1、 第 5 章圖形的性質 | 第24沽寸訓爭檔勾嗨里 t2【精學】 考點一、直角三角形的性質 1、 直角三角形的兩個銳角互余 可表示如下：/ C=90 = / A+Z B=90 2、 在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。 Z A=30 1 可表示如下： :二 BC=2 AB Z C=90 丿 3、 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 Z ACB=90 、 卜 丄 可表示如下： =CD=2 AB=BD=AD D 為 AB 的中點 4、 勾股定理 2 2 2 直角三角形兩直角邊 a, b 的平方和等于斜邊 c 的平方，即a b二c 5、 直角三角形等積公式： ABCD=ACBC 考點

2、二、直角三角形的判定 1、 有一個角是直角的三角形是直角三角形。 2、 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。2 3、勾股定理的逆定理 2 2 如果三角形的三邊長 a, b, c 有關系a - b 題型一、勾股定理與直角三角形 為（ ） 【答案】D / ADC2 B+Z BAD 判斷出 DB=DA 根據勾股定理求出 DC 的長，從而求出 BC 的長. 【解答】解：TZ ADC=Z B,Z ADCZ B+Z BAD Z B=Z DAB DB=DA= , 在 Rt ADC 中, DC=匯點廠- I BC= +1. 故選 D. 【點評】本題主要考查了勾股定理，同時涉及三角

3、形外角的性質，二者結合，是一道好題. 例 2. （2015?畢節市）下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（ ） A逅刀麻 B 1 Vs Vs 例 1. （2015?大連）如圖, 在厶 ABC 中，/ C=90 , AC=2 點 D 在 BC 上，Z ADC=Z B, AD5，貝U BC 的長 二c2，那么這個三角形是直角三角形。 A. ； 1 B . +1 【分析】根據/ ADC=2/ B, C. 6, 7, 8 D 【答案】B 2, 3, 4 3 【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方 角三角形；否則不是.比較，如果相等，則三角形為直 4

4、 【解答】解： A、（ ；） 2+ （ ） 2 工（，）2，不能構成直角三角形，故錯誤; B、12+ （ =） 2=（二）2,能構成直角三角形，故正確； C、 62+72 工 82,不能構成直角三角形，故錯誤； D、 22+32 工 42,不能構成直角三角形，故錯誤. 故選：B. 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要 利用勾股定理的逆定理加以判斷即可. 題型二、幾何圖形表面最短路徑 例 3. （2015?甘肅慶陽）在底面直徑為 2cm,高為 3cm 的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從 A 至 C 按如 【答案】 二 【分析】： 根據繞兩圈

5、到 C,則展開后相當于求出直角三角形 ACB 的斜邊長，并且 AB 的長為圓柱的底面 圓的周長，BC 的長為圓柱的高，根據勾股定理求出即可. 解答：解：如圖所示， .無彈性的絲帶從 A 至 C, 展開后 AB=2n cm BC=3cm 由勾股定理得：AC= ； lym. 故答案為： 二匸 圖所示的圈數纏繞，則絲帶的最短長度為 ) 5 點評： 本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應用，能正確畫出圖形是解此題的關鍵，用了6 數形結合思想. 題型三、含 30角的直角三角形的運用 例 4. （2015?畢節市）如圖，在 ABC 中，/ C=9C，/ B=30 , AD 平分/ CAB 交 BC

6、 于點 D,若 CD=1 則 BD= _ 【答案】2 【分析】：根據角平分線性質求出/ BAD 的度數，根據含 30 度角的直角三角形性質求出 AD 即可得 BD. 解答： 解：/ C=9C，/ B=30 , / CAB=60 , AD 平分/ CAB / BAD=30 , BD=AD=2CD=2 故答案為 2. 【點評】：本題考查了對含 30 度角的直角三角形的性質和角平分線性質的應用，求出 AD 的長是解此題的 關鍵. 題型四、直角三角形斜邊中線的應用 例 5. （2015?江蘇宿遷）如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90，點 D, E, F 分別為 AB, AC BC 的中點.若

7、CD=5,貝 U EF 的長為 【答案】5 【分析】已知 CD 是 Rt ABC 斜邊 AB 的中線，那么 AB=2CD EF 是厶 ABC 的中位線，貝 U EF 應等于 AB 的一半. 解答： 解： ABC 是直角三角形， CD 是斜邊的中線, 3 7 丄 CD= AB, 又 EF是厶ABC 的中位線， AB=2CD=2 5=10cm 丄 EF= :x 10=5cm 故答案為：5. 【點評】： 此題主要考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識，用到的知識點為： （1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半； （2 ）三角形的中位線等于對應邊的一半. 【限時突破】 1. （2016

8、?臺州）如圖，數軸上點 A B分別對應 1, 2,過點 B 作 PQ! AB 以點 B 為圓心，AB 長為半徑畫弧, 交 PQ 于點 C,以原點 O 為圓心，OC 長為半徑畫弧，交數軸于點 M,則點 M 對應的數是（ ） p 0 1 2 A/ 3 A. 匚 B . ； C . - D . .-_ 2 . （2015?畢節市）下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（ ） A. ；， B . 1, ：- C. 6, 7, 8 D . 2, 3, 4 3. （2015?青島）如圖，在 ABC 中，/ C=9C，/ B=30 , AD 是厶 ABC 的角平分線，DE 丄 AB

