1、天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質考點學習目標核心素養楊輝三角問題能認識楊輝三角，并能利用它寫出(a+b)n的指數不是很大時的展開式數學運算二項式系數和問題會用賦值法求展開式系數的和數學運算二項式系數的最大項問題能記住二項式系數的性質，并能靈活運用性質解決相關問題數學運算預習察,昌圖 1©問題導學預習教材P32P35的內容，并思考下列問題：1 .楊輝三角有哪些特點？2 .二項式系數的性質有哪些？初探)3 .楊輝三角的特點(1)在同一行中，每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項的系數相等.(2)在相鄰的兩彳T中，除1以外的每一個數都等于它“肩

2、上”兩個數的和，即Cn+1 = C+ Cn.4 .二項式系數的性質(1)對稱性：在(a+b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C0= Cn, Cn= Cn ，C = Cn 一一一 ,n+1 ,一一，一，一(2)增減性與最大值：當 k<n2一時，二項式系數是逐漸增大應 由對稱性知它的后半部n分是逐漸減小的,且在中間取到最大值.當 n是偶數時，中間一項的二項式系數C2取得最n 1n+1大值；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數&h，Cn2相等，且同時取到最大值.(3)各二項式系數的和 C0+Cn + C2+ Cn = 2n. C0+C2 + C4+=d + Cn

3、+C5+=2nT.名師點撥對二項式系數性質的三點說明(1)對稱性：源于組合數的性質 “C= CTm"，基礎是CS=Cn=1,然后從兩端向中間靠攏,便有 C1= cn 1, C2= Cn 2,.（2）最大值：當n是偶數時，（a+b）n的展開式共n+1項，n+1是奇數，這時展開式的形式是O * o o前彳項第44項 后1項nn. 二 . .,中間一項是第2+1項，它的二項式系數是 c2,它是所有二項式系數中的最大值；當n是奇數時，（a+b）n的展開式共有n+1項，n+1是偶數，這時展開式的形式是OO O x x O o'' I '''前號用第吟項第

4、挈項后三璞n 1n+1中間兩項是第n-, n23項，它們的二項式系數是 歹，聲，這兩個系數相等，并且 是所有二項式系數中的最大值.（3）各二項式系數和：C0 + cn+C2+-+ cn=2n源于（a+ b）n=C°an+Cnan_1b + -+ Cnbn中令a= 1 , b= 1 ,即得到 G+Cn+Cn + + Cn= 2 .、自我*©測.m判斷正誤（正確的打，錯誤的打"x” ）（1）楊輝三角的每一斜行數字的差成一個等差數列.（）（2）二項式展開式中系數最大的項與二項式系數最大的項是相同的.（）（3）二項展開式的二項式系數和為c2+ C2+-+ Cn.（）答案：

5、（1） x （2） x （3） x關于（ab）10的說法，錯誤的是（）A.展開式中的二項式系數之和為1 024B.展開式中第6項的二項式系數最大C.展開式中第5項或第7項的二項式系數最大D.展開式中第6項的系數是非正數解析：選C.根據二項式系數的性質進行判斷，由二項式系數的性質知：二項式系數之和為2n,故A正確；當n為偶數時，二項式系數最大的項是中間一項，故 B正確，C錯誤；D也是正確的，因為展開式第6項中的一b的次數為5次，所以是非正數.（1 +x）2n+1的展開式中，二項式系數最大的項所在的項數是（）A. n, n+1B. n- 1, nC. n+1, n+2D, n + 2, n+ 3解

6、析：選C.因為2n + 1是奇數，所以中間兩項，即第 n+1, n+2項二項式系數最大.(2 (2 x1)6展開式中各項系數的和為 ；各項的二項式系數和為 . 解析：令展開式左、右兩邊x=1,得各項系數和為1;各二項式系數之和為26=64.答案：1 64(2 (2 x)10= a()+ax+a2x2+ + ai0x10,則 a8=.解析：由題意可知 a8是x8的系數，所以as= C80 , 22= 180.答案：180聃密探究突破便練互動探究點與楊輝三角有關的問題例(1)楊輝三角如圖所示， 楊輝三角中的第 5行除去兩端數字1以外，均能被5整除，則具有類似性質的行是 ()第I行11第2行I 2

