1、第九章重積分一、選擇題1.I=(x2y2 z2)dv, :x2 y2 z2 1 球面內部,則 I= C A. dv 的體積 B.221 40 d 0 d 0rsin dr一 21 ,C. cd cd c r4 sin dr D.0002. 是 x=0, y=0, z=0, x+2y+z=121 40 d 0d 0r sin dr所圍閉區域， 則 xdxdydz112x1x 2yA.cdx八dy八xdz000B.C.1L_y102dy 02 dx0xdzD.1 x一11 x 2ydx 2 dy xdz0001 , 1 2y , 1 x 2y , cdy 八dx 八xdz0003.設區域D由直線y

2、 x,yx 1所圍閉區域，Di是D位于第一象限的部分,則B (A)xyxcosxydxdy2 xydxdy Di4.A. 15.A.C.(B)(C)(D)xyxyxyxcosxcosxcosxyxyxydxdydxdydxdy22:x2 y2z2zln(x2x2 yB.C. 0D.(x,y) x2a2r2sina0(cos2a ,ydr0B.其中a0d3r sin cos )dr D.02 d2 xcos xy dxdy di2 (xy xcos(xy)d xdyDi0,3 . r sin 03.r sin 01) dxdydz43xy dcoscosdrdr-a 3r sin cos dr0

3、6.設 a 0, f (x) g(x)a,0 x0,其余1,D為全平面，則 f(x)g(yDx) dxdyA. a B.-a2C. a2 D.2cos_7 .積分 02 d 0 f (r cos ,r sin )rdr 可寫為 D1y-"y21 hA. 0dy 0 f (x,y)dx B. 0dy。 f(x, y)dx111x-x2B. 0dx0f(x,y)dy D.°dx ° f(x,y)dy2 x8 .父換二次積分0 dx 0 f (x, y)dy的積分順序為(A)42(A) dy f (x, y)dx (B) 0 y42(C)0 dy x2 f (x, y)

4、dx (D)9.設平面區域D由x 0, y 0, x y 4, x40dy40dyI2(xDy)3dxdy,I3sin(xD- y0 f (x, y)dxy2 f (x, y)dxy 1 圍成，若 I ln(x y)3dxdy,Dy)3dxdy,則I1,12, I3的大小順序為(C).(A) I1I2 I3(B)dxdy(A131211(C) I11312(D)1311122 210. sL=F-dxdy 的值 (B).1 x2 y2 4 x y(A)大于零 (B) 小于零 (C) 0(D)不能確定11 .設積分區域 D 由 |x| a, |y| a (a 0)圍成，則 xydxdy ( C)

5、. D(A) 1(B)%(C) 0(D) A, B, C都不對2-712 .告_y-dxdy 的值 (B).1 x2 y2 4, x2 y2(A)大于零 (B) 小于零 (C) 0(D)不能確定“11 x222.13 .把二次積分°dx mex ydy化為極坐標形式的二次積分(B ).21 r251r2(A) d re dr(B)d re dr0002212212(C) d oer dr(D)° d °er dr14.設積分區域 皿由直線y=x,y=0,x=1圍成，則有D(A) 0xdx dy0(B) 0ydy dx0(C) 010dx dy(D) 0ydy dx

6、x15.設D由yx, y2x,y,dxdy1圍成，則D1(A) 2(B)(C) 1(D)16.根據二重積分的幾何意義,卜列不等式中正確的是(A)(x 1)d0,D：1,y <1; (B)(xD1)d0,D: |x<1, y <1;(C)(x2 y2)d0,D： xy2<1； (D)ln(x2 y2)d0, D :17.x2y2dxdy其中2,y 04；(A)(B)(C)(D)18.0重積分0xydxdyx 1y 1(A)(B)(C)(D)19.3 x2 y2dxdy的值等于（A.B.C.D.020.二重積分0xydxdyx 1y 1(A)(B)1(C) 4(D)21.(

7、A)設就區域x,y|x2y2 a2,又有22.(B)D(C) 42y dxdy(D) 8則 a二 ( B若就平面區域x, y| 0 x 1, 1 yx dxdye ,則二重積分D ye1(A) 2(B) 2(C) e(D) 1c /dxdy23.設d由 y x, y 2x,y 1 圍成，則 d ( b )113(A) 2(B) 4(C) 1(D) 2二、填空題、“八，一"三三11 X21 .變換積分次序02 dy O f(x,y)dx02 dx 02 f(x,y)dy2dx ° f(x,y)dy222 .比較大小：其中D是以(0,0),(1,1),(1,1)為頂點的三角形(

