1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu) 易錯(cuò)難題)一、圓的綜合1 .如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過(guò)點(diǎn)E作EG，AC于 G,交BC的延長(zhǎng)線于F.(1)求證：AE=BE(2)求證：FE是。的切線；(3)若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長(zhǎng).【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3) 5.【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：2 BC是直徑，/BEC=90； CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：3 BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又

2、EG，AC,.FEI OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，F(xiàn)H=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3. OE/ AC,AFC(G AFOE,CG FC CG 2J" FO ,即'上 + “6CG= .點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾的中股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).2.如圖，已知 4ABC內(nèi)接于。O, AB是。的直徑，點(diǎn) F在。上，且點(diǎn) C 點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D

3、,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.(1)求證：AE± DE;【答案】（1）證明見解析；（2）入,【解析】用 EI試題分析：（1）首先連接 OC,由OC=OA 而二易證得OC/ AE,又由DE切。O于 點(diǎn)C,易證得AE± DE;（2）由AB是。的直徑，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC為直角三角形，根據(jù)1AE=3求得AC的長(zhǎng)，然后連接 OF,可得4OAF為等邊三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知條件求得答案.Z BAC=Z OCA,ra ra 卜IZ BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于點(diǎn)C, OCX DE, AEXDE;(

4、2)解：.AB是。的直徑， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ,°/ BAC=Z EAC=30 , ° AEC為直角三角形，AE=3, .AC=A'連接OF, , OF=OA, / OAF=Z BAC+/ EAC=60 ,°.OAF為等邊三角形，II.AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2v , tan / CBa"3BC=2,.AB=4,，AF=2.考點(diǎn)：切線的性質(zhì).3.如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.如圖，求證:AD/ BC;（2）如圖（2），點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，弦DG/ AB,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M

5、,求證:AE=2DF； 在（2）的條件下，若DG平分/ ADC,GE=573 ,tan / ADF=4j3，求。O的半徑。0網(wǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） J129【解析】試題分析：（1）連接AC.由弦相等得到弧相等，進(jìn)一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.（2）延長(zhǎng)AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形 ABED是平行四邊形，從而有AD=BE, DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到 Z NDC=Z B.即可證明 MBE ACND,得到 AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.（3）連接BG,過(guò)點(diǎn)A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四邊形 ABED是平

6、行四邊 形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過(guò)解三角形ABE,得到AB, HB, AH, HE的長(zhǎng)，由 EC=DE=AB,得到 HC的長(zhǎng).在 RtAHC中，由勾股定理 求出AC的長(zhǎng).作直徑AP,連接CP,通過(guò)解4APC即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）連接 AC. -.AB=CD, ,弧 AB=M CD, z. ZDAC=Z ACB, .AD/ BC.(2)延長(zhǎng) AD至ij N,使 DN=AD,連接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 二.四邊形 ABED是平行四邊形，AD=BE, .1. DN=BE, ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/NDC=/B. / A

7、B=CD, 1.MBE0 小ND,AE=CN. / DN=AD, AF=FC,DF=-CN, .-.AE=2DF.(3)連接BG,過(guò)點(diǎn)A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊 形，AB=DE. DF/CN, ，/ADF=/ ANC, . / AEB=/ADF, ，tan/AEB= tanZ ADF=4>/3, DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,ZNDC=Z DCE. . / ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC,/ DEC=Z ECD=Z EDC,工DE

8、是等邊三角形，. AB=DE=CE -/ GBC=Z GDC=60 ;/G=/DCB=60； . ABGE 是等邊三角形，BE= GE=5)3 . / tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,設(shè) HE=x，貝U AH=473x .ZABE=Z DEC=60 °, ，/BAH=30 °, . . BH=4x, AB=8x,，4x+x=5石，解得：x=73 .AB=8T3, HB=4V3, AH=12, EC=DE=AB=8V3, .HC=HE+EC= J3 873 = 973 .在 RtA AHC 中，ac= Jah2 hc2 "122 (9拘2 =

