1、2012高考壓軸導數大題1 312例1.已知函數f(x) =x3+ax2+bx在區間1,1), (1,3內各有一個極值點. 32(I)求a2 4b的最大值；()當a2 -4b =8時，設函數y = f(x)在點A(1, f(1)處的切線為1,若l在點A處 穿過函數y = f (x)的圖象(即動點在點 A附近沿曲線y = f (x)運動，經過點 A時， 從1的一側進入另一側)，求函數f (x)的表達式.例4.已知函數f(x) = ax3+bx2+cx在點x0處取得極大值5,其導函數y= f'(x)的圖象經過點(1,0)，(2,0).求：(I ) x0 的值；(n) a,b,c 的值.14

2、 / 8例5設x=3是函數f(x"(x2+ax+bp"(xW R)的一個極值點(I)求a與b的關系式(用a表示b),并求f(x)的單調區間;例2.函數y = J2x +4 衣布的值域是g x = a2 25 ex .右存在；i , ；2 .0,4使得 f(瑞)一 g(821)< 1 成"求a的取值范圍例3已知函數4)=4x3-3x2cosB+3cosk其中x- R,H為參數，且09W2n.16(1)當時cos日=0,判斷函數f(x注否有極值；(2)要使函數f(x)的極小值大于零，求參數 8的取值范圍；1 Q 9例 6 已知函數 f(x) =ax3bx2+(2

3、b)x+1 3在x = x1處取得極大值，在 x = *2處取得極小值，且 0cxic1<x2 <2.(1)證明 a >0;(2)若2b,求z的取值范圍。12-f(x)二一ax 2xi.已知函數2, g(x)= lnx.(I)如果函數y=f(x)在1,+8)上是單調增函數，求a的取值范圍；包3 f (x) (2a 1)(-,e)(n)是否存在實數 a a 0 ,使得方程 x在區間e 內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.例7用長為18的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2： 1,問該長方體的長、寬、高各為多少時，其

4、體積最大？最大體積是多少?例8統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y (升)關于行駛速度 x (千米/小時)的函數解析式可以表示為:yx3 -亙x微0 <x <120)已知甲、乙兩地相距100千米.12800080(I)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升?()當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升?2.如果是函數f(x)的一個極值，稱點(%,"%)是函數f(x)的一個極值點.已 a知函數 f x = ax - b ex x = 0aa = 0(1)若函數f(x)總存在有兩個極值點A，B ,求a,b所滿足

5、的關系；(2)若函數f(x)有兩個極值點A，B,且存在aw R,求A，B在不等式lx <1表示的區域內時實數b的范圍.(3)若函數f(x)恰有一個極值點 A,且存在aw R,使A在|x<1不等式y <e表示的區域內，證明：0b<1.2 312f(x) = xln x,g(x) =x ax -3bx c(a,b, c R)3已知函數32若函數h(x) = f (x) g'(x)是其定義域上的增函數，求實數 a的取值范圍; 3g ()(2)若g(x)是奇函數，且g(x)的極大值是3 ,求函數g(x)在區間-1,m上的最大值；12f (x) x1x證明：當x°

6、;時，e ex1 3 a 1 24已知實數a滿足0V a< 2, aw 1,設函數f (x) = - x x + .(I )當a=2時，求f (x)的極小值；(n )若函數g(x)= x3+ 2 (2b+4)x+ x (b e R)的極小值點與f (x)的極小值點相同.求證：g(x)的極大值小于等于5/41 312例1解(I)因為函數f(x) = x +ax +bx在區間1,1) , (1,3內分別有一個極值 32點，所以f'(x)= x2 + ax+b = 0在1,1), (1,3內分別有一個實根，設兩實根為 x1，x2 ( x1 < x2),則 x2 - x1 = J

7、a2 - 4b ,且 0 < x2 - x w 4 .于是 0<Va2-4b<4, 0ca24b016,且當 x1 = 1,x2 = 3,即 a=2, b=3時 等號成立.故a2-4b的最大值是16.()解法一：由f'(1) = 1 + a+b知f (x)在點(1, f(1)處的切線l的方程是 r21y- f(1)= f (1)(x-1),即 y = (1+ a+ b)x a ,3 2因為切線l在點A(1, f(x)處空過y= f(x)的圖象，2 1所以g(x)= f(x)-(1 + a+b)x a在x= 1兩邊附近的函數值異號，則 3 2x=1不是g(x)的極值點.

