn)t分布的理論均值。 >>>>>> tt =

36、(sm - m)/ (sv / float (n)# t-statistic for mean>>> pval = n -1)*2 # two-sided pvalue = Prob(abs(t)>tt)>>> print 't-statistic =% pvalue = % %(tt, pval)t-statistic = pvalue =這里Kolmogorov-Smirnov檢馬敘(KS檢驗(yàn))被被用來(lái)檢驗(yàn)樣本是否來(lái)自一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的t分布。>>>>>> print 'KS-statistic D =%

37、 pvalue = % %(x,'t' , ( 10,)KS-statistic D = pvalue =又一次得到了很高的P值。所以我們不能才1絕樣本是來(lái)自t分布的假設(shè)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們不能知 道潛在的分布到底是什么。如果我們使用KS檢驗(yàn)我們的樣本對(duì)照正態(tài)分布，那么我們將也不能拒絕我們的樣本是來(lái)自正態(tài)分布的，在這種情況下P值為左右。>>>>>> print 'KS-statistic D =% pvalue = % %(x, 'norm')KS-statistic D = pvalue =無(wú)論如何，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有1

38、的方差，當(dāng)我們的樣本有時(shí)。如果我們標(biāo)準(zhǔn)化我們的樣本并且測(cè)試它比 照正態(tài)分布，那么P值將又一次很高我們將還是不能拒絕假設(shè)是來(lái)自正態(tài)分布的。>>>>>> d, pval = () / (), 'norm')>>> print 'KS-statistic D =% pvalue = % %(d, pval)KS-statistic D = pvalue =注釋：KS檢驗(yàn)假設(shè)我們比照的分布就是以給定的參數(shù)確定的，但我們?cè)谧詈蠊烙?jì)了均值和方差，這 個(gè)假設(shè)就被違反了，故而這個(gè)測(cè)試統(tǒng)計(jì)量的P值是含偏的，這個(gè)用法是錯(cuò)誤的。分布尾部最

39、后，我們可以檢查分布的右尾， 我們可以使用分位點(diǎn)函數(shù) ppf,其為cdf函數(shù)的逆，來(lái)獲得臨界值, 或者更直接的，我們可以使用殘存函數(shù)的逆來(lái)辦。>>>>>> crit01, crit05, crit10=,10)>>> print 'critical values from ppf at 1%5 %and 10 % %(crit01, crit05, crit10)critical values from ppf at 1%, 5% and 10%>>> print 'critical values from

40、 isf at 1%5 %and 10 % % % tuple values from isf at 1%,5% and 10%>>>>>>freq01=(x>crit01)float100>>>freq05=(x>crit05)float100>>>freq10=(x>crit10)float100>>>print'sample %-frequency at 1%5 %and 10 %tail%(freq01, freq05, freq10)sample %-frequency

41、 at 1%, 5% and 10% tail在這三種情況中，我們的樣本有有一個(gè)更重的尾部，即實(shí)際在理論分界值右邊的概率要高于理論值。我們可以通過(guò)使用更大的樣本來(lái)獲得更好的擬合。在以下情況經(jīng)驗(yàn)頻率已經(jīng)很接近理論概率了，但即使我們重復(fù)這個(gè)過(guò)程若干次，波動(dòng)依然會(huì)保持在這個(gè)程度。>>>>>> freq05l = size =10000) > crit05) / * 100>>> print 'larger sample%requency at 5%ail%freq05llarger sample %-frequency at 5%

42、tail我們也可以比較它與正態(tài)分布的尾部，其有一個(gè)輕的多的尾部:>>>>>> print 'tail prob. of normal at 1%5 %and 10 % %.tuple crit05, crit10) *100)tail prob. of normal at 1%, 5% and 10%卡方檢驗(yàn)可以被用來(lái)測(cè)試，是否一個(gè)有限的分類觀測(cè)值頻率與假定的理論概率分布具有顯著差異。>>>>>> quantiles =,>>> crit = 10)>>> print crit

43、-Inf-2.-1.-1. 1. 1.2. Inf> >> n_sample => >> freqcount = (x, bins =crit) 0> >> tprob = (quantiles)> >> nprob = tch, tpval = (freqcount, tprob *n_sample)> >> nch, npval = (freqcount, nprob *n_sample)> >> print 'chisquare for t: chi2 =% pvalue