7、I第3行 1：31第4行 14*41第 5 行 1510 ID S 1 I!9-B aA.第6行C.第8行B.第7行D.第9行(2)如圖，在楊輝三角中，斜線 AB上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1, 2, 3,3, 6, 4, 10,，記這個數列的前n項和為S(n),則S(16)等于()A. 144B. 146C. 164D. 461【解析】(1)由題意，第6行為1 6 15 20 15 6 1,第7行為1 7 21 35 35 21 7 1,故第7行除去兩端數字1以外，均能被7整除.(2)由題干圖知，數列中的首項是C2,第2項是C2,第3項是C3,第4項是C3,，第15項是 C2,第

8、16項是 應所以 &16) =d+d+d+d+ c9+c9= (C2+Ci+ 6 + (C2+C3+ C9)=(C2+G+C3+ C9-。) + (C3+ Q) = G20+C30 1 = 164.【答案】（1）B（2）C解決與楊輝三角有關的問題的一般思路/工、（財據耍考.驊一、隔行科I'匡箜宣工騫角度觀感f通后建察找由每一行的數據之、 "舉，間、行與行芝間的數據的一律，槍法 一（將發理的趣律用敢學式子於。雷心 （一由學表達*得出一一 國T$1疆巾庭事1.如圖，在由二項式系數所構成的楊輝三角中，第 行中從左到右第14與第15 個數的比為2 : 3.第0有1第1行1 I

9、第2行121第3打33】第4行 1441第 5行 15 W 105 Ia e解析：由楊輝三角知，第一行中的數是 C°, C1;第2行中的數是C2, C1, C2;第3行中 的數是C3,C3,C3,C3；第n行中的數是C°,C1,d,，Cn.設第n行中從左到右第14與第15個數的比為2 ： 3,則Cn3 ： Cn4=2 : 3,解之得n = 34.答案：342.如圖所示，滿足第n行首尾兩數均為n;表中的遞推關系類似楊輝三角，則第n行（n 2）的第2個數是.I2 23 4 34 7 7 45 II L4 11 56 1« 25 25 16 6解析：由圖中數字規律可知，

10、第 n行的第2個數是1 +2+3+ （n1） +1 =+ 1.n (n 1) 2答案:n2 n+ 22搽究點口二項式系數和問題例 2!已知(2 X- 1) 5=30X5+ aiX4 + 32X3+ 33X2+34X+ 35.求下列各式的值:(1) 3。+ 3i+ 32+ 35；(2)| 3。| +| 3i| + | 32| + | 35| ;(3) 3i + 33 + 35.【解】(1)令 X= 1 ,得 3o+3i+32+ 35= 1.5(2) v X = 1 ,付3 = 3。+ 3i 32 + 33 34 + 35.由(2X 1)5 的通項 Tr + 1 = ©( 1)r 25-

11、r X5-r 知 31, 33, 35 為負值,所以 | 3。| + | 3i| + | 32| + | 35|=3。- 3i + 32 33 + 34 35 = 3 = 243.(3)由 3。+ 3i + 32 + 35= 1 ,5一 3。+ 31 32 + 35= 3 ,5付 2( 3i + 33+ 35) = 1 3 ,1 35所以 3i + 33+ 35= -2 = 一 121.變問法在本例條件下，求下列各式的值:(1) 3。+ 32 + 34；(2) 31+32+33+34+35;(3)5 3。+43- 332+ 233 + 34.解：(1)因為 3。+31+32+ 35=1,3。+