9、 3而.AC作直徑 AP,連接 CP,Z ACP=90 , /P=/ABC=60 , . sin/P=,APAPq廿2誨AP sin60732V，OO 的半徑是 7129 .4.如圖，在 RtA AB的，/ABC=90°, AB=CB,以AB為直徑的。交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是 AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn) E不與點(diǎn)A、B重合)，DE的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)G, DF± DG,且交BC于 點(diǎn)F.(1)求證：AE=BF;(2)連接 EF,求證：/FEB=Z GDA；(3)連接GF若AE=2, EB=4,求 A GF而面積.分析：(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出 / A與/C的度數(shù)，

10、根據(jù) AB 為圓的直徑，利用圓周角定理得到/ADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=2AC,進(jìn)而確定出/A=/FBD,再利用同角的2余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；(2)連接EF, BG,由三角形 AED與三角形BFD全等，得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等，利 用同位角相等兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等，即可得出結(jié) 論；(3)由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角

11、三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的長(zhǎng)，由GE+ED求出GD的長(zhǎng)，根據(jù) 三角形的面積公式計(jì)算即可.詳解：(1)連接 BD,在 RtABC 中，ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.1 _ 一 . AB為圓 O 的直徑，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG,Z FDG=90 °,ZFDB+Z BDG=90 &#

12、176;.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中，AD BD ,EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF;(2)連接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) ,AE=BF, AE=2,，BF=2.在 RtA EBF 中，/ EBF=90 &#

13、176;,，根據(jù)勾股定理得: EF2=EB2+BF2. - EB=4, BF=2,EF=y/42-22 = 245 -、，DE ADEF為等腰直角二角形，Z EDF=90 ,cosZ DEF= .EF=2V5 ,DE= 2a/5 x2-= V10 .2GE EB ./G=/A, ZGEB=ZAED, GEN AED, .=，即 GE?ED=AE?EB,AE ED加？GE=8,即 GE=40 ,則 GD=GE+ED=9/10 .55c八1_19、,而.一1 SGDDF GDDE V10-9 .2252點(diǎn)睛：本題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定 與性質(zhì)，勾股定理

14、，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.5.如圖，已知平行四邊形 OABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B C在以。為圓心的半圓上，過(guò)點(diǎn)CD± AB,分另交AB、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E, AE交半圓O于點(diǎn)F,連接CF（1）判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若半圓O的半徑為6,求AC的長(zhǎng).【答案】（1）直線CE與半圓。相切（2） 4【解析】試題分析：（1）結(jié)論：DE是。的切線.首先證明 AABO, BCO都是等邊三角形, 證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問(wèn)題；(2)只要證明OCF是等邊三角形即可解決問(wèn)題，求AC即可解決問(wèn)題.試題解析：(1)直線C

15、E與半圓。相切，理由如下：四邊形OABC是平行四邊形，AB / OC. / D=90 ；/ OCE=Z D=90 :即 OCX DE, 直線CE與半圓O相切.(2)由(1)可知：/COF=60, OC=OF .OCF是等邊三角形， ./AOC=120 °Ac的長(zhǎng)為1206=4 兀.1806.如圖所示，以 RtABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點(diǎn) D, E為BC邊上的中 點(diǎn)，連接DE.(1)求證：DE是。的切線；(2) -連接OE, AE,當(dāng)/CAB為何值時(shí)，四邊形 AOED是平行四邊形？并在此條件下求 sin/CAE 的值.【答案】(1)見解析；(2)° .10【解

16、析】分析：(1)要證 DE是。的切線，必須證 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要證AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，又BD± AC,所以 ABC為等腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.詳解：(1)證明：連接0、D與B、D兩點(diǎn)，.BDC是RtA ,且E為BC中點(diǎn)，/ EDB=Z EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 :.DE是。0的切線.(2)解： Z EDO=Z B=90°,若要四邊形AOED是平行四邊形，則 DE/ AB, D為AC中點(diǎn)，