8、x2 y2)dxdy <. x2 y2dxdyDD、“一 ，141 x413 .變換積分次序dy 2 f (x, y)dx dx _ f (x, y)dy dx _ f (x, y)dy2y20x1 -yx2x2424 .交換二次積分的積分次序dx f x, ydy= dy f x, y dx11V225 .交換 dy e dx的積分次序后的積分式為dx ex dy,其積分值為- e 10 y2o 0乙、一 ，、，、，、11 x11 y6、父換二次積分的積分次序后，0dx 0 f(x,y)dy= 0dy 0 f (x, y)dx、a 2ax xa y7、交換二次積分的次序 °

9、dx * f (x, y)dy o dy a -2_2 f(x,y)dx三、計算與證明1 .計算 xy2dxdy,其中D是拋物線y2=2x與直線x=二所圍閉區域 D2力2 .1.22 .角牛： xy dxdy = 1dy 21 2 xy dxd2y-1/121 6、人=(-y -y )dy188_1一212 .計算 I= sin vx2y2dxdy , D=(x, y) 2 x2 y 4 2D解：令 x=rcos , y=rsinr sin rdr則I=o=6 23 .設 G(x)在 0 x 1 上有連續的 G''(x),求 I= xyG''(x2 y2)dxd

10、y ,其中 D 為 Dx2 y2 1的第一象限部分解：在極坐標下計算積分，D=(r,) 0 r 1,022 .d 2、1- r2 sin cos G (r2 )rdrd D02sin cos d0r3G (r2 )dr1 ；r3G-'(r2)dr10uG (u)du1-=4g(1)G (0) G(1)4. xydxdy,其中 是以a為半徑，坐標原點為圓心的圓aa2 x2a解： xy dxdy= dx 2_2 xy dy= a(a2 x2) x dx=(a24x2 )xdx (1 分)=25.sin x2 y2dxdy,2解:sin . x2 y2dxdy =2r sin rdr =22

11、rsin rdr6.(x2 y zev2)dxdydz,其中為球體x2 y2 z21在z 0上的部分。x解：利用球面坐標變換 yzr sinr sinr cos1 (r, , )0,222(x y zzer2dr02 s訪7.計算重積分dxcossin,01,02Kxdydz =cos d =y dy的值。I解:I1e x108.計算二重積分 （x2解:的邊界曲面方程2cos o為：02 ,03r sin1 (2cos e r drd d(x222y z )dvsin02.sin010dyy2dx (2 分)1(xe010ye1-e22(i）dv,其中y2)|o dy.,2y dy (2分)y

12、2|01 八一）（傷）z2 2z用球面坐標表示:,0 r 2cos ,于是22cos02cos2zo2r cos ,即sin dr (2分)r2r2dr3255 cos3215(3分)09.證明：yady ea x f (x)dx xea x f (a x)dx. 00a a證明：左邊 dx eax 0 xf (x)dy(2分)所以原式得證。aae0令a x uf (x)(a0eu f (a ax)dxu)udu (3 分)xex f (a x)dx (3分)右邊10.計算二重積分(1D2y)dxdy ,其中 D : 1 x1, 2 y 2。解：（方法一）2y)dxdy1dx122(1（方法二

13、）11(yx2y22y ) 12 dx1 i(42x)dx 8 (3 分).(1D22y)dxdy 2dy11(1x八2y)dx (2 分)211.求(1D區域。解：令cos sin22(1 x y )dxdyDdxdy12.求 D 4 x222(x122yx)|1dy 2(24y)dy 8 (3 分).）dxdy，其中D是由y x, y0, xy2 1在第一象限內所圍成的dxdyD .4 x2 y24d010(12) dx, y |1162.rdrd 2 (4分)01 . 4 r4, y（2分），所以13.計算由曲面z=2-x2-y2與xoy坐標面所圍成的體積。解：采用極坐標22_2V （2

14、 r ）rdrd0014.求 D x2dxdy,其中D是由直線yx, yx2及x=2圍成的區域。sinx ,dxdyD x2 x ,sinx , dx dy0 x x22sinx0 xiXy|xdx212sinxdx 2o21cos215.求 I=（x2y2）dv的值，其中是x2y2 z2與z a所圍成的閉區域。（a>0）a2 r3（a r）dr05 a10解：ey dxdy ey dxdy（3分）yey dy1ey 20（3分）號（1分）x 6y dxdy17.求D,其中M直線y5xx 1所圍成的區域。1 5xx 6y dxdy dx x 6y dyD= 0 x（2 分）=0xy3y2