8、一，、1 3 1221而 g(x)=-x +ax + bx-(1 + a+b)x+ -a ,且 323 2g'(x) = x2 + ax + b - (1+ a + b) = x2 + ax - a -1 = (x-1)(x+ 1+ a).若1# 1 a,則x = 1和x = -1a都是g(x)的極值點.所以 1 = 一1 一 a ,即 a = -2 ,又由 a2 - 4b = 8 ,得 b = -1,故 f (x)=x3 - x2 x .32 1解法一：同解法一得 g(x) = f (x)-(1 a b)x- - a3 2= =(x 1)x2 + (1 + g)x (2+a) 322

9、因為切線l在點A(1, f (1)處穿過y= f(x)的圖象，所以g(x)在x=1兩邊附近的函 數值異號，于是存在 m1, m2 ( m1 < 1 < m2).當 m)<x<1 時，g(x)<0 ,當 1< x< m2 時，g(x)>0;或當 mi <x <1 時，g(x) >0 ,當 1cxem2時，g(x) <0 .因此，函數f(x)在x=0處取得極小值f(0),且f(0)=_3cose16設 h(x) = x2 -i 13ax i 2 心 22若f (0) >0 ,則COS0 >0 .矛盾.所以當cosg

10、 <0時，f (x)的極小值不會大于零.要使函數f (x)在(q, -He )內的極小值大于零,參數8的取值范圍為當 m! <x <1 時，h(x) >0 ,當 1 <x <m2時，h(x) >0 ；.3. 11.、一,-)-(,).6 226或當 mi <x <1 時，h(x) <0 ,當 1 <x <mt時，h(x) <0 .例4解法一：(I)由圖像可知，在(-00,1)上 f(x)>o，在(1,2 )上f'(x/0，在(2,書c )上3a由 h(1)=0知 x =1 是 h(x)的一個極值點，則

11、h(1) = 2x1 +1 + = 02f' x .0,所以 a = -2 ,又由 a2 -4b =8 ,得 b = 一1 故 f (x) =- x3 x2 x .3故f(x)在(-8, 1) , (2, +c)上遞增，在(1,2)上遞減,例3解(I)當cose=0時，f(x)=4x3,則f(x)在(在)內是增函數，故無極值.因此f(x)在x = 1處取得極大值，所以 x0=1(n) f '(x) =12x2 6xcos 日,令 f '(x) =0 ,得 x1 =0,x2 =c°s2(H ) f (x) =3ax2 - 2bx - c,由(I),只需分下面兩種

12、情況討論由 f'(1) =0, f( 2) =0, f( 1) = 5x(q,0)0(0,誓cose 2,cosB ,、(0 ，依)2f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值當 cos日>0時，隨x的變化f'(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:3a 2b c = 0, ,寸 12ad 4b-c = 0,a - b c = 5,解得 a =2,b = 9,c =12.解法二：(I)同解法(n )設 f (x) - m(x - 1)(x - 2) = mx2 - 3mx - 2m,又 f (x) =3ax2，2bx，c,因此，函數f(x)在x=組 處取得極小值f(

13、cos)，且 f(cos 二1。3)-cos3 > 3 1416所以 m3a ,b = m,c =2m 32要使f (邛 >0，2必有一cos u(cos2 ? -3)44由于0 -cos 1 3 ,故二 - 3：. <8<或 <6 <2622211二>°,可得0 以m 33 _ 2|f (x) = x mx 2mx,32由f=5,即2m = 5,得m = 6.所以 a = 2,b = -9, c = 12x/ _OCI cos 6.(-)2cos 62淖0) 20(0,Ff '(x)+0-0+f(x)n極大值n極小值n6當時cos8

