1、典型例題一例1 解不等式分析：解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念，將不等式中的絕對符號去掉，轉化成與之同解的不含絕對值的不等式（組），再去求解去絕對值符號的關鍵是找零點（使絕對值等于零的那個數所對應的點），將數軸分成若干段，然后從左向右逐段討論解：令， ，令，如圖所示（1）當時原不等式化為與條件矛盾，無解（2）當時，原不等式化為 ，故（3）當時，原不等式化為，故綜上，原不等式的解為說明：要注意找零點去絕對值符號最好畫數軸，零點分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏典型例題二例2 求使不等式有解的的取值范圍分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解

2、十分簡便解法一：將數軸分為三個區間當時，原不等式變為有解的條件為，即；當時，得，即；當時，得，即，有解的條件為 以上三種情況中任一個均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為解法二：設數，3，4在數軸上對應的點分別為P，A，B，如圖，由絕對值的幾何定義，原不等式的意義是P到A、B的距離之和小于因為，故數軸上任一點到A、B距離之和大于（等于1），即，故當時，有解典型例題三例3 已知，求證分析：根據條件湊證明：說明：這是為學習極限證明作的準備，要習慣用湊的方法典型例題四例4 求證 分析：使用分析法證明 ，只需證明，兩邊同除，即只需證明，即 當時，；當時，原不等式顯然成立原不等式成立說明：在絕對值不等

3、式的證明，常用分析法本例也可以一開始就用定理：（1）如果，則，原不等式顯然成立（2）如果，則，利用不等式的傳遞性知，原不等式也成立典型例題五例5 求證分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯想利用構造函數的方法，再用單調性去證明證明：設定義域為，且，分別在區間，區間上是增函數又，即原不等式成立說明：在利用放縮法時常常會產生如下錯誤：，錯誤在不能保證，絕對值不等式在運用放縮法證明不等式時有非常重要的作用，其形式轉化比較靈活放縮要適度，要根據題目的要求，及時調整放縮的形式結構典型例題六例6 關于實數的不等式與的解集依次為與，求使的的取值范圍分析：分

4、別求出集合、，然后再分類討論解：解不等式，解不等式，當時（即時），得當時（即時），得當時，要滿足，必須故；當時，要滿足，必須所以的取值范圍是說明：在求滿足條件的時，要注意關于的不等式組中有沒有等號，否則會導致誤解典型例題七例6 已知數列通項公式對于正整數、，當時，求證：分析：已知數列的通項公式是數列的前項和，它的任意兩項差還是某個數列的和，再利用不等式，問題便可解決證明：說明：是以為首項，以為公比，共有項的等比數列的和，誤認為共有項是常見錯誤正余弦函數的值域，即，是解本題的關鍵本題把不等式、三角函數、數列、個變量的絕對值不等式問題連在一起，是一個較為典型的綜合題目如果將本題中的正弦改為余弦，不

5、等式同樣成立典型例題八例8 已知，求證：分析：本題中給定函數和條件，注意到要證的式子右邊不含，因此對條件的使用可有幾種選擇：(1)直接用；(2)打開絕對值用，替出；(3)用絕對值的性質進行替換證明：，即說明：這是絕對值和函數的綜合題，這類題通常要涉及絕對值及絕對值不等式的性質等綜合知識的運用分析中對條件使用時出現的三種可能是經常碰到的，要結合求證，靈活選用典型例題九例9 不等式組的解集是（）A B C D分析：本題是考查含有絕對值不等式的解法，由，知，又，解原不等式組實為解不等式（）解法一：不等式兩邊平方得：，即，又選C解法二：，可分成兩種情況討論：(1)當時，不等式組化為（）解得(2)當時，不等式組可化為（），解得綜合(1)、(2)得，原不等式組的解為，選C說明：本題是在的條件下，解一個含絕對值的分式不等式，如何去絕對值是本題的關鍵所在，必須注意，只有在保證兩邊均為非負數時，才能將不等式兩邊同時平方另一種方法則是分區間討論，從而去掉絕對值符號當然本題還可用特殊值排除法求解典型例題十例10 設二次函數(，且)，已知，當時，證明分析：從知，二次函數的圖像是開口向上的拋物線；從且，知，要求證的是，所以拋物線的頂點一定在軸下方，取絕對值后，圖像翻到軸上方因此拋物線的頂點的取值非常重要，也是解這道題的關鍵所在證明： ，又，又，而的圖像為開口向上的拋物線，且，的最大值