15、5x1dx76x2dxx（2 分）=o解：米用柱坐標2 a aI r3dzdrd0 0 r,216.計算 ey dxdy,其中D由y=x, x=0, y=1所圍成的平面區域。D1760二 376 3x3一 318.設比由x2 y2 1與x 0, y 0所圍在第一象限內的部分，求二重積分 x2ydxdy. D解 x2ydxdy D11 x2dx00x2ydy 2分122dx -x y21 x22分0121222、x (1 x )dx1 5 -x51=1分 1519、求InDy2dxdy,其中 D為：e解：DIn22 e2y dxdy d 2r In rdr0 e12c 2 )e 3e 1 d2(

16、3分尸e2 3曲面積分與曲線積分1 .設OM 是從 O (0, 0)到點M (1,1)的直線段，則與曲線積分積分是：( )A)1e，、2dx0B)1 二e 2y . 2dy0C)- 2 tet dt0D)er 、2dr0選擇2 .設L是從點O(0,0)沿折線y=1-|x-1|222_e、y ds不相等的om至點A(2,0)的折線段，則曲線積分I= l ydx xdy等于()A)0B)-1C)2D)-23 .設L為下半圓周x2 y2R2 (y 0),將曲線積分I= /x 2y)ds化為定積分的正確結果是：()A)R2 (cos t 2 sin t )dt B)02R (cost 2 sin t

17、)dtC) R2 ( sin t 2cost)dt D)3Ar2( sint2 cost) dtABCAT 向,4 .設L是以A(-1,0) ,B(-3,2),C(3,0)為頂點的三角形域的周界沿1(3x y) dx (x 2y)dy 等于：()A) -8 B) 0 C) 8 D) 205.設AEB是由點 A(-1,0) 沿上半圓 y ：1 x2經點E(0,1)到點B(1,0),則曲線積分1= y3dx 等于：()AEBA) 0 B) 2 y3dx C) 2 y3dxD) 2 y3dxBEEBEA一、 填空cos , cos , cos是光滑閉曲面2的外法向量的方向余弦，又2所圍的空間閉區域為

18、;設函數P(x,y,z),Q(x,y,z) 和R(x,y,z)在上具有二階連續偏導數，則由高斯公式，有R QPRQ Po ( )cos ( )cos ( )cos ds=°y zz xx y2 .設L是xoy平面上沿順時針方向繞行的簡單閉曲線，且。(x 2 y) dx (4x 3y )dy 9,則L所圍成的平面閉區域 D的面積等于 。3 .設函數P(x,y,z,)在空間有界閉區域上有連續的一階偏導數，又2是的光滑邊界面的外側，則由高斯公式，有 o P ( x , y , z) dydz 。4 .設2是球面x2 y2 z2a2的外側，則積分 o ydxdy 。22355 .設L是xoy

19、面上的圓周x y1的順時針方向，則 Iix's與12=。y5ds的大LL小關系是。6 .設力F的模|F |1, F的方向與yi xj相同，則在力F的作用下，質點沿曲x2 y222線 L: 1正向繞行一周，力F所做的功可用曲線積分表示22a b為： 。、 計算1 .計算曲線積分 "(x y)ds,其中L為連結O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的閉曲線OABO.2 .計算L(x2 2xy)dx (y2 2xy)dy ,其中L由直線段ABW BC組成，路徑方向從點 A(2,-1) 經點 B(2,2)到點 C(0,2).3 .求 I=(ex sin y my)dx (ex c

20、osy m) dy, 其中 AnO 為由點 A(a,0)到點 O(0,0)Ano上半圓周x2y2ax.4 .驗證：當x2 y20時，-ydx一xdy是某二元函數U(x,y)的全微分，并求U(x,y).x2 2y25 .計算 xdydz, 2是球面x2 y2 z2R2在第一卦限部分的上側。6 .設在xoy面內有一分布著質量的曲線弧L,在點(x,y)處它的線密度為p (x,y),用對弧長的曲線積分分別表達：(1)這曲線弧對x軸、對y軸的轉動慣量Ix,I y；(2)這曲線弧的重心坐標。1 .計算下列對弧長的曲線積分：(1) n (x2y2 )n ds ,其中 L 為圓周 x=acost ,y=asi