14、 <0 ,隨x的變化，f '(x)的符號及f(x)的變化情況如下表:例 5 解(I) f '(x) = x2+ (a 2)x+ b a e3 x由 f'(3)=0 ,得 一32+(a2)3 +ba e3 3=0,即得 b=- 3-2a,此不等式組表示的區域為平面aOb上三條直線A 4 6A.，一 ，7 7B(2,2)C(4,2) .=-x2+ (a 2)x 3 3a e3 x= (x 3)(x+ 1)e3 x.令f、(x) = 0,得x1 = 3或x2=a1,由于x= 3是極值點，所以1W0,那么aw 4.當 a< 一4 時，x2>3= xi,則在區間

15、(一00,3)上，f、(x)<0, f (x)為減函數；在區間(3, a1)上，f'(x)>0 , f (x)為增函數；在區間(一a1, +°°)上，f '(x) <0, f (x)為減函數.當 a> 一4 時，x2<3= x1，則在區間(8, a 1)上，f '(x) <0, f (x)為減函數；在區間(a-1, 3)上，f'(x)>0 , f (x)為增函數；在區間(3, +°°)上，f '(x) <0, f (x)為減函數.(n)由(I)知，當 a>0時，

16、f (x)在區間(0, 3)上的單調遞增，在區間(3, 4)上 單調遞減，那么f (x)在區間0, 4上的值域是(f (0), f (4) ), f(3),而 f (0) = - (2a+3) e3<0, f (4)= (2a+13) e1>0, f(3) = a+6,那么f (x)在區間0, 4上的值域是(2a+3) e3, a+6.又g(x) =(a2 +25)ex在區間0，4上是增函數, 4且它在區間0, 4上的值域是a2+卷，(a2+至)e4,44由于(a2+ 25 ) (a+6) =a2-a+ 1= ( a _1) 2>0,所以只須僅須442(a2+ 空)一(a+6

17、) <1 且 a>0,解得 0<a<3 . 42故a的取值范圍是(0, 3).2例6解(I)由函數f (x)在x=x1處取得極大值，在 x=x2處取得極小值，知 x1，x2是f'(x) = 0的兩個根.所以 f (x) = a(x-x1)(x-x2)當 x<x1時，f(x)為增函數，f(x)> 0 ,由 x-x1 < 0, x-x2<0 得 a>0.f (0) 02- b 0(n)在題設下，0cxi<1<x2<2等價于 ffH(1)< 0即«a2b+2b<0f (2) 0 4a- 4b 2-

18、b 02-b 0I化簡彳導 a-3b 2 ：二04a-5b 2 02-b = 0, a 3b+ 2 = 0,4a5b+ 2= 0 .所圍成的 ABC的內部，其三個頂點分別為:16z在這二點的值依次為 一,6,8.7所以z的取值范圍為1 ,8 I .,7例7.解設長方體的寬為x (m),則長為2x(m),高為 18-12x3h=4.5-3x(m). 0<x< .4.2故長方體的體積為33V(x) =2x2(4.5-3x)=9x2 -6x3(m3)(0<x<-).當a<0時，不符合題意.從而 V (x) =18x -18x2(4.5 3x) =18x(1 -x).令V

19、' ( x) =0,解得0 (舍去)或1,因此1.當 0vxv1 時，V' (x) >0;當 1vxv2 時，V' (x) <0,3故在1處V (x)取得極大值，并且這個極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V = V' ( x) =9X12-6X13 (m3),此時長方體的長為 2 m,高為1.5 m.答：當長方體的長為 2 m時，寬為1 m,高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。綜上，a的取值范圍是a>0.例8解(I)當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了100=25小時，40 一.要耗沒(一1_ X403X40+8) X2.