9、,垂足為 E, DE=1,貝 U BC=( ) C C 3 8 4. （2016 江蘇連云港）如圖 1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為 9 如圖 2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S1、S2、S3; S4、 S6.其中 S 仁 16, S2=45, A. 86 B. 64 C. 54 D. 48 5. (2分）如圖，在 5X5的正方形網格中，從在格點上的點 A, B, C, D 中任取三點, 所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為 6. （2015?銅仁市）如圖，/ ACB=9O, 1 D 為 AB 中點，連接 DC 并延長

10、到點 E,使 CE=-CD 過點 B 作 BF/ DE 交 AE 的延長線于點 F.若 BF=10,則 AB 的長為 S5=11, ) 10 7. （2015?棗莊）如圖， ABC 中，CDL AB于 D, E 是 AC 的中點.若 AD=6, DE=5 貝 U CD 的長等于 8. （2015?東營，）如圖，一只螞蟻沿著邊長為 2 的正方體表面從點 A 出發，經過 3 個面爬到點 B,如果它 運動的路徑是最短的，則 AC 的長為 【答案解析】 1. 【分析】直接利用勾股定理得出 OC 的長，進而得出答案. 【解答】解：如圖所示：連接 OC 由題意可得：OB=2 BC=1, 則 AC=-二 故

11、點 M 對應的數是： : 故選：B. 2. 【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為 直角三角形；否則不是. 【解答】解：A、（ ；） 2+ （ ） 2 工2，不能構成直角三角形，故錯誤; 11 （ B、12+ ( ) 2= ( ；)2,能構成直角三角形，故正確; C、 62+72 工 82,不能構成直角三角形，故錯誤； D、 22+32 工 42,不能構成直角三角形，故錯誤. 故選：B. 【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要 利用勾股定理的逆定理加以判斷即可. 護 1 2 V 5 【點評】

12、此題主要考查了勾股定理，根據題意得出 CO 的長是解題關鍵. 3.分析： 根據角平分線的性質即可求得 CD 的長，然后在直角 BDE 中，根據 30的銳角所對的直角邊 等于斜邊的一半，即可求得 BD 長，則 BC 即可求得. 解答： 解：人。是厶 ABC 的角平分線，DEI AB / C=90 , CD=DE=1 又直角 BDE 中，/ B=30 , BD=2DE=2 BC=CD+BD=1+2=,3 故選 C. 點評： 本題考查了角的平分線的性質以及直角三角形的性質， 30。的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半， 理解性質定理是關鍵. 4. 【分析】 分別用 AB BC 和 AC 表示出 S1、S

13、2、S3,然后根據 AB2=AC2+BC2 即可得出 S1、S2、S3 的關系.同 理，得出 S4、S5、S6 的關系. 並 至 遲 【解答】解：如圖 1, S 仁AC2, S2= - BC2, S3= ； AB2 / AB2=AC2+BC2 S1+S2=AC2BC2=AB2=S3 如圖 2, S4=S5+S6 S3+S4=16+45+11 + 14=86.12 故選 A. 5. 【分析】從點 A, B, C, D 中任取三點，找出所有的可能，以及能構成直角三角形的情況數，即可求出所 求的概率. 【解答】解：從點 A, B, C, D 中任取三點能組成三角形的一共有 4 種可能，其中 ABD

14、ADC ABC 是直角三角形， q 所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為 丄 故選 D. 6. 分析：先根據點 D 是 AB 的中點，BF/ DE 可知 DE 是厶 ABF 的中位線，故可得出 DE 的長， 丄 根據 CE=4CD 可得出 CD 的長，再根據直角三角形的性質即可得出結論. 解答： 解：點 D 是 AB 的中點，BF/ DE, DE ABF 的中位線. / BF=10, 1 DE=2BF=5. 1 / CE=4CD 5 4CD=5 解得 CD=4 ABC 是直角三角形， AB=2CD=8 故答案為：& 點評： 本題考查的是三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等

15、于 第三邊的一半是解答此題的關鍵. 7. 分析：由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得 AC=2DE=10 然后在直角 ACD 中，利用勾股定理來求線段 CD 的長度即可. B 13 解答： 解：如圖， ABC 中，CDL AB 于 D, E 是 AC 的中點，DE=514 1 DE=2AC=5 AC=10. 在直角 ACD 中，/ ADC=90 , AD=6 AC=10,則根據勾股定理，得 CD= - AD2 - 68. 故答案是：& 點評： 本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線利用直角三角形斜邊上的中線 等于斜邊的一半求得 AC 的長度是解題的難點. 8. 分析：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上 ，此時 AB 最短，根據三角形 與三角形 ACN 相似，由相似得比例得到 MC=2