17、又 ; BD± AC, ABC為等腰直角三角形./ CAB=45 :過(guò)E作EHI±AC于H,一 一 2_設(shè) BC=2k,則 EH=A2k, AE=T5k,EH .10 sin Z CAE= AE 10點(diǎn)睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心 和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.7.如圖.在 4ABC 中，/C=90°, AC=BC, AB=30cm,點(diǎn) P 在 AB 上,AP=10cm,點(diǎn) E 從點(diǎn) P 出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cm/s的速 度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以

18、原速度沿線段 AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，以EF為邊作正方形 EFGH使它與4ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s) ( 0<t<20).(1)當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；(2)設(shè)正方形EFGH與4ABC重疊部分的面積為 S. 試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式； 以點(diǎn)C為圓心，1t為半徑作OC,當(dāng)。C與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí) S的值.29t2?(0 t 2)7 2【答案】(1) t=2s 或 10s； (2)S=-t2 50t 50(2 t 10); 100cm 2.2_ _t 40t 400? (10 t 20)【解析】試題分析：(1)如圖1中，當(dāng)0

19、vtW5時(shí)，由題意 AE=EH=EF,即10-2t=3t, t=2;如圖2中，當(dāng) 5vtv20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10- ( 2t 10) +t, t=10；(2)分四種切線討論 a、如圖3中，當(dāng)0vtW2時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH S= (3t) 2=9t2. b、如圖4中，當(dāng)2vtW5時(shí)，重疊部分是五邊形 EFGMN. c、如圖5中，當(dāng)5<t< 10時(shí)，重疊部分是五邊形 EFGMN. d、如圖6中，當(dāng)10vtv20時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH分別計(jì)算即可；分兩種情形分別列出方程即可解決問(wèn)題.試題解析：解：(1)如圖1中，當(dāng)0vtW5時(shí)，由題意得：AE=EH

20、=EF,即10-2t=3t, t=2El如圖 2 中，當(dāng) 5vtv20 時(shí)，AE=HE, 2t - 10=10- (2t10) +t, t=10.綜上所述：t=2s或10s時(shí)，點(diǎn)H落在AC邊上.C圖2(2) 如圖3中，當(dāng)0VtW2時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH, S= (3t) 2=9t2圖3如圖4中，當(dāng)2vtW5時(shí)，重疊部分是五邊形 EFGMN, S= (3t) 2- - (5t-10) 2 = -2S= (20- 1) 2- 1 (3027 t2+50t - 50.2如圖6中，當(dāng)10vtv20時(shí)，重疊部分是正方形 EFGH S= (20-t) 2=t2-40t+400.,7 2綜上所述：S

21、= 3 t2 50t 50(2 t 10)2t2 40t 400? (10 t 20) 如圖 7 中，當(dāng) 0vtW5時(shí)，1t+3t=15,解得：t=30 ,此時(shí) S=100cm2,當(dāng) 5vtv20 時(shí), 271-t+20- t=15,解得：t=10,此時(shí) S=100.2綜上所述：當(dāng)OC與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí) S的值為100cm2點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，注意不 能漏解，屬于中考?jí)狠S題.8.如圖， ABC內(nèi)接于OO,弦ADLBC,垂足為H,連接OB.(1)如圖 1,

22、求證：/DAC=/ ABO;(2)如圖2,在弧AC上取點(diǎn)F使/CAF=/ BAD,在弧AB取點(diǎn)G,使AG/ OB,若/ BAC=6C0, 求證:GF=GD;(3)如圖3,在(2)的條件下，AF、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E若AF: FE=1:9,求sin/ADG的值。【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3) 11.14【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)BO交。于點(diǎn)Q,連接AQ.由圓周角定理可得：/AQB=/ACB,再由等角的余角相等即可得出結(jié)論；(2)證明4DFG是等邊三角形即可；(3)延長(zhǎng) GA,彳FQ±AG,垂足為 Q,作 ON± AD,垂足為 N,作OM，BC,垂足為 M