20、5 =17.5 (升).12800080g(x) ,lnx= f (x)- (2a 1)ax 2- (2a 1)(n)把方程 x整理為 x2即為方程 ax +(1-2a)xlnx=0.2設 H(x) = ax +(12a)xlnx (x> 0)1 ,e原方程在區間(e )內有且只有兩個不相等的實數根，即為函數H(x)1一,e 在區間(e)內答：當7車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。()當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了100小時，設耗油量為h(x)升,x有且只有兩個零點.1H (x)=2ax (1-2a)- x依題意得 h(x) =(，x3 _2

21、x 8).0 ='x2 12800080 x 1280800 15一(0 :二 x 3120), x 4x 800 x3 -803嬴一7二赤(°不120).2ax2 (1 - 2a)x - 1 (2ax 1)(x- 1)xx令 h'(x) =0,得 x =80.當 xW(0,80)時，h'(x) <0, h(x)是減函數；當 xE(80,120)時，h'(x)a0, h(x)是增函數.當x=80時，h(x)取到極小值h(80) =11.25.因為h(x)在(0,120上只有一個極值，所以它是最小值答：當7車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地

22、到乙地耗油最少，最少為 11.25升.1解：(I)當a=0時，f(x)=2x在1,+專上是單調增函數，符合題意.1x =令H (x) = 0,因為a>0 ,解得x=1或 2a (舍)當x三(0,1)時，H'(x)<0, H(x)是減函數；當*三(1下)時，Hx)>0 H(x)是增函數.1,eH(x)在(e )內有且只有兩個不相等的零點，只需2x 二 一當a A0時，y = f (x)的對稱軸方程為a ,由于y = f (x)在1,+專上是單調增函數,1 H(-)>0, e" H汽岳所< 0,H(e)>0,-2 <1所以a ，解得a W

23、2或a A。，所以a >0.a 1 -2a /-1 =e e2(1 - 2a)e a e0,H (1) = a (1 -2a) =1 -a ：二 0, 2_2_ae +(1 2a)e1 =(e -2e)a + (e-1) >0,1 解得:二 a2e1,所以a的取值范圍是(2e 1).2 (1)a taf'(x) = a ex (ax -b)(-) xaex令 f (x) = 0 得 x2ax+b=0a2二 b <a-且b #042e e<2e-11,1 - e -2 ,e -2e2 a -4b >0 又.2#0且*#0(2) x2ax+b=0在(-1,有兩

24、個不相等的實根.2 = a -4b >0a一1父一父1Zh'c2424b a a1+a+bA0a a2 <4即 1 1-a+b>0 得b<一1 - 1 ：b ：1且 b ；0(3)由 f'(x)=0= x2ax+b=0(x#0)a 2x x -ax bb=0f x =aex2當x 在x=a左右兩邊異號.(a,f(a)是 y = f(x)的唯一的一個極值點2.1-1 <a <1 且a #0j 0 <a <122由題意知 l-e<(a -b)e<e 即 I-1<a <1 即 0<a2<1存在這樣的a

25、的滿足題意，b = 0符合題意22當 b#0 時，A=a 4b = 04b=a這里函數y 二由題意：二 1且 a 二 01a 2(b)e2 : e2f(x)唯一的一個極值點為工 0 : a2 ： 4121-e2 < - - b< e2即i-2,0 ； b ： 10 ：二 4b < 411-e2 :二 b :二 e2綜上知：滿足題意b的范圍為b三10,1).3 解：(1) f'(x) = lnx + 1 ， 、 .一 2一h(x) = ln x 2x - ax 3b 1由于卜(幻是定義域內的增函數，故2g (x) - - 2xax- 3bh(x)=T + 4xa20 恒

26、成立,即aM51+4x對Vx0恒成立，又31 + 4x2 40=2時取等號)，故清(-00,4.(2)由g(x)是奇函數，則g(x)+g(_x) = 0對Vx0恒成立，從而a = c=0, 所以 g(x) = -3x3-3bx 有 g'(x) = 2x2 3b.LL由g(x)極大值為g(黨，即g'e3尸o,從而b=-9;因此g(x) = -2x3 -2x,即 g'(x) = -2x2+| = 2(x)(x+¥)所以函數g(x)在(口="和(1,+與上是減函數，在 T,專上是增函數由g(x) = o,得x = ±1或x=0,因此得到:當1<mM0時，最大值為g(1)=0；當0m<¥時，最大值為g(m)= 4m3+q；334 3當m_ 丁時，最大值為g()=R.(3)問題等價于證明f (x) -xln x >ex對x A0恒成立；f '(x) =ln x+1,所以當 XW©1時 f'(x)<0, f(x)在(0,。上單調減;當xw(e,f時，刈>0, f(x)在o