1、2019年高考專題-圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，

2、以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。

3、，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時，表示兩條射線；當(dāng)時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何用方程確定焦點的位置！（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對

4、稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為

5、雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時交點在軸，當(dāng)時焦點在軸上。注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的

6、焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離。（一）橢圓的

7、定義：1、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點、的距離之和等于定長（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點 、叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。對橢圓定義的幾點說明：（1）“在平面內(nèi)”是前提，否則得不到平面圖形（去掉這個條件，我們將得到一個橢球面）；（2）“兩個定點”的設(shè)定不同于圓的定義中的“一個定點”，學(xué)習(xí)時注意區(qū)分；（3）作為到這兩個定點的距離的和的“常數(shù)”，必須滿足大于| F1F2|這個條件。若不然，當(dāng)這個“常數(shù)”等于| F1F2|時，我們得到的是線段F1F2；當(dāng)這個“常數(shù)”小于| F1F2|時，無軌跡。這兩種特殊情況，同學(xué)們必須注意。（4）下面我們對橢圓進(jìn)行進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)它本身具備對

8、稱性，有兩條對稱軸和一個對稱中心，我們把它的兩條對稱軸與橢圓的交點記為A1， A2， B1， B2，于是我們易得| A1A2|的值就是那個“常數(shù)”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那個“常數(shù)”。同學(xué)們想一想其中的道理。（5）中心在原點、焦點分別在x軸上，y 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：相同點是：形狀相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同（第一個橢圓的焦點坐標(biāo)為（c，0）和（c，0），第二個橢圓的焦點坐標(biāo)為（0，c）和（0，c）。橢圓的焦點在 x 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大；橢圓的焦

9、點在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大。（二）橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點、焦點、中心坐標(biāo)；一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長、短軸長、焦距、離心率對于第一類性質(zhì)，只要的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換，就可以得出的有關(guān)性質(zhì)。總結(jié)如下：幾點說明：（1）長軸：線段，長為；短軸：線段，長為；焦點在長軸上。（2）對于離心率e，因為a>c>0，所以0<e<1，離心率反映了橢圓的扁平程度。由于，所以越趨近于1，越趨近于，橢圓越扁平；越趨近于0，越趨近于，橢圓越圓。（3）觀察下圖，所以，所以橢圓的離心率e = cosOF2B2知識

10、點一：橢圓的定義第一定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和為定值 ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡不存在.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中.注意：只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；知識點三：橢圓的第二方程1. 橢圓的參數(shù)方程 （為參數(shù)）2. 橢圓的第二定義

11、到F（c，0）的距離和到直線：的距離之比為常數(shù)（）的點的軌跡為。3. 焦半徑P（，）在橢圓上，F(xiàn)1（，0）、F2（，0）為焦點例題講解（三）直線與橢圓： 直線：（、不同時為0） 橢圓：那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過方程組的解的個數(shù)來判斷直線和橢圓交點的情況。方法如下： 消去得到關(guān)于的一元二次方程，化簡后形式如下， （1）當(dāng)時，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個交點； （2）當(dāng)時，方程組有一解，直線與橢圓有一個公共點（相切）； （3）當(dāng)時，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點。 注：當(dāng)直線與橢圓有兩個公共點時，設(shè)其坐標(biāo)為，那么線段的長度（即弦長）為，設(shè)直線的斜率為，

12、可得：，然后我們可通過求出方程的根或用韋達(dá)定理求出。例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別是（4，0），（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離的和等于10；（2）兩個焦點的坐標(biāo)分別是（0，2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點（，）；（3）焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點A（，2）和B（2，1）分析：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓中的a、b即可。若判斷不出焦點在哪個軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式。解析：（1）因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（ab0）2a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（2）因為橢圓的

13、焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（ab0）由橢圓的定義知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（3）解法一：若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1（ab0）由A（，2）和B（2，1）兩點在橢圓上可得：解之得若焦點在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為1（ab0），同上可解得，不合題意，舍去。故所求的橢圓方程為1解法二：設(shè)所求橢圓方程為mx2ny21（m0，n0且mn）。由A（，2）和B（2，1）兩點在橢圓上可得即，解得故所求的橢圓方程為1點評：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，首先應(yīng)明確橢圓的焦點位置，再用待定系數(shù)法求a、b。（2）第（3）小題中的橢圓是存在且惟一的，為計算簡便，可設(shè)其方程

