1、概率論與數理統計統計學院二、二、 隨機現象隨機現象 四、四、 隨機事件隨機事件 一、一、 概率論的誕生及應用概率論的誕生及應用三、三、 隨機試驗和樣本空間隨機試驗和樣本空間1.1隨機事件隨機事件第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率五、五、 事件的集合表示事件的集合表示 六、六、 事件的關系與運算事件的關系與運算 七、七、 事件運算的性質事件運算的性質 1654年年,一個名叫一個名叫梅累的騎士就梅累的騎士就“兩個賭徒兩個賭徒約定賭若干局約定賭若干局, 且誰先贏且誰先贏 c 局便算贏家局便算贏家, 若在一賭若在一賭徒勝徒勝 a 局局 ( ac ),另一賭徒勝另一賭徒勝b局局(bc)時便終

2、止賭時便終止賭博博,問應如何分賭本問應如何分賭本” 為題求教于帕斯卡為題求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡與費馬通信討論這一問題與費馬通信討論這一問題, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率論的第一個基本概念概率論的第一個基本概念數學期望數學期望.一、概率論的誕生及應用一、概率論的誕生及應用1. 概率論的誕生概率論的誕生2. 概率論的應用概率論的應用 概率論是數學的一個分支概率論是數學的一個分支，它研究隨機現象它研究隨機現象的數量規律的數量規律， 概率論的應用幾乎遍及所有的科學概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域領域，例如天氣預報例如天氣預報、 地震預報地震預報、產品的抽樣調產品的抽樣調查查，在

3、通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性擾性、分辨率等等分辨率等等. 在一定條件下必然發生在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象的現象稱為確定性現象. . “太陽不會從西邊升起太陽不會從西邊升起”,1.確定性現象確定性現象 “同性電荷必然互斥同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處水從高處流向低處”,實例實例自然界所觀察到的現象自然界所觀察到的現象: 確定性現象確定性現象 隨機現象隨機現象二、隨機現象二、隨機現象 在一定條件下可能出現也可能不出現在一定條件下可能出現也可能不出現的現象的現象稱為隨機現象稱為隨機現象. 實例實例1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣

4、，觀在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現的情況察正反兩面出現的情況.2. 隨機現象隨機現象 “函數在間斷點處不存在導數函數在間斷點處不存在導數” 等等.結果有可能結果有可能出現正面出現正面也可能也可能出現反面出現反面.確定性現象的特征確定性現象的特征 條件完全決定結果條件完全決定結果結果有可能為結果有可能為:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 實例實例3 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀觀 察出現的點數察出現的點數. 實例實例2 用同一門炮向同用同一門炮向同 一目標發射同一種炮彈多一目標發射同一種炮彈多 發發 , 觀察彈落點的情況觀察彈落點的情況.結果結果: 彈落點會各不相同彈落點會

5、各不相同.實例實例4 從一批含有正品從一批含有正品和次品的產品中任意抽取和次品的產品中任意抽取一個產品一個產品.其結果可能為其結果可能為: 正品正品 、次品次品.實例實例5 過馬路交叉口時過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通可能遇上各種顏色的交通指揮燈指揮燈.實例實例6 出生的嬰兒可出生的嬰兒可能是能是男男,也可能是也可能是女女.實例實例7 明天的天氣可明天的天氣可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.隨機現象的特征隨機現象的特征概率論就是研究隨機現象規律性的一門數學學科概率論就是研究隨機現象規律性的一門數學學科.條件不能完全決定結果條件不能完全決定結果 2. 隨機現象在一次觀

6、察中出現什么結果具有隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性偶然性, 但在大量試驗或觀察中但在大量試驗或觀察中, 這種結果的出現這種結果的出現具有一定的統計具有一定的統計規律性規律性 , 概率論就是研究隨機現概率論就是研究隨機現象這種本質規律的一門數學學科象這種本質規律的一門數學學科.隨機現象是通過隨機試驗來研究的隨機現象是通過隨機試驗來研究的.問題問題 什么是隨機試驗什么是隨機試驗?如何來研究隨機現象如何來研究隨機現象?說明說明 1. 隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系性聯系 , 其數量關系無法用函數加以描述其數量關系無法用函數加以描述. 1.