21、nt 0 t 2 ;LL22ccc(2)芍gy ds，其中L為圓周x2 y2 a2,直線y=x及x軸在第一象限內所圍成 的扇形的整個邊界；(3) x2yzds,其中為折線 ABCD這里 A,B,C,D 依次為點(0,0,0), (0,0,2) , (1,0,2),(1,3,2).2 .計算下列對坐標的曲線積分：(1) xydx,其中L為圓周(x a)2 y2 a2 (a 0)及x軸所圍成的在第一象限內 的區域的整個邊界(按逆時針方向繞行)；(2)口 (x y)dx (x y)dy ,其中l為圓周x2 y2 a2 (按逆時針方向繞行)；Lx2 y2(3) xdx ydy (x y 1)dz,其中

22、 r是從點(1,1,1)到點(2,3,4)的一段直線。9 .利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：圓 x2 y2 2ax.10 .證明下列曲線積分在整個xoy面內與路徑無關，并計算積分值：(3,4)2322(6xy y )dx (6x y 3xy )dy(1,2)11 .利用格林公式，計算下列曲線積分：口 (x2 y cos x 2xy sin x y 2ex )dx (x2 sin x 2 yex )dy , 其中 L 為正向 星形線L222xy3a3 (a0).12 .驗證下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整個xoy平面內是某一函數 U(x,y)的全微分，并求這樣的一個 U(x

23、,y) :4 sin x sin 3 y cos xdx 3 cos 3 y cos 2 xdy13 .計算下列對面積的曲面積分：(1) (2xy 2x2 x z) ds,其中2為平面 2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；(xy yz zx) ds ,其中2為錐面z l；x2 y2被柱面x2 y22ax所截得的有限部分。14 .求拋物面殼z 1(x2 y2 ) (0 z 1)的質量，此殼的面密度的大小為p =z. 215 .計算下列對坐標的曲面積分：(1) zdxdy xdydz ydzdx,其中匯是柱面 x2 y21被平面z=0及z=3 所截得的在第一卦限內的部分的前側；(2)o xzdx

24、dy xydydz yzdzdx,其中匯是平面 x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1 所圍成的空間區域的整個邊界曲面的外側。16 .利用高斯公式計算曲面積分：o x3dydzy3 dzdx z3 dxdy ,其中匯為球面x2 y2z2a2的外側。證明已知f(u)連續，且L為逐段光滑的簡單封閉曲線，證明:22 、:;f(x y )(xdx ydy) 04、 應用1 .求均勻的錐面(設面密度為 1) zx L是xoy平面上具有質量的光滑曲線，其線密度為p (x,y),則L關于ox軸的轉動慣量可用曲線積分表示為 。(其中p (x,y )為連續函數) L是從A(1,6)沿xy=6至點B(3,2

25、)的曲線段，則ex y ( ydx xdy) 。 y2 (0 z h,a 0)對ox軸的轉動慣量。 a2 .求矢量場 A yzi xzj xyk穿過圓柱體x2 y2 a2 ,0 z h的全表面的流量和側表面的流量。3 .求均勻弧 x=a(t-sint) ,y=a(1-cost)(0 t 2 )的重心坐標。4 .設z軸與重力的方向一致，求質量為m的質點從位置(x/yj.)沿直線移動到(x2 , y2 ,z2) 時重力所作的功。5 .設曲線L的極坐標方程為r sin3 (0),其上任一點處的線密度等于該點處矢徑3的長度，求L的質量。6* .求半徑為R的均勻半圓周L (線密度為8 =1)對于位于圓心

26、的單位質量的質點的引力。7* .試用曲線積分求平面曲線Li : y 1x3 2x,0 x 1繞直線L2 ： y工x旋轉所成旋轉曲33面的面積。5、 模擬1 .試解下列各題：(1)設是由光滑閉曲面2所圍成的空間閉區域，其體積記為 V,則沿2外側的積分o (z y) dxdy (y x)dxdz (x z) dzdy =。(4)力 F (x2 y2 )m (yixj)構成力場(y>0),若已知質點在此力場(y>0)內運動時場力所做的功與路徑無關,則 m=2.試解下列各題:(1) 設L是圓周x0)負向一周，則曲線積分A)2y)dx (xy3、.y )dyA) ia4A)B)a4 C)a4 D)L是1 y|B)2L是從(4) L是圓域7tA(1,0)B)2D: xA) - 2 兀 B) 03 .已知曲線L的極坐標方程為x D表示的圍線的正向，則23a3.：2xdx ydy之值等于(L 22L 2x yC) - 27tD)41n2B(-1,2)的線段，則曲線積分(x y)ds=()LC)2D)02x的正向周界，則y)dx (x y3) dy 等于()C)r=試求該