1、幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例1 2015年杭州市中考第22題如圖1，在ABC中，BCAC，ACB90°，點D在AB邊上，DEAC于點E（1）若，AE2，求EC的長；（2）設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F、C、G為頂點的三角形與EDC有一個銳角相等，FG交CD于點P問：線段CP可能是CFG的高還是中線？或兩者都有可能？請說明理由圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“15杭州22”，拖動點D在AB上運動，可以體驗到，CP既可以是CFG的高，也可以是CFG的中線思路點撥1CFG與EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況2高和中線是直角三角形的兩條典型線，各自聯系著典

2、型的定理，一個是直角三角形的兩銳角互余，一個是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半3根據等角的余角相等，把圖形中相等的角都標記出來滿分解答（1）由ACB90°，DEAC，得DE/BC所以所以解得EC6（2）CFG與EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況：如圖2，當12時，由于2與3互余，所以2與3也互余因此CPF90°所以CP是CFG的高如圖3，當13時，PFPC又因為1與4互余，3與2互余，所以42所以PCPG所以PFPCPG所以CP是CFG的中線綜合、，當CD是ACB的平分線時，CP既是CFG的高，也是中線（如圖4）圖2 圖 3 圖4考點伸展這道條件變換的題目

3、，不由得勾起了我們的記憶：如圖5，在ABC中，點D是AB邊上的一個動點，DE/BC交AC于E，DF/AC交BC于F，那么四邊形CEDF是平行四邊形如圖6，當CD平分ACB時，四邊形CEDF是菱形圖5 圖6如圖7，當ACB90°，四邊形CEDF是矩形如圖8，當ACB90°，CD平分ACB時，四邊形CEDF是正方形圖7 圖8例2 2014年安徽省中考第23題如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上的一動點，過P作PM/AB交AF于M，作PN/CD交DE于N（1）MPN_°；求證：PMPN3a；（2）如圖2，點O是AD的中點，聯結OM、ON求證：OMON（3

4、）如圖3，點O是AD的中點，OG平分MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊的四邊形，并說明理由圖1 圖2 圖3動感體驗請打開幾何畫板文件名“14安徽23”，拖動點P運動，可以體驗到，PMPN等于正六邊形的3條邊長AOMBOP，COPDON，所以OMOPON還可以體驗到，MOG與NOG是兩個全等的等邊三角形，四邊形OMGN是菱形思路點撥1第（1）題的思路是，把PMPN轉化到同一條直線上2第（2）題的思路是，以O為圓心，OM為半徑畫圓，這個圓經過點N、P于是想到聯結OP，這樣就出現了兩對全等三角形3第（3）題直覺告訴我們，四邊形OMGN是菱形如果你直覺MOG與NOG是等邊三角形，那么矛盾就是如何證明

5、MON120°滿分解答（1）MPN60°如圖4，延長FA、ED交直線BC與M、N，那么ABM、MPM、DCN、EPN都是等邊三角形所以PMPNMNMBBCCN3a圖4 圖5 圖6（2）如圖5，聯結OP由（1）知，AMBP，DNCP由AMBP，OAMOBP60°，OAOB，得AOMBOP所以OMOP同理COPDON，得ONOP所以OMON（3）四邊形OMGN是菱形說理如下：由（2）知，AOMBOP，DONCOP（如圖5）所以AOMDONBOPCOP60°所以MON120°如圖6，當OG平分MON時，MOGNOG60°又因為AOFFOEE

6、OD60°，于是可得AOMFOGEON于是可得AOMFOGEON所以OMOGON所以MOG與NOG是兩個全等的等邊三角形所以四邊形OMGN的四條邊都相等，四邊形OMGN是菱形考點伸展在本題情景下，菱形OMGN的面積的最大值和最小值各是多少？因為MOG與NOG是全等的等邊三角形，所以OG最大時菱形的面積最大，OG最小時菱形的面積最小OG的最大值等于OA，此時正三角形的邊長為a，菱形的最大面積為OG與EF垂直時最小，此時正三角形的邊長為，菱形的最小面積為例3 2013年上海市黃浦區中考模擬第24題已知二次函數yx2bxc的圖像經過點P(0, 1)與Q(2, 3)（1）求此二次函數的解析式

7、；（2）若點A是第一象限內該二次函數圖像上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數圖像于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四邊形ABCD恰為正方形求正方形的ABCD的面積；聯結PA、PD，PD交AB于點E，求證：PADPEA動感體驗請打開幾何畫板文件名“13黃浦24”，拖動點A在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，PAE與PDA總保持相等，PAD與PEA保持相似請打開超級畫板文件名“13黃浦24”，拖動點A在第一象限內的拋物線上運動，可以體驗到，PAE與PDA總保持相等，PAD與PEA保持相似思路點撥1數形結合，用拋物線的解析式表示點A的坐標，用點A的坐標表示AD、AB的長，當四邊形ABCD是正方形時，ADAB2通過計算PAE與DPO的正切值，得到PAEDPOPDA，從而證明PADPEA滿分解答（1）將點P(0, 1)、Q(2, 3)分別代入yx2bxc，得 解得所以該二次函數的解析式為yx21（2）如圖1，設點A的坐標為(x, x21)，當四邊形ABCD恰為正方形時，ADAB此時yA2xA解方程x212x，得所以點A的橫坐標為因此正方形ABCD的面積等于設OP與AB交于點F，那么所以又