7、可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; 2. 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結果先明確試驗的所有可能結果; 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現會出現. 在概率論中在概率論中,把具有以下三個特征的試驗把具有以下三個特征的試驗稱為稱為隨機試驗隨機試驗.定義定義三、隨機試驗和樣本空間三、隨機試驗和樣本空間（一）隨機試驗（一）隨機試驗說明說明 1. 隨機試驗簡稱為試驗隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術語是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗它包括各種各樣的科學實驗, 也包

8、括對客觀事物也包括對客觀事物進行的進行的 “調查調查”、“觀察觀察”或或 “測量測量” 等等.實例實例 “拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣,觀觀察字面察字面,花面出現的情況花面出現的情況”.分析分析 2. 隨機試驗通常用隨機試驗通常用 E 來表示來表示.(1) 試驗可以在試驗可以在相同的條件下重復地進行相同的條件下重復地進行;1. 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現的點數觀察出現的點數.2. 從一批產品中從一批產品中,依次任選三件依次任選三件,記記 錄出現正品與次品的件數錄出現正品與次品的件數.同理可知下列試驗都為隨機試驗同理可知下列試驗都為隨機試驗.(2) 試驗的所有可能結果試驗的所有可能結果:字面

9、字面、花面花面;(3) 進行一次進行一次試驗之前不能試驗之前不能確定哪一個結果會出現確定哪一個結果會出現. 故為隨機試驗故為隨機試驗. 的的集集合合的的所所有有可可能能結結果果所所組組成成一一個個隨隨機機試試驗驗 E 的的稱為隨機試驗稱為隨機試驗 E 記為記為 . , , 稱稱為為的的每每個個結結果果即即樣樣本本空空間間中中的的元元素素E . 樣本點樣本點 , 樣本空間樣本空間樣本點樣本點e. 現代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的現代集合論為表述隨機試驗提供了一個方便的工具工具 .（二）樣本空間（二）樣本空間 例例1 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面、反面T出

10、現的情況出現的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗中必有在每次試驗中必有一個樣本點出現且僅一個樣本點出現且僅有一個樣本點出現有一個樣本點出現 .則樣本空間則樣本空間實例實例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現的點數觀察出現的點數.6, 5, 4, 3, 2, 12 S實例實例3 記錄某公共汽車站某日記錄某公共汽車站某日 上午某時刻的等車人數上午某時刻的等車人數. ., 2, 1, 04 S實例實例4 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取 一只一只, 測試其壽命測試其壽命.0

11、6 ttS.t的壽命的壽命為燈為燈其中其中泡泡實例實例5 記錄某城市記錄某城市120 急急 救電話臺一晝夜接救電話臺一晝夜接 到的呼喚次數到的呼喚次數. . , 2, 1, 07 S 2. 同一試驗同一試驗 , 若試驗目的不同若試驗目的不同,則對應的樣則對應的樣 本空本空 間也不同間也不同. 例如例如 對于同一試驗對于同一試驗: “將一枚硬幣拋擲三將一枚硬幣拋擲三次次”. 若觀察正面若觀察正面 H、反面、反面 T 出現的情況出現的情況 ,則樣本空間為則樣本空間為若觀察出現正面的次數若觀察出現正面的次數 , 則樣本空間為則樣本空間為. 3, 2, 1, 0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHH

12、THHHTHHHS 說明說明 1. 試驗不同試驗不同, 對應的樣本空間也不同對應的樣本空間也不同. 所以在具體問題的研究所以在具體問題的研究中中 , 描述隨機現象的第一步描述隨機現象的第一步就是建立樣本空間就是建立樣本空間. 隨機事件隨機事件 在一個隨機試驗中，可能發生也在一個隨機試驗中，可能發生也可能不發生的結果稱為可能不發生的結果稱為隨機事件隨機事件，簡稱為，簡稱為事件事件。通常以大寫英文字母通常以大寫英文字母 A, B, C, 來表示事件。來表示事件。試驗中試驗中,骰子骰子“出現出現1點點”, “出現出現2點點”, ,“出現出現6點點”,“點數不大于點數不大于4”, “點數為偶數點數為偶