23、,延長(zhǎng)AO交。O于點(diǎn)R,連接 GR/DPI AG, DK± AE,垂足為 FE=9k, AE=10k,在 4AHE 中，AH=5k.設(shè) NH=x,貝U AN=5k-x, AF=k, AQ=k，F(xiàn)Q=K3k.由（2）知：4GDF是等邊三角形，得到P、K.設(shè) AF=k,貝UAD=10k-2x,在 AQF 中,GD=GF=DF,進(jìn)而得到AG=9k-2xOM=NH=x,BC=273x, GF=BC=2a/3x.在 4GQF中，GQ=AG+AQ=£ k-2x, QF=k,GF=2 .3 x,11 GAR 中,由勾股定理解出 x -k ,得至|J AG=9k-2x= k , AR=2O

24、B=4OM=4x=7k.在42由sin/ADG=sin/R即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）證明：如圖1,延長(zhǎng)BO交。O于點(diǎn)Q,連接AQ. BQ 是。O 直徑，./QAB=900. -ADI BC, ./AHO900.,弧 AB=M AB, . . / AQB=/ACB. / AQB+Z ABO=900, / ACBZ CAD=900/ ABO=Z CADSI(2)證明：如圖2,連接DF.1. AG/ OB,Z ABO=Z BAG. / Z ABO=ZCAD, . / CAD=/BAG./ BAO600,/ BAD+Z CAD=Z BAD+Z BAG=600,即/ GAD=/BAO60 ： Z

25、BAD=ZCAF. . . / CAF+/CAD=60°,Z GAD=Z DAF=600,/ DGF=Z DAF=60.弧 GD=MGD,ZGAD=ZGFD=600, . . / GFD=/DGF=600, . . DFG是等邊三角形，.GD=GF.（3）如圖3,延長(zhǎng)GA,彳FQ, AG,垂足為 Q,彳ON± AD,垂足為N,作OMLBC,垂足為 M,延長(zhǎng)AO交。O于點(diǎn)R,連接GR/DPXAG, DK± AE,垂足為P、K. AF: FE=1: 9, 設(shè) AF=k,貝U FE=9k, AE=10k.在 4AHE中，/ E=300, - AH=5k.設(shè) NH=x，貝

26、U AN=5k-x. / ONXAD, . AD=2AN=10k-2x又在 AAQI3 中， Z GAF=1200, . / QAF=600, AF=k,AQ= , FOk22 '由(2)知：4GDF是等邊三角形，.-.GD=GF=DF, Z GAD=Z DAF=600,，DP=DK, GPD FKD, AAPDAAKD .FK=GP, AP=AK, ZADK=300, AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1c作 OMBC, ONXAD, . OM=NH=x. / Z BOD=- Z BOC=Z BAC=6002.BC=2BM=2>y3x.

27、Z BOC=ZGOF, ，GF=BC=2晶x在AGQF中，GQ=AG+AQ=11k-2x, QF=3k, GF=2>/3x2 GQ2FQ2GF22x由 k 2.3x2 2x2孕舍去11 .AG=9k-2x= k , AR=2OB=4OM=4x=7k, 2在 AGAR 中，/RGA=900,AG 11 . sin / ADG=Sin / R=.AR 14點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和常用的輔助線做法是解答本題的關(guān) 鍵.P為劣9.如圖，OB是以(O, a)為圓心，a為半徑的OOi的弦，過(guò)B點(diǎn)作。Oi的切線, 弧OB上的任一點(diǎn)，且過(guò) P作OB、AB，OA的垂線，垂足分別是 D、

28、E、F.(1)求證：PD2=PE?PF(2)當(dāng)/BOP=30, P點(diǎn)為OB的中點(diǎn)時(shí)，求 D、E、F、P四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及 Smef.【答案】(1)詳見解析；(2) D (-立 a, -a) , E (- 3a, -a) , F (-叵 a,444420) , P ( a, - ) ； 9DEF=3Z3 a2.2216【解析】試題分析：(1)連接PB, OP,利用AB切。Oi于B求證PBaPOD,得PB PE PB PD 小 ,出 ，同理，AOPFABPD,得出 ，然后利用等量代換即可.OP PDOP PF(2)連接OiB, QP,得出OiBP和OiPO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可 解得D