14、為mx2ny21（m0，n0），不必考慮焦點位置，直接可求得方程想一想，為什么？例2已知B、C是兩個定點，|BC|6，且ABC的周長等于16，求頂點A的軌跡方程。分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌跡方程，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫出草圖。如圖所示，由ABC的周長等于16，|BC|6可知，點A到B、C兩點的距離的和是常數(shù)，即|AB|AC|16610，因此，點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖。解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點B、，原點與BC的中點重合。由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即點A的軌跡是以B

15、、C為焦點的橢圓，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216。由于點A在直線BC上時，即y0時，A、B、C三點不能構(gòu)成三角形，所以點A的軌跡方程是1（y0）。點評：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用，另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如果有不符合題意的點，應(yīng)在方程后注明，常用限制條件來注明。例3一動圓與已知圓O1：（x3）2y21外切，與圓O2：（x3）2y281內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程。分析：兩圓相切時，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動圓圓心滿足的條件。解析：兩定圓的圓心和半徑分別為O1（3，0），r11；O2（3，0），r29設(shè)動圓圓心為M

16、（x，y），半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點的橢圓上，且a5，c3。b2a2c225916故動圓圓心的軌跡方程為1。點評：正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件，合理地消去變量R，運用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。例4已知P是橢圓1上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，且F1PF230°，求PF1F2的面積。分析：如圖所示，已知P30°，要求PF1F2的面積，如用|F1F2|·|yP|，因為求P點坐標(biāo)較繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30

17、°較好，為此必須先求出|PF1|·|PF2|，從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30°角的兩邊的乘積。解析：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|（2）|PF1|·|PF2|（|PF1|PF2|）2361003664，|PF

18、1|·|PF2|64（2）|PF1|·|PF2|·sin30°·64（2）·16（2）例5橢圓ax2by21與直線xy1相交于P、Q兩點，若|PQ|2，且PQ的中點C與橢圓中心連線的斜率為，求橢圓方程。分析：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個獨立條件，求出a、b之值即可解析：由得（ab）x22bxb10設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中點C（，1），即C（，）kOC 由得a，b所求橢圓方程為1例6中心在原點的橢圓C的一個焦點是F（0，），又這個橢圓被直線l：y3x2截得的弦

19、的中點的橫坐標(biāo)是，求該橢圓方程。分析：本題中涉及到弦的中點及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”。解析：據(jù)題意，此橢圓為焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，設(shè)其方程為1（ab0）設(shè)直線l與橢圓C的交點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則有：1，兩式相減得：0即3 a23b2 又因為橢圓焦點為F（0，） c則a2b250 由解得：a275，b225該橢圓方程為1例7設(shè)P是橢圓（ab0）上的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，且F1PF2=90°，求證：橢圓的離心率e證明：P是橢圓上的點，F(xiàn)1、F2是焦點，由橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中， 由2，得|PF1

20、|·|PF2|=2（a2c2） 由和，據(jù)韋達(dá)定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z23az+2（a2c2）=0的兩根，則=4a28（a2c2）0，（）2，即e一、 選擇題：1、到x軸和到y(tǒng)軸的距離之比等于2的點的軌跡方程是（ ）Ay = 2x B. y=2|x| C. |y| = 2 |x| D. |x| = 2 |y|2、橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則此橢圓的離心率e等于（ ）A B. C. D.3、橢圓的兩個焦點是和，一條準(zhǔn)線方程是，則此橢圓方程是（ ）A B.C. D.4、直線x = 2 被橢圓截得弦長等于，則的值是（ ） A B.8 C.10 D.5、方