12、 3i 32 + 35= - 3 .51+3 所以 3。+32+ 34=2 = 122.(2)因為3。是(2x 1)5展開式中X5的系數, 所以 3。= 25= 32.又 3。+ 3i + 32+ 35= 1 ,所以 3i + 32+ 33+ 34+ 35= 31.(3)因為(2x 1)5=3必5+ 31X4 + 32X3 + 33X2+ 34X+ 35.所以兩邊求導數得 1。(2 X- 1) 4= 53以4+ 431X3+ 332X2+ 233X+34.令 X= 1 得 53。+431+ 332+ 233+ 34= 10.二項展開式中系數和的求法(1)對形如(ax+b)n, (ax2+bx+

13、c) m( a, b, cCR, m nC Nj的式子求其展開式的各項 系數之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對(ax+by)n(a, be R, nCN*)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x = y= 1即可.(2) 一般地，若 f (x) = a0 + ax+a+ anxn,則f (x)展開式中各項系數之和為 f (1),奇數項系數之和為 ao+ a2+ a4+=("+!(1-,金戈鐵騎偶數項系數之和為ai+ a3+ a5+=f (1) -f (1)匿跟蹤訓煉1 n1 .如果3x 一3二 的展開式中各項系數之和為128,那么n的值為()xA. 7B. 8C. 9D. 10解

14、析：選A.因為展開式中各項系數之和為128,所以令x=1,得2n=128,所以n=7.2.若(1+x)(1 2x)7= a0+ax+ a2x2+ ax8,則 a1+a2+ a7的值是()A. - 2B. - 3C. 125D. 131解析：選C.由題意可知 a8= ( -2)7=- 128,令x=0,得a0= 1,令x= 1,得2。十日+ a2+ a7 + a8=2,所以 a+a2+ a7=125.故選 C.探究點求二項展開式中系數或二項式系數的最大項例D已知二項式2+ 2x .(1)若展開式中第5項、第6項、第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式 系數最大項的系數；(2)若展開式中前

15、三項的二項式系數和等于79,求展開式中系數最大的項 .【解】(1)由題意，得C4+Cn=2C5,所以 n2-21n+98 = 0,所以n= 7或n= 14.當n = 7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和飛，的系數為C3X 2 x 23=35, T5的系數為C7X 2 >< 24= 70.故展開式中二項式系數最大項的系數分別為352,70.當n = 14時，展開式中二項式系數最大的項是五,所以T8的系數為C74X 1 X 27= 3 432.故展開式中二項式系數最大的項的系數為3 432.(2)由題意知 C°+Cj+Cn=79,解得n=12或n= 13(舍去).設展開式

16、中第(r+1)項的系數最大，由于 2+ 2x =2- (1 +4x)12,r r r1. r 1。2 , 4 > C12, 4,則，小皮1.門1,所以 9.4 w r w 10.4.又 r C0 , 1, 2,，12,所以 r = 10,所以系數最大的項為 Th,1 12且 Tn= 2, C12 , (4x) 10= 16 896 x10.律方法(1)二項式系數最大的項的求法求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質對(a+b)n中的n進行討論.當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大.當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.(2)展開式中系數最大的項的求法求展開式中系數最大的項與求二項式

17、系數最大的項是不同的，需要根據各項系數的正、 負變化情況進行分析.如求 (a+bx)n(a, be R)的展開式中系數最大的項，一般采用待定系A > At , 數法.設展開式中各項系數分別為 A, A1, A ，A,且第r+1項最大，應用解A,A+1,出r,即得出系數最大的項.ri I隹跟蹤訓維n的展開式中，只有第 6項的二項式系數最大.(1)求該展開式中所有有理項的項數；(2)求該展開式中系數最大的項.解：(1)由題意，可知2+1 = 6,所以n= 10.10r10 5r所以 Tr+i= C10X-2_2 x = Co2 x-2,因為2 C Z且 0w r< 10, r C N,

18、所以 r = 0, 2, 4, 6, 8, 10.所以展開式中所有有理項的項數為6.（2）設第r + 1項的系數最大,r 八 r、 ，一 1 r 1。02 > Ci0 2,則 7 r r+1 r + 1 即Cr02r>C1012r,21一封,r 11 r12>7.10 r r + 1解得 Y<r<22.33因為r £ Nl,所以r = 7.所以展開式中系數最大的項為T8= C70272525x = 15 360 x .達標反饋B.第8項D.第6, 7項解析：選D.由n=11為奇數，則展開式中第11 + 1“11 + 1丁項和第丁+3,即第6項和第1 .