29、、E F、P四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).再利用三角形的面積公式可直接求出三角形DEF的面積.試題解析：(1)證明：連接PB, OP,-. PE± AB, PD± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,.,.PBEAPOD,.迪陛OP Fl同理，AOPFABPD.迪埋OP PF,PE PD.=PD P.l. pd2=pe?pf(2)連接 O1B, O1P,. AB 切。O1 于 B, Z POB=3O°,/ ABP=30 ；/ O1BP=9O - 30 =60 °, .O1B=O1P, .O1BP為等邊三角形， .O1

30、B=BP, .P為弧BO的中點(diǎn)，BP=OP,即O1PO為等邊三角形，/ OiOP=60 ,又P為弧BO的中點(diǎn),OiPXOB,在O1DO 中， /OiOP=6(HDiO=a, .OiD=-a, OD工 <a, 221 Vq過(guò) D作 DMLOQ 于 M,，DM"OD=a,rr 3OM=jxi, 3DM=a, Z OiOF=90 , ZOiOP=60Z POF=30 ,-.PE± OA,0),. AB 切。Oi 于 B, Z POB=30Z ABP=Z BOP=30 ,. PEXAB, PB=a,Z EPB=60P為弧BO的中點(diǎn),BP=PO,Z PBO=Z BOP=30 ；

31、Z BPO=120Z BPE吆 BPO=120 +60 =180 , 即OPE三點(diǎn)共線，1-OE-a+a-a,過(guò)E作EMLx軸于M, .AO切。Oi于O,Z EOA=30 ,看,OMa,匚空 E (一 a,5匚/-E a,DE電-（血）=3a de= a （ a） a,4 P |2DE邊上的高為：彳a,4. SEd/a 旦-迅2. sz def01 /ra 六aa .2| 2416故答案為：D （烏a, a）,44F （一a, 0） , P （-a,10.如圖，4ABC是。的內(nèi)接三角形，點(diǎn) D, E在。上，連接 AE, DE, CD, BE, CE, / EAC+-Z BAE=180 , &#

32、176;?B CD .(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半徑.【答案】(1) BE=CE理由見解析;2)證明見解析；(3)8.3【解析】分析：(1)由A、B、C E四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：ZBCE+ZBAE=180 ,則/ BCE=ZEAC,所以？E= CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明ABEDCE;(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明 RtA GB8 RtAHBO (HL),則/ OBH=3 0 ,設(shè)OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長(zhǎng).本題解析：(1)解：BE=CE理由：. /EAC

33、+y BAE=180, / BCE+7 BAE=180,/ BCE=Z EAC,l ?E= CE , .BE=CE(2)證明：. ?KB CD,，AB=CD :？e=Ce, Ae Ed，ae=ed 由(1)得：BE=CE 在 ABE和ADCE中，AE DE . AB CD , BE CE .ABEADCE (SSS ;(3)解：如圖，二.過(guò)。作 OG，BE 于 G, OHBC 于 H,BH= - BC=- X 8=4 BG=-BE, 222 BE=CE / EBC=Z EAC=60 BEC 是等邊三角形,BE=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=Z

34、GBO=-/ EBC=30 ；2設(shè) OH=x,貝U OB=2x,由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=4叵，3.OB=2x=九，OO的半徑為生叵.33點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問(wèn)還可以利用三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等的 結(jié)論；第三問(wèn)作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵11.如圖1,在RABC中，ZABC=90°, BA=BC,直線 MN是過(guò)點(diǎn) A的直線 CD)± MN于點(diǎn) D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段DC, AD, BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過(guò)觀察思考