13、數” 等都為隨機事件等都為隨機事件. 例如例如 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現的點數觀察出現的點數.四、隨機事件四、隨機事件 例如例如 上述試驗中上述試驗中 “點數不大于點數不大于6” 就是必然事件就是必然事件. 必然事件必然事件 隨機試驗中必然會出現的結果隨機試驗中必然會出現的結果. 不可能事件不可能事件 隨機試驗中不可能出現的結果隨機試驗中不可能出現的結果. 例如例如 上述試驗中上述試驗中 “點數大于點數大于6” 就是不可能事件就是不可能事件. 例如例如 “出現出現1點點”, “出現出現2點點”, , “出現出現6點點”. 基本事件基本事件:對于一個隨機試驗來說，它的每對于一個隨機試

14、驗來說，它的每一個結果（樣本點）是一個最簡單的隨機事件，一個結果（樣本點）是一個最簡單的隨機事件，稱為稱為基本事件。基本事件。(相對于觀察目的不可再分解的事件相對于觀察目的不可再分解的事件)五、事件的集合表示五、事件的集合表示 隨機事件是樣本空間中具有相同特征的樣本隨機事件是樣本空間中具有相同特征的樣本點構成的集合，它可以看成是樣本空間的一個子點構成的集合，它可以看成是樣本空間的一個子集合。集合。當且僅當集合當且僅當集合A中的一個樣本點出現時中的一個樣本點出現時,稱稱事件事件A發生。發生。 （1）當且僅當集合）當且僅當集合A中的一個樣本點出現時中的一個樣本點出現時,稱事件稱事件A發生發生.如在

15、擲骰子試驗中，觀察擲出的點數如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數 .事件事件 B=擲出奇數點擲出奇數點 1,3,5 B發生當且僅當發生當且僅當B中的樣本點中的樣本點1,3,5中的某一個中的某一個出現出現.兩點說明：兩點說明： : 樣本空間為樣本空間為1,2,3,4,5,6 (2) 隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系 每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機事件本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機事件隨機事件隨機事件隨機事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事

16、件復合事件復合事件 兩個特殊事件兩個特殊事件六、事件的關系及其運算六、事件的關系及其運算 1. 事件的包含：事件的包含：如果事件如果事件A的發生必然導致事的發生必然導致事件件B的發生，即屬于的發生，即屬于A的每個樣本點也都屬于的每個樣本點也都屬于B，則稱事件則稱事件B包含事件包含事件A，或稱事件，或稱事件A包含于事件包含于事件B，記作記作 或或 。 ABBA如如 A=“長度不合格長度不合格” ，B= “產品不合格產品不合格”所以所以 A 包含于包含于B. 即即BA因為因為“長度不合格長度不合格” 必然導致必然導致 “產品不合格產品不合格”AB 2. 事件的相等：事件的相等：如果事件如果事件A包

17、含事件包含事件B，且事，且事件件B也包含事件也包含事件A，則稱事件，則稱事件A與事件與事件B相等。即事相等。即事件件A與事件與事件B的樣本點完全相同。記作的樣本點完全相同。記作A=B 。 ABABBA且 3. 事件的并事件的并(或和或和)：“事件事件A和和B至少有一個至少有一個發發生生”是一個隨機事件，這一事件稱作事件是一個隨機事件，這一事件稱作事件A與與B的的并并(或和或和)，記作，記作 或或 。 ABAB 例如例如 設某種產品的合格與否是由該產品的長度與直設某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定徑是否合格所決定, ,記記A= “ “產品產品不不合格合格”，B=“=“長度長度