19、x 1的展開式中二項式系數最大的項是（）xA.第6項C.第5, 6項7項的二項式系數相等，且最大2 .已知x2+1的二項展開式的各項系數和為32,則二項展開式中 x4的系數為（xA. 5B. 10C. 20D. 401 n解析：選B.因為x2 + x的二項展開式的各項系數和為32，所以令x-得2n=32,所,215 rr 1 r r -.r 一以n=5.所以x+x的二項展開式的第+1項為丁的）7 =Cx，令10-3r=4,得r=2,故二項展開式中x4的系數為C5= 10.3 .已知(1 x)=a。+ ax +&x+a3x+adx+asx,則(a0+a2+a4)(a1 + a3 +as)

20、的值等于解析：依題可得 a0+a2+a4= (a1 + a3+a5) =16, 則(a0+ & + a，)( a + a3+ a5) = 256.答案：2564 .若c20+6=C202(ne N),且(2 x)n=a0+aix+ ax2+anxn,則ab-&+ (1)7 =.解析：由 C20+6 = C2/2可知 n = 4,令 x=1,可得 a。一ad a2+ ( 1)nan= 34=81.答案：81-1 L5.已知4+ 2x的展開式中前三項的二項式系數的和等于37,求展開式中二項式系數最大的項的系數.-.01211一解：由 Cn+G1+C2=37,得 1 + n+2n(n

21、 1) =37,得 n=8.1+ 2x的展開式共有9項.，1 4， 35 ，35其中T5=Q 4 (2 x) = -x ,該項的二項式系數最大，系數為 .強化培優通關鞏固提升A基礎達標1 .若x3 + ： (ne N*)的展開式中只有第 6項系數最大，則該展開式中的常數項為()xA. 210B. 252G. 462D. 10解析：選A.由于展開式中只有第 6項的系數最大，且其系數等于其二項式系數，所以展開式項數為11,從而n= 10,于是得其常數項為明=210.2.(1 +x)n(3 -x)的展開式中各項系數的和為1 024 ,則n的值為()A. 8B. 9G. 10D. 11解析：選B.由題

22、意知(1 +1)n(3 1) = 1 024 ,即2n+1= 1 024 ,所以n = 9.故選B.3 .(2019 煙臺高二檢測)已知(1 +x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為()A. 212B. 211G. 210D. 29解析：選D.因為(1 +x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以CUG7,1解得n=10,所以二項式(1 +x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為2X210=29.4 .已知(3 x) n= & + a1x+a2x2+ anxn,若其第2項的二項式系數與第4項的二項式系數相等，則 a。一 a1+&+ (

23、 1)nan=()B. 64A. 32C. 128解析：選d.由題意可得 d=d,所以 令 X=1,則(3x)n=(3 + 1)4=a。一 所以 aoa+a2+ ( 1) 3n = 256.5.設(1 +x+x2)n=a°+aix+a2x2+3 + /nA. 2n= 4.3i + 82 as+ 34= 256.2n a2nx ,B.則 aO+a2+a4+ 32n 等于()解析：選 D.令 x= 1 得 3= a0+a +&+ a?.i + a2n.令 X = 1 得 1 = a。- 3l + 32-82n- 1+ a2n ,+得 3n+ 1 = 2(ao+32+, + a2n

24、),30+ 1所以 ao+a2+ 32n=1.故選 D.6 .已知(a-x) 5= a + aix+ azx2+ asx5,若 32 = 80,則 ao+ai+ a2+ as=. 解析：展開式的通項為 Tr+i=(-1)rd- a5 r xr,令 r =2,則 a2=(- 1)2d a= 80,即 a = 2,故(2 x)5= ao+aix+azx2+ asx 令 x= 1,得 日 + + a5= 1.答案：17 .若(1+#)5 = a+bW(a, b 為有理數)，則 a+b=.解析：因為(1 + y2) 5= (f( /2) °+ d(2)1 + d(aJ2) 2+ d(72)3