21、程y = |x| 和對應(yīng)的兩曲線圍成的圖形的面積等于（ ） A B. C. D.6、橢圓的一個焦點是（ -2，0 ），則a等于（ ） A B. C. D.7、在直角坐標(biāo)平面上，點集M = （x , y ）| y = ,y 0 , N = ( x , y ) | y = x + b , 當(dāng) 時，b 的取值范圍是 （ ） A B. C. D.二、 填空題：1、由橢圓的四個頂點組成的菱形的高等于： 。2、不論k為何實數(shù)值，直線y=kx+1和焦點在x 軸的橢圓總有公共點，則的取值范圍是： 。3、與橢圓軸長為2的橢圓方程是： 。三、 解答題：1、 求心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過P（ 4， ），Q （

22、 ）兩點的橢圓方程。2、 已知圓C與直線3x 4y 11 =0 及x 軸都相切并且經(jīng)過點M （ 6，2 ），求圓C的方程。3、 經(jīng)過點A（2，4）的直線l,被圓截得弦長為，求直線l的方程。4、 已知橢圓和拋物線有四個不同的交點。（1）試確定 m的取值范圍；（2）證明這四個交點都在同一圓上。5、點P在圓上運動，點Q在橢圓上運動，求最大值。6、 已知橢圓內(nèi)部一點A（4，）過A作弦PQ，使A恰為PQ中點，M為橢圓上任一點，求的最大值。7、 P、Q為橢圓上兩點，O為原點，求證： 參考答案選擇題：1、（ C ）2、（ A ）3、（ D ）4、（ B ）5、（ C ）6、（ B ）7、（ B ）

23、填空題：1： 2 ：。 3、 解答題：1解：設(shè)橢圓方程為，將P，Q兩點坐標(biāo)代入，解得故為所求。2解：設(shè)圓C方程為，由|b|=r,解得 a= 2 , b = r = 5 或 a = -2 ,b=r=17故為所求。 3解：設(shè)圓心，半徑 r = 4.，弦長為 ，弦心距，設(shè)由，解得故為所求。4、解：代入，得，由橢圓與拋物線有四個交點知，關(guān)于的方程有兩相異正根。解不等式組得，由兩曲線方程可得故四交點共圓。5、解：圓心A（0，2） Q（，） 6、解：中點弦公式 ： 設(shè)M（，） 7、解：P（，）Q（，） 即 課后作業(yè)1. 如果方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是A. （0，）B.

24、（0，2）C. （1，）D. （0，1）2. 已知橢圓1，F(xiàn)1、F2分別為它的兩焦點，過F1的焦點弦CD與x軸成角（0，則F2CD的周長為A. 10B. 12C. 20D. 不能確定3. 橢圓1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標(biāo)是A. ±B. ±C. ±D. ±4. 設(shè)橢圓1的兩焦點分別是F1和F2，P為橢圓上一點，并且PF1PF2，則|PF1|PF2|等于A. 6B. 2C. D. 5. 直線yx與橢圓y21相交于A、B兩點，則|AB|等于A. 2B. C. D. 6. 點P是橢圓1上一點，F(xiàn)1、F2是其焦

25、點，且F1PF260°，則F1PF2的面積為_。7. ABC的兩頂點B（8，0），C（8，0），AC邊上的中線BM與AB邊上的中線CN的長度之和為30，則頂點A的軌跡方程為_。 8. F1、F2為定點，|F1F2|6，動點M滿足|MF1|MF2|6，則M點的軌跡是_。9. 以兩坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點P（，4）和Q（，3），則此橢圓的方程是_。10. 在橢圓1內(nèi)，過點（2，1）且被這點平分的弦所在的直線方程是_。11. ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別是B（0，6）和C（0，6），另兩邊AB、AC的斜率的乘積是，求頂點A的軌跡方程。12. 在面積為1的PMN中，tanM，tanN2，建立適當(dāng)

26、的坐標(biāo)系，求出以M、N為焦點并且過點P的橢圓方程。參考答案1. 解析：將方程x2ky22化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，又焦點在y軸上，>2，解之得0<k<1。2. 解析：由橢圓方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，則F2CD的周長|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020。3. 解析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易知c3，不妨設(shè)F1（3，0）、F2（3，0），因為線段PF1的中點在y軸上，由中點坐標(biāo)公式知xP3，由橢圓方程1解得yp±，故M點縱坐標(biāo)為±。4. 解析：從方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，（|PF1|PF2|）2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|180由已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|2（2c）2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80（|PF1|PF2|）2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|