18、不不合格合格”，C=“=“直徑不合格直徑不合格”. .則則BABA ABC 事件事件 A 與與 B 的的并的文示圖并的文示圖; , , , 211的的和和事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nknkAAAnA . , ,211的的和和事事件件為為可可列列個個事事件件稱稱AAAkk 4. 事件的交事件的交(或積或積): “事件事件A和和B都發生都發生”是一是一個隨機事件，這一事件稱作事件個隨機事件，這一事件稱作事件A與與B的交的交(或積或積)，記作記作 或或 。 ABABABAB 例如例如 設某種產品的合格與否是由該產品的長度與直設某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定徑是否合格

19、所決定, ,記記A= “ “產品合格產品合格”，B=“=“長度合長度合格格”，C=“=“直徑合格直徑合格”. .則則 ABC 事件事件 A 與與 B 的積的積事件的文事件的文(Venn)圖圖 同樣，事件交運算也可以推廣到有限個或可列同樣，事件交運算也可以推廣到有限個或可列無窮個事件上去。無窮個事件上去。和事件與積事件的運算性質：和事件與積事件的運算性質：,AAA ,A ,AA ,AAA ,AA . A 注：類似集合的證明方法可證明上述事件注：類似集合的證明方法可證明上述事件的運算性質。的運算性質。 5. 事件的差事件的差 : “事件事件A發生而事件發生而事件B不發生不發生”是是一個隨機事件，這

20、一事件稱作事件一個隨機事件，這一事件稱作事件A與與B的差。它是的差。它是由屬于由屬于A但不屬于但不屬于B的那些樣本點構成的集合。記作的那些樣本點構成的集合。記作A-B 。 ABABAB AB BA BA 例如例如 記記C=“=“長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格” ” ，A= “長度合格長度合格”，B=“=“直徑合格直徑合格”. .則則 C = A - B。可以證。可以證明：明：ABABABA 6. 互不相容事件互不相容事件: 如果事件如果事件A與與B不能同時發生，不能同時發生，即即 ，則稱事件，則稱事件A與與B是互不相容的（或稱事是互不相容的（或稱事件件A與與B是互斥的）。顯然，任意兩

21、個基本事件是是互斥的）。顯然，任意兩個基本事件是互不相容的。互不相容的。 AB 例如例如 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, 記記A=“出現花面出現花面”，B= “出現字面出現字面”則，則，A、B是互不相容（互斥）的兩個事件是互不相容（互斥）的兩個事件.AB 互斥事件互斥事件 的文氏圖的文氏圖 7. 對立事件對立事件 : “事件事件A不發生不發生”是一個隨機事件，是一個隨機事件，這一事件稱作事件這一事件稱作事件A的對立事件（或的對立事件（或A的逆事件）。的逆事件）。記作記作 。由于。由于A也是也是 的對立事件，因此，稱的對立事件，因此，稱A與與 互為對立事件。互為對立事件。 AAA例如例如 “骰子出現

22、骰子出現1點點” “骰子不出現骰子不出現1點點”BA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有 .ABAB 且A對立對立顯然有：顯然有： .AA 8. 8. 完備事件組完備事件組 : :若若n個事件個事件 , 滿足以下兩個條件：滿足以下兩個條件：(1) (2)則稱事件則稱事件 構成一個完備事件組。構成一個完備事件組。 12,nA AA ( ,1,2, )ijA Aij i jn 1niiA 12,nA AA 例如例如 擲一枚骰子，記擲一枚骰子，記Ai = “骰子出現骰子出現 i 點點” (i= 1,2, ,6)則則A1, A2 , ,A6 構成一個完備事件組構成一個完備事件組.化整為零化整為零各

23、個擊破各個擊破完備事件組在簡化事件概率的計算中有重要應用。完備事件組在簡化事件概率的計算中有重要應用。1A2A3A4A1nA nAB.,)1(BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結合律結合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德則則有有為為事事件件設設 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 七、事件運算的性質七、事件運算的性質 注意注意：（：（1）事件的運算與數的運算的區別。）事件的運算與數的運算的區別。 設設A、B、C是隨機事件舉例說明下列是隨機事件舉例說明下列命題或