35、，小明出一種思路：如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BEX BD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段 DC, AD, BD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng) 4ABD面積取得最大值時(shí)，若 CD長(zhǎng)為1, BD的長(zhǎng).【答案】(1) 亞；(2) AD- DC=y2 BD； (3) BD=AD=&+1.【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC, AD, BD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過(guò)點(diǎn)B作B已BD,交MN于點(diǎn)E. AD交BC于O,證明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,

36、根據(jù) BED為等腰直角三角形，得到 DE J2Bd ,再根據(jù)DE AD AE AD CD ,即可解出答案.AB的右側(cè)(3)根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn) D在線段AB的垂直平分線上且在 時(shí)，4ABD的面積最大.在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH AH 42,由BD AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，卻由題意：BAE0 BCD ,.AE=CD, BE=BD .CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= ,2 BD, .DC+AD= 2 BD,故答案為22 (2) AD DC V2BD -證明：如圖，過(guò)點(diǎn) B作B已BD,交MN于點(diǎn)E. AD交B

37、C于O.ABC DBE 90 , ABE EBC CBD ABE CBD .EBC,BAE AOB 90 ,BAE BCD ,BCD COD 90 , AOBABE DBC ,又 AB CB ,CDB0 AEB,CD AE , EB BD ,BD為等腰直角三角形， DE &BD . DE AD AE AD CD , AD DC 72BD -AB(3)如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn) D在線段AB的垂直平分線上且在的右側(cè)時(shí)，ABD的面積最大.圖3此時(shí)DG±AB, DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH AH 反,BD AD .2 1【點(diǎn)睛】本題

38、主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵12 .在e O中，AB為直徑，C為e O上一點(diǎn).圖辭(I )如圖，過(guò)點(diǎn)C作e O的切線，與 AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,若 CAB 28 ,求 P的大小；(n)如圖，D為弧AC的中點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)E,連接DC并延長(zhǎng)，與 AB的 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,若 CAB 12 ,求 P的大小.【答案】(1) /P=34° (2) /P= 27°【解析】【分析】(1)首先連接OC,由OA=OC,即可求得/A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得 /POC的 度數(shù)，繼而求得答案；(2)因?yàn)镈為

39、弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑，所以 ODLAC,繼而求得答案.【詳解】(1)連接OC,.OA=OC,/ A= / OCA= 28 ；/ POC= 56 ;CP是。O的切線，/ OCP= 90 °,/ P= 34 °；(2) 為弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑， ODXAC, / CAB= 12 ；/ AOE= 78 ；/ DCA= 39 ； / P= / DCA / CAB,/ P= 27 :0本題考查切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.13.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (-2, 0)、B (4, 0)、C (0, 3)三點(diǎn).圖 圉(1)

40、試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)T ( - 4, 0) , Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 A、B、Q為頂點(diǎn) 所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3 23. .【答案】(1) y -x -x 3; (2) 5PA+4PC的最小值為18; ( 3)直線l的解析式 84、，33人為 yx3或 y x3.44【解析】【分析】(1)設(shè)出交點(diǎn)式，代入 C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)A作AE，BC于點(diǎn)E,過(guò)PC PD4點(diǎn)P作PD)± BC于點(diǎn)D,易證CD/COB,得到比例式，得到PD=- PC,

41、所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,當(dāng)點(diǎn) A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面積法求出 AE=18,即最小值為18 ( 3)取AB中點(diǎn)F,5以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)/BAQ= 90°或/ ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸， 所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/ BAQ= 90°或/ ABQ= 90°,即/ AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q, 直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/ AQB=90 °的點(diǎn)Q只有一個(gè)；

42、此時(shí)，連接 FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG，x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1) ;拋物線與x軸交點(diǎn)為A ( - 2, 0)、B (4, 0). . y = a (x+2) ( x 4)把點(diǎn)C (0, 3)代入得：-8a=33 a =8.拋物線解析式為 y=- 3 (x+2) (x- 4) =- -x2+-x+3884(2)連接AC BC,過(guò)點(diǎn)A作AE，BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D/ CDP= / COB= 90 ° / DCP= / OCB.-.CDFACOBPC PDBC OB,. B (

