1、矩陣的L U分解（自編MATLAB） 實驗報告？?21矩陣的L U分解1 .1 L U分解原理定理:設A C nn,如果A的順序主子式?2?2?11?12?1?2l巾1 ?-11則存在唯一的主對角線上元素全為 上三角矩陣U，使得?2?1 工0, |?1?2.?1丸?-1?-1?-121的下三角矩陣L與唯一的A= L U.證明：對矩陣A的階數使用數學歸納法.顯然，當n =1時,?1 =1 ?1就是唯一的分解式。現假定對 n-1階矩陣，定理的結論成立。對 A進行分塊A _ (?-? ?)(?；? ?其中？?？?？ ?-?.由于n-1階矩陣？?-?的k階順序主子式 就是 A 的k階主子式(k = 1

2、 ,2,，n 2 )，故它們都不為零. 從而由歸納法假設,?-?有唯一的L U分解?_? = ?_?-? 其中?-?的主對角線上的元素都1.由于?i2?2?i2 ?22? | =1 ?-?-? 0?-11?-12? ?-1?-1所以?-?及?-?是n1階可逆矩陣先假設已有A_LU，其中L_( ?-? 0)_(?-?)L=( ?1), u= ( ?)? ?尹?是待定向量。作乘積?_ (?-?-?-? ) _(?-? ?、_ ( ？?-? ?+ ? =( ? ? _A 則？?必須滿足?_?= ?_?= ?+ ?= ? 注意到？?_?及？?_?都是n- 1階可逆矩陣，則由上式可惟一確定 ?= ?,?

3、= ?；?, ?= ?7?這就證明了 A的LU分解的存在性和唯一性.1.2 L U分解算法當 n階矩陣滿足定理的條件時，可以用初等變換的方法求出L和U.因為當A=LU時，由于L可逆，故必存在可逆矩陣 P使得?= ?即 PA=PL U=U .也就是說，可以先對A 施行行的初等變換 得出上三角矩陣U，而矩陣P可以通過對單位矩陣I進行相同的行初 等變換得出，即P(A, I ) = (PA,PI) = (U,P)于是？?= ?為保持P為下三角矩陣(從而？?也是下三角矩陣), 在進行行初等變換時，不能進行行的對換，上行的倍數應加到下行的 對應元.1. 3 LU分解用于解方程組矩陣的三角分解在求解線性方程

4、組時十分方便.如對線性方程組 ?= ?設？?= ?我們先求解方程組? ?由于？是下三角矩陣， 則解向量？可以通過依次求出其分量?,?,? ?而求出，在求解方程組?= ?解向量？可以通過該方程組依次求出分量？?？，？,？?而快速得出于是由兩個方程組？?？ ? ? ?勺求解而給出?=? ?= ?解.1 . 4程序流程圖m二nnt f(，E r ro r : m and n m u st be equal!m=%d, n=%dn, m,dfo r i= 1: n-1if ( d et (A( 1 :i,1:i)二=0)fpr i nt f(Er ror:det A(%d,%d)= 0!n，1.5 M

5、ATLAB 程序f un cti o n f 二L U_ d ecom(A) m, n二size(A)i ffprin) enflag二f ailur e return;e 1 sefla g =ok ; en den dL=eye (n);r i= 1: n(1,i)=A (1, i)；n dr r = 2 :nU=z e ros(n); foUefoL(r,1)=A (r ,1 )/U (1,1)；en dfor i = 2:nf or j =i: nz=0;for r =1:i 1z=z + L ( i ,r)* U (r,j); endU (i, j )= A(i,j)- z ;en

6、dif ab s(U(i, i) A =2 11 ;4 1 0;-22 1; LUom(A)-1-1-2(2 )解方程組,程序及結果如下%用LU分解解線性方程組-y= z eros(n,1);y(1 )=b (1 );f or i= 2: ny( 1 )=b( 1 )-sum (L(i,1:i 1).*y (1 :i-1);e ndyX(n)= y(n )/U (n,n);f or i=n- 1 :-1 : 1x (i)=(y(i)-s u m(U(i,i+1: n) . *x(i+ 1 )/U(i,i);en dX 二x，運行結果如下:-0.50 0 01.0 00 0 -0.5000.7數據分析01.01.調用MA T L A B固有的LU分解函數，以及解方程組相關函數對以 上數據進行計算，運行結果如下： A=2 1 1; 41 0; b=1 2 1 ; L,U=I u (A)L =0.50001.00000.5000U =4.00000-2 2 1;0.20