44、= % %(tch, tpval)chisquare for t: chi2 = pvalue =chisquare for normal: chi2 = pvalue =我們看到當(dāng)t分布檢驗(yàn)沒(méi)被拒絕時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布卻被完全拒絕。在我們的樣本區(qū)分出這兩個(gè)分布后，我們可以先進(jìn)行擬合確定scale與location再檢查擬合后的分布的差異性。我們可以先進(jìn)行擬合，再用擬合分布而不是默認(rèn)(起碼 location和scale是默認(rèn)的)分布去進(jìn)行檢 驗(yàn)。>>>> >> tdof, tloc, tscale = nloc, nscale = tprob = tdof, 10

45、c =tloc, scale =tscale)> >> nprob = loc =nloc, scale =nscale)> >> tch, tpval= (freqcount, tprob* n_sample)> >> nch, npval= (freqcount, nprob*n_sample)> >> print'chisquare for t: chi2 =% pvalue = % %(tch, tpval)chisquare for t: chi2 = pvalue => >> prin

46、t'chisquare for normal: chi2 =% pvalue = % %(nch, npval)chisquare for normal: chi2 = pvalue =在經(jīng)過(guò)參數(shù)調(diào)整之后，我們?nèi)匀豢梢砸?%K平拒絕正態(tài)分布假設(shè)。然而卻以95%勺p值顯然的不能拒絕t分布。正態(tài)分布的特殊檢驗(yàn)自從正態(tài)分布變?yōu)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)中最常見(jiàn)的分布，就出現(xiàn)了大量的方法用來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)樣本是否可以被看成是 來(lái)自正態(tài)分布的。首先我們檢驗(yàn)分布的峰度和偏度是否顯著地與正態(tài)分布的對(duì)應(yīng)值相差異。>>>>>> print 'normal skewtest testst

47、at =% pvalue = % %(x)normal skewtest teststat = pvalue =>>> print 'normal kurtosistest teststat =% pvalue = % %(x)normal kurtosistest teststat = pvalue =將這兩個(gè)檢驗(yàn)組合起來(lái)的正態(tài)性檢驗(yàn)>>>> >> print 'normaltest teststat =% pvalue = % %(x)normaltest teststat = pvalue =在所有三個(gè)測(cè)試中，P值是非

48、常低的，所以我們可以拒絕我們的樣本的峰度與偏度與正態(tài)分布相同的 假設(shè)。當(dāng)我們的樣本標(biāo)準(zhǔn)化之后，我們依舊得到相同的結(jié)果。>>>> >> print 'normaltest teststat =% pvalue = % %.()/()normaltest teststat = pvalue =因?yàn)檎龖B(tài)性被很強(qiáng)的拒絕了，所以我們可以檢查這種檢驗(yàn)方式是否可以有效地作用到其他情況中。>>>> >> print 'normaltest teststat =%pvalue = % % size =100)normalte

49、st teststat = pvalue =我們檢驗(yàn)了小樣本的t分布樣本的觀測(cè)值以及一個(gè)大樣本的正態(tài)分布觀測(cè)值， 在這兩種情況中我們都 不能拒絕其來(lái)自正態(tài)分布的空假設(shè)。得到這樣的結(jié)果是因?yàn)榍罢呤且驗(yàn)闊o(wú)法區(qū)分小樣本下的 t分布, 后者是因?yàn)樗緛?lái)就來(lái)自正態(tài)分布。比較兩個(gè)樣本接下來(lái)，我們有兩個(gè)分布，其可以判定為相同或者來(lái)自不同的分布，以及我們希望測(cè)試是否這些樣本 有相同的統(tǒng)計(jì)特征。均值以相同的均值產(chǎn)生的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)：>>>>>> rvsl = scale =10, size =500)>>> rvs2 = scale =10, size =50

50、0)>>> (rvsl, rvs2)以不同的均值產(chǎn)生的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)：>>>>>> rvs3 = scale =10, size =500)>>> (rvsl, rvs3)對(duì)于兩個(gè)不同的樣本進(jìn)行的 KS檢驗(yàn)在這個(gè)例子中我們使用兩個(gè)同分布的樣本進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)因?yàn)閜值很高，毫不奇怪我們不能拒絕原假。>>>>>> (rvsl, rvs2)在第二個(gè)例子中，由于均值不同，所以我們可以拒絕空假設(shè)，由 P值小于1%>>>>>> (rvsl, rvs3)核密度估計(jì)一個(gè)常見(jiàn)