24、等式不成立。命題或等式不成立。1）若）若A+B=A+C，則，則B=C；2）若）若AB=AC，則，則B=C；3）A-(B-C)=A-B+C；4）(A+B)-B=A+(B-B)=A;5）(A-B)+B=A。正確結論是正確結論是(A+B)-B=A-B正確結論是正確結論是(A-B)+B=A+B（2）對立事件與互斥事件的區別。對立事件與互斥事件的區別。ABABA A、B 對立對立A、B 互斥互斥 ABAB 且 AB互互 斥斥對對 立立請自舉一例說明互斥但不對立（不互逆）。請自舉一例說明互斥但不對立（不互逆）。(1) A 出現出現 , B, C 不出現不出現;(5) 三個事件都不出現三個事件都不出現;(2

25、) A, B都出現都出現, C 不出現不出現;(3) 三個事件都出現三個事件都出現;(4) 三個事件至少有一個出現三個事件至少有一個出現;(6) 不多于（至多有）一個事件出現不多于（至多有）一個事件出現;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)6(CBACBACBACBA 該事件的等價描述是該事件的等價描述是“至少有兩個事件不出現至少有兩個事件不出現”。 例例1 設設A,B,C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A, B, C 表示出來表示出來. .總個數總個數3-1ABBCAC所以該事件也可表示為所以該事件也可表示為(7) 不多

26、于（至多有）兩個事件出現不多于（至多有）兩個事件出現;,)7(BCACBACABCBACBACBACBA ;ABC或或該事件的等價描述是該事件的等價描述是“至少有至少有1個事件不出現個事件不出現”。該事件也可以描述為該事件也可以描述為“三個事件不都出現三個事件不都出現”。該事件的逆事件是該事件的逆事件是“三個事件都出現三個事件都出現”。(8) 三個事件至少有兩個出現三個事件至少有兩個出現;(9) A, B 至少有一個出現至少有一個出現, C 不出現不出現;(10) A, B, C 中恰好有兩個出現中恰好有兩個出現.;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB

27、 該事件的等價描述是該事件的等價描述是“三個事件至多有三個事件至多有1個事個事件件不出現不出現”。該事件的另一種表示法是該事件的另一種表示法是()()()ABBCAC注意：這種表示法注意：這種表示法中的三個事件并非中的三個事件并非兩兩互斥的事件兩兩互斥的事件 例例2 設事件設事件A表示表示“甲產品暢銷，乙產甲產品暢銷，乙產品品滯銷滯銷”，如何表述，如何表述A的逆事件？的逆事件？ 解解 記記B= “甲產品暢銷甲產品暢銷”，C=“乙產品滯銷乙產品滯銷”，則則A=BC，由摩根律，由摩根律ABCBC所以，所以， A的逆事件表述為的逆事件表述為“甲產品滯銷甲產品滯銷或或乙產品乙產品暢銷暢銷”。 例例3

28、向一目標射擊三次，用事件向一目標射擊三次，用事件A表示表示“至多有一次擊中目標至多有一次擊中目標”，則，則A的逆事件可表述為：的逆事件可表述為：解解 設設Bi （i=1,2,3）表示第次擊中目標）表示第次擊中目標, “至多有一次擊中沒有擊中目標至多有一次擊中沒有擊中目標”或或“至少有兩次擊中目標至少有兩次擊中目標”事件事件A的等價表述是的等價表述是“至少有兩次沒有擊中目標至少有兩次沒有擊中目標”所以，所以，A的逆事件可表述為的逆事件可表述為則則123123123123AB B BB B BB B BB B B 123123123123AB B BB B BB B BB B B (1)沒有一個是次品沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品至少有一個是次品;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,示示下下列列各各事事件件表表試試用用個個零零件件是是正正品品產產的的第第表表示示他他生生零零件件設設一一個個工工人人生生產產了了四四個個iiAiiA 3例例4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214