25、 + d(4+ d( V2)5=1 + 5 姆 + 20+ 20/2 + 20+ 4亞=41 + 2972,由已知可得 41 + 29/2 = a+ b/2,所以 a+ b= 41+ 29= 70.答案：70QQ231 18 .( x + 1)( x-2) = ao+ ai(x- 1) + a2(x- 1) + 33(x- 1) + an(x- 1),則 ai + 32 +33 + 1 1 1 + an 的值為.解析：令x= 1,得ao=- 2.令 x = 2,得 ao+ a + a2+-+ an= 0.所以 ai + az+a3+ an = 2.答案：29.設(2 yx) i°&#

26、176;=國+ ax+azx?+ aioox100,求下列各式的值：(1) a°；(2) ai+& + a3+a4+ a©；(3) ai+a3 + a5+ 凄9；(4)( a0+a2+ aioo)2(ai + a3+ a99)2；(5)| ao| +| a + | aioo|.解：(1)令 x=0,可得 ao=2100.(2)令x= 1 ,可得a0+ ai+ &+ + aioo= (2 yJ3), (*)所以 ai + a2+ aioo= (2 ，3) 2 .令x=- 1.可得 a0 ai + a2 a3+ aioo= (2 + 13).與(*)式聯立相減得

27、100100(2-43) (2+V3)a+a3十十a99="(4)原式=(ao+a2+a100) + (an- a3+ +a99)- (a0+ a2+ +aw。) (a1 + a3+ + a99)= (a0+a+a2+ . , , +2100), (a? a + a2 a3 + . , +a98 a99 +2100)= (2- -3)(2+y3) 10011001(5)因為 Tr + 1 = ( - 1)rCr002 100 rh/3)rxr.所以 a2k-1<0(kC N).所以 | a0| + | a" + | a2| + | a100| = ao a1 + a2

28、 a3+ a00= (2 + 3).10 .已知 己一相n的展開式的各項系數之和等于4赤一忘 5的展開式中的常數項,求:33 n一季 展開式的二項式系數和;(2)泉一赤 展開式中含a-1項的二項式系數.解:依題意，令a=1,得 定一中a展開式中各項系數和為(3 - 1)n=2n, 4副一15b5展開式中的通項為Tr+1 = c5(4 Vb)5 r5br105r=(-1)rC545 r - 5-jb 6若Tr+1為常數項，則 6= 0,即r = 2,故常數項為丁3= ( - 1) 2& 43 5 1 = 2,于是有2n=27,得n= 7.(1) 余一第 展開式的二項式系數和為2n = 2

29、7 = 128.(2) 田一水 的通項為T+i=d a .(狗= c7(t)5r 21- 37 r a 6 ,人 5r 21/口令F- =-1,得= 3,所以所求a 1項的二項式系數為C3= 35.B 能力提升11 .若(12x)2 017= a0+aix + a2 oi7x2 017(xCR),則»+22+ 22而的值為()A. 2B. 0C. - 2D. - 1解析：選 D. (1 -2x)2 017 = ao+ax+ a2 017 x2 017 ,令 x=2，1 2 017a1a2a2 017則(1 2x2)= a°+萬+了+ 2207= 0,a1 a2a2 017其中a0=1,所以-+了+ 22017= - 1.12.( a+ x)(1 +x)4的展開式中x的奇數次哥項的系數之和為32,則a =.解析：設(a+ x)(1 + x) 4= ao+ a1x + a2x2+ a3x3 + &x4 + a5x5.令 x = 1,得(a+ 1) x 2 = a0+ a1 + a2+ a3+ a4+ a5.令 x = - 1,得 0 = a° a1 + & a3 + a4 a5.一，得 16(a+1) =2(ad a3+a5) =2x 32,所