51、的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題是從一個(gè)樣本中估計(jì)隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)(PDF這個(gè)問(wèn)題被稱為密度估計(jì)，對(duì)此最著名的工具是直方圖。直方圖是一個(gè)很好的可視化工具(主要是因?yàn)槊總€(gè)人都理解它) 但是對(duì)于對(duì)于數(shù)據(jù)特征的利用卻并不是非常有效率。核密度估計(jì)(KDE對(duì)于這個(gè)問(wèn)題)是一個(gè)更有效的工具。這個(gè)gaussian kde估計(jì)方法可以被用來(lái)估計(jì)單元或多元數(shù)據(jù)的PDF它在數(shù)據(jù)呈單峰的時(shí)候工作的最好，但也可以在多峰情況下工作。單元估計(jì)我們以一個(gè)最小數(shù)據(jù)集來(lái)觀察gaussian kde是如何工作的，以及帶寬(bandwidth )的不同選擇方式。PDF對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)被以藍(lán)線的形式顯示在圖像的底端(被稱為毯圖( rug plot

52、)>>>>>> from scipy import stats>>> import as plt>>>>>> x1 = ( -7, -5, 1, 4, 5, dtype> >> kdel = (x1)> >> kde2 = (x1, bw_method -silverman' )>>>> >> fig =()> >> ax = ( 111)>>>> >> (x1, ,

53、9;b+' , ms =20)# rug plot> >> x_eval = ( -10, 10, num =200)> >> (x_eval, kde1(x_eval),'k-' , label ="Scott's Rule" )>>> (x_eval, kde1(x_eval),'r-' , label ="Silverman's Rule")>>>>>> ()(Source code )以及帶寬的選擇相比

54、較于數(shù)據(jù)的我們看到在Scott規(guī)則以及Silverman規(guī)則下的結(jié)果幾乎沒(méi)有差異。稀少顯得太寬。我們可以定義我們的帶寬函數(shù)以獲得一個(gè)更少平滑的結(jié)果>>>>>> def my_kde_bandwidth (obj, fac =1. / 5):"""We use Scott's Rule, multiplied by a constant factor."""return , -1. /+ 4) * fac>>>>>> fig=()>>> a

55、x=(111)>>>>>>(x1, ,'b+' , ms =20)# rug plot>>>kde3 = (x1, bw_method=my_kde_bandwidth)>>>(x_eval, kde3(x_eval),'g-' , label ="With smaller BW")>>>>>> ()(Source code )我們看到如果我們?cè)O(shè)置帶寬為非常狹窄，則獲得PDF的估計(jì)退化為圍繞在數(shù)據(jù)點(diǎn)的簡(jiǎn)單的高斯和。我們現(xiàn)在使用更真實(shí)的例

56、子，并且看看在兩種帶寬選擇規(guī)則中的差異。這些規(guī)則被認(rèn)為在正態(tài)分布上很好用，但即使是偏離正態(tài)的單峰分布上它也工作的很好。作為一個(gè)非正態(tài)分布，我們采用5自由度的t分布。import numpy as np import as pltfrom scipy import stats=# random data, normal distributionxs = () -1, () +1, 200)kdel = (x1)kde2 = (x1, bw_method ='silverman' )fig = (figsize =(8, 6)ax1 = ( 211)(x1, ,'b+

57、9; , ms =12) # rug plot(xs, kde1(xs),'k-' , label ="Scott's Rule" )(xs, kde2(xs),'b-' , label ="Silverman's Rule")(xs, 'r-', label ="True PDF")('x')('Density')("Normal (top) and Student's T$_df=5$ (bottom) distrib

58、utions")(loc =1)x2 = size =200) # random data, T distributionxs = () - 1, ()+ 1, 200)kde3 = (x2)kde4 = (x2, bw_method ='silverman' )ax2 = ( 212)(x2, ,'b+' , ms =12) # rug plot(xs, kde3(xs),'k-' , label ="Scott's Rule" )(xs, kde4(xs),'b-' , label =&q

59、uot;Silverman's Rule")(xs, 5), 'r-', label ="True PDF")('x')('Density')()(Source code )卜面我們看到這個(gè)一個(gè)寬一個(gè)窄的雙峰分布。可以想到結(jié)果將難達(dá)到以十分近似，因?yàn)槊總€(gè)峰需要不同的帶寬去擬合>>>>>>from functools import partial>>>>>>>>>>>>loci, scalel, sizelloc2, scale2, size2=(-2, 1, 175)=(2, ,50)x2 = ( scale =scale1, size =size1),scale=scale2, size =size2)>>>>>>x_eval = () - 1,()+ 1, 500)>>>>>>>>>>