43、4, 0) , C (0, 3) ob=4, oc= 3, bc= Job2 oc2 =54 -PD= - PC5.-.5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD5 當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PG= 5 (PA+PD) = 5AE最小. A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Saabc= -AB?OC= - BC?AE22ABn OC 6 3 18AEBC 55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓當(dāng)/BAQ= 90°或/ABQ= 90°時(shí)，即 AQ或BQ

44、垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90 °/ AQB= 90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn) Q 當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與 A、B重合)，/AQB= 90 ° 直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB= 90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過(guò)點(diǎn)Q作QG± x軸于點(diǎn)G/ FQT= 90 ° .F 為 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中點(diǎn)，F(xiàn) (1, 0) , FQ= FA= 3,. T (4, 0) .TF= 5, cos/QFT= FQ 3TF 5FG 3RtA FGQ 中，cos/ QFT= 一FQ 5

45、3FG= FQ=2912555 -XQ= 1- 9g , QG= 1/FQ_FG 3324 _4 12右點(diǎn)Q在x軸上方，則Q ()5 5設(shè)直線l解析式為：y= kx+b4k b 04 ,12 解得:-k b 5 5，3，直線 l： y x 34124若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q (,)553 八，直線 l： y -x 34 33綜上所述，直線l的解析式為y x 3或y-x 344本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較 高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問(wèn)能夠找到滿足條件的 Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論14.如圖，PA切。于點(diǎn)A,射線PC交。于C、B兩點(diǎn)，半徑

46、 OD，BC于E,連接BD、DC和OA, DA交BP于點(diǎn)F;_1(1)求證：/ ADC+-Z CBD= / AOD;2(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中相等的線段.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析;【解析】【分析】1根據(jù)垂徑定理得到bd CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到1 1ODA 180oAOD90o AOD ,即可得到結(jié)論；2 22根據(jù)垂徑定理得到BE CE , BD CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADO OAD ,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PAO 900,求得 OAD DAP 90°,推出 PAF PFA ,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】1 證明：QO

47、D BC,n nBD CD 'CBD DCB,Q DFE EDF 90°,EDF 90° DFE ,QOD OA,1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ,2 2190o DFE 90o AOD ， 21-DEF AOD, 2Q DFE ADC DCB ADC CBD ,_1 分ADCCBD AOD ；22 解：QOD BC,n nBE CE，BD CD，BD CD ,Q OA OD , ADO OAD,Q PA切e O于點(diǎn)A,PAO 900,OAD DAP 90°，Q PFA DFE , PFA ADO 900, PAF PFA , PA PF

48、 .【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，正確的識(shí)別 圖形是解題的關(guān)鍵.15.如圖1,等腰直角 4ABC中，Z ACB=90°, AC=BC 過(guò)點(diǎn)A, C的圓交 AB于點(diǎn)D,交BC 于點(diǎn)E,連結(jié)DE(1)若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長(zhǎng)(2)如圖2,連結(jié)CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD(3)如圖3,在圓上取點(diǎn) P使得/PCD=Z BCD (點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合)，連結(jié) PD,且點(diǎn)D 是4CPF的內(nèi)心請(qǐng)你畫出CPF說(shuō)明畫圖過(guò)程并求 /CDF的度數(shù) 設(shè) PC=a, PF=b), PD=c,若(a-J2c) ( b-J2 c) =8,求 CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).(3) 135° ;2.【解析】【分析】(1)由 A、C、E、D四點(diǎn)共圓對(duì)角互補(bǔ)為突破口求解;_11) DE=1, CE=372； (2) tan/BCD=4(2)找/ BDF與/ ODA為對(duì)頂角，在 0O中，Z COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形，從而得到 Z EDC+Z ODA=45 ,即可證明/CDF=135;(3)過(guò)點(diǎn)D做DH CB于點(diǎn)H,以D為圓心，DH為半徑畫圓，過(guò)點(diǎn) P做eD切線PF 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,結(jié)合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的