1、立體幾何中的外接內切球如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體， 這個球稱為多面體的外接球。有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考 考查的一個熱點。考查學生的空間想象能力及歸納能力。研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識。 并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑 之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作業。本專題主要討論補形法和軸截面法。補形法：情況一：若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這 個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑

2、.設其外接球的半徑為，則有.情況二：若出現對邊相等，一般也是構造長方體，再利用。此類題重點要找出三邊。例1:已知點A、B、C、D在同一個球面上，則外接球的體積是AB、BC、CD （CD的對邊與CD等解析：如圖，易得，則此球內接長方體三條棱長為 長），從而球外接圓的直徑為，即.例2.如圖，已知球 0點面上四點 A、B、C、D，DA 球0的體積等于。解析：本小題主要考查球的內接幾何體體積計算問題。 徑。由題意，三角形 邊的中點就是球心（到 長度的一半。平面 ABC , ABBC , DA=AB=BC=，貝U其關鍵是找出球心，從而確定球的半 DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜邊。所以D、

3、A、C、B四點距離相等），所以球的半徑就是線段DCDC例3.在正三棱錐中，、分別是棱、的中點，且，若側棱，則正三棱錐外接球的表面積是A . B .C .D .解析：正三棱錐對棱互相垂直，即，又SB / MN，且，從而.，以為頂點，將三棱錐補成一個正方體，故球的直徑，即，.。例4.在四面體中”則四面體的外接球的表面積為 .【答案】解析：構造一個長方體，使得它的三條面對角線分別為4、5、6,設長方體的三條邊分別為，則，而長方體的外接球就是四面體的外接球，所以練習題：1. 一個三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為1、3,則這個三棱錐的外接球的表面積為（）A、16 n

4、答案：AB、32 nC、36 nD、64 n ABC、 ACD、 ADB 的面積分 )2. 在三棱錐 A-BCD中，側棱 AB、AC、AD兩兩垂直，別為，則三棱錐 A-BCD的外接球的體積為（3. 三棱錐P-ABC中，PA, PB, PC兩兩垂直，如果此三棱錐外接球的表面積為PA?PB+PA?PC+PB?PC 的最大值為（）A.B.C.9D.189 n那么軸截面法：我們選擇最佳角度找出含有找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面面圓, 的半徑就是所求的半徑，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究。是我們應該研究的重點。于是該圓這種等價轉化的思想例1.已知四面體正四棱錐 S ABCD的底面邊長

5、和各側棱長都為，點S、A、B C D都在同一個球面上，則該球的體積為審題導引如圖所示，根據對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個點 0使得0A =OS,則四棱錐的五個頂點就在同一個球面上.規范解答如圖所示，在 Rt SEA中，SA=, AE= 1，故SE= 1.設球的半徑為r，則 0A= OS= r, OE= 1 r.在 Rt OAE中, r2 = （1 r）2 + 1,解得 r = 1,即點 O 即為球心，故 這個球的體積是.例2.已知四面體在同一球面上，且”當四面體的體積最大時且為，求球的表面積（解析：，是直角三角形，的外接圓的圓心是邊ABCD體積的最大值只需使點的交點，設球的半徑為1.

6、已知球0點面上四點積等于）AC的中點01,如圖所示，若使四面體D到平面ABC的距離最大，又平面ABC,所以點D是直線與球 R,則由體積公式有：，在中”解得：,故選CA、B、C、D, DA 平面 ABC , ABBC , DA=AB=BC=，則球 O 的體2.已知四棱錐V-ABCD 面 ABCD , AB=, 內切圓：等體積法的頂點都在同一球面上，底面 ABCD為矩形，ACn BD=G , VG丄平 AD=3,VG =，則該球的體積為（）例1.設棱錐的底面是正方形，且，如果的面積為 半徑.1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的解：平面,由此，面面.記是的中點,從而.平面,設球是與平面、平面、平面都相

7、切的球.如圖2,得截面圖及內切圓不妨設平面，于是是的內心設球的半徑為，則，設當且僅當，即時，等號成立 當時，滿足條件的球最大半徑為 練習：1一個正四面體內切球的表面積為，求正四面體的棱長。（答案為：）2.在底面半徑為3，高為4+2的圓柱形有蓋容器內，放入一個半徑為3的大球后，再放入與球面、圓柱側面及上底面均相切的小球，則放入小球的個數最多為B、6A、 4作業：1.已知三棱柱 ABC - A1B1AA1=12，則球O的半徑為（的6個頂點都在球 O的球面上,）若 AB=3 ,AC=4 , AB 丄 AC ,C.2. 將一個氣球的半徑擴大1倍，它的體積擴大到原來的（C. 8倍16倍3. 用與球心距離

8、為1的平面去截球，所得的截面面積為則球的體積為（C.4. 球的表面積與它的內接正方體的全面積之比為（C.5.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球,則這個球的表面積為（A.2nB.4nC.8n16 n6. 已知三棱柱AA1=12，則球A.7. 已知三棱錐ABC - A1B1的6個頂點都在球 O的球面上，若 AB=3 ,O的半徑為（）B.C.D.P ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，PA = PB=2PC=，且三棱錐外接球的AC=4 , AB 丄 AC ,表面積為S= 9 n則實數a的值為（A. 1B. C.D.&半徑為5的球面上有三個點 A, B,C,若AB= 6, BC= 8,

9、 AC= 10,經過這3個點作截面,那么球心到截面的距離為 （）A.B.C. 5D.9.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為A.16nB.8nC. 4 nD.1的正三角形，SC10.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球 O的球面上， ABC是邊長為 為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（）C.二、填空題1. 如圖，已知球 0的面上四點 A、B、C、D, DA丄平面ABC , AB丄BC, DA=AB=BC=, 則球O的體積等于.a、2,則2. 已知點A、B、C在球心為O的球面上， ABC的內角A、B、C所對邊的長分別為 b、c,且a2= b2+c2+ be, a=,球心O到截

10、面ABC的距離為，則該球的表面積為 3過正四面體外接球球心的平面截正四面體所得截面如圖所示，圖中三角形面積為 正四面體棱長為 .4.給出下列命題: 一個球與棱長為的正方體的所有棱都相切，則此球的體積為; 若()=2,則實數a= 1 + ; 已知函數f(x) = In(x2 + 1)，則方程f(x) = 0在(1 , 2)內必有實根; 圓(X 2)2 + y2 = 2外的點M對該圓的視角為90°時，則點M的軌跡方程是(x 2)2 + y2 =4.其中正確的命題序號是5. 過半徑為2的球0表面上一點 A，作球0的截面，若 OA與該截面所成的角為 30 °,則 該截面的面積為.6. 已知正四棱柱 ABCD A1B1D1的底面邊長 AB = 6，側棱長 AA1 = 2，它的外接球的球 心為O,點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，有以下判斷：(1)PE長的最大值是 9; 三棱錐P- EBC體積的最大值是;存在過點E的平面，截球 0的截面面積是8 n;三棱錐P AEC1體積的最大值是20.正確的是7