1、2011-2018新課標(理科)立體幾何分類匯編一、選填題【2012新課標】（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）【解析】選。該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，此幾何體的體積為【2012新課標】（11）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）【解析】的外接圓的半徑，點到面的距離，為球的直徑點到面的距離為此棱錐的體積為另：排除【2013新課標1】6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容

2、器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm312C、cm3D、cm3【解析】設球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，球的體積為=，故選A.【2013新課標1】8、某幾何函數的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為( )A、16+8 B、8+8C、16+16 D、8+16【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2 高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，故選.【2013新課標2】4. 已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則( )A且l B且lC與相交，且交線垂直于l D與

3、相交，且交線平行于l【解析】因為m，lm，l，所以l.同理可得l。又因為m，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線故選D.【2013新課標2】7. 一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(A )【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標系Oxyz的圖像如圖：【2014新課標1】12. 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A、6 B、6 C、4 D、4【解析】幾何體的直

4、觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點的距離為：4，AC=6，AD=4，顯然AC最長。【2014新課標2】6. 如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為() A.B. C. D.【解析】該零件是一個由兩個圓柱組成的組合體，其體積為×32×2×22×434(cm3)，原毛坯的體積為×32×654(cm3)，切削掉部分的體積為543420(cm3)，故所求的比值為。【2014新課標2】

5、11. 直三棱柱ABC­A1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )A. B. C. D.【解析】如圖，E為BC的中點由于M，N分別是A1B1，A1C1的中點，故MNB1C1且MNB1C1，故MN綊BE，所以四邊形MNEB為平行四邊形，所以EN綊BM，所以直線AN，NE所成的角即為直線BM，AN所成的角設BC1，則B1MB1A1，所以MBNE，ANAE，在ANE中，根據余弦定理得cos ANE?！?015新課標1】6.九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八

6、尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（B）A.14斛 B.22斛C.36斛D.66斛【2015新課標1】(11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（B）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【2015新課標2】（6）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分

7、的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）（A）（B）（C）（D）【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為【2015新課標2】（9）已知A,B是球O的球面上兩點，AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36 B.64 C.144 D.256【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C【2016新課標1】（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂

8、直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）（A）（B）（C）（D）【解析】該幾何體為球體，從球心挖掉整個球的（如右圖所示），故解得，?！?016新課標1】(11)平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（）(A) (B) (C) (D)【詳細解答】令平面a與平面CB1D1重合，則m = B1 D1，n= CD1 故直線m、n所成角為，正弦值為【2016新課標2】6. 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( )（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【解析】幾何體

9、是圓錐與圓柱的組合體，設圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為由圖得，由勾股定理得：【2016新課標2】14. ，是兩個平面，m，n是兩條線，有下列四個命題：如果，那么。如果，那么如果,那么。如果,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號)【2016新課標3】9. 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實現畫出的的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ B ）(A)1836 (B)5418(C)90 (D)81【2016新課標3】10. 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則

10、V的最大值是（ B ）(A)4(B)(C)6(D)【2017新課標1】7某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（ B ）A10B12C14D16【2017新課標1】16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，DBC，ECA，FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當ABC的邊長變化時，所得

11、三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_。【2017新課標2】4. 如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）A BC D【解析】該幾何體可視為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半?！?017新課標2】10.已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（）A B C D【解析】，分別為，中點，則，夾角為和夾角或其補角（異面線所成角為）可知，作中點，則可知為直角三角形，中，則，則中，則中，又異面線所成角為，則余弦值為。【2017新課標3】8已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該

12、圓柱的體積為（）AB CD【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，則圓柱體體積，故選B.【2017新課標3】16，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論：當直線與成角時，與成角；當直線與成角時，與成角；直線與所成角的最小值為；直線與所成角的最大值為其中正確的是_（填寫所有正確結論的編號）【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖不妨設圖中所示正方體邊長為1，故，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓。以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系

13、則，直線的方向單位向量，點起始坐標為，直線的方向單位向量，設點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，。那么在運動過程中的向量，設與所成夾角為，則故，所以正確，錯誤設與所成夾角為，.當與夾角為時，即，此時與夾角為，正確，錯誤【2018新課標1】7某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（B）ABC3D2【2018新課標2】9. 在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D. 【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,

14、因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.二、解答題【2011新課標】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。【答案】（）因為, 由余弦定理得，從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則,。設平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則即因此可取n=設平面PBC的法向量為m，則可取m=（0，-1，）故二面角A

15、-PB-C的余弦值為【2012新課標】19. 如圖，直三棱柱中，是棱的中點，（1）證明：（2）求二面角的大小?！敬鸢浮浚?）在中，得：同理：得：面（2）面取的中點，過點作于點，連接，面面面得：點與點重合且是二面角的平面角設，則，既二面角的大小為【2013新課標1】18、（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BAA1=60°.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值?！敬鸢浮浚ǎ┤B中點E，連結CE，AB=，=，是正三角形，AB，CA=CB，CEAB，=E，AB面

16、，AB；（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標原點，的方向為軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系，由題設知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 設=是平面的法向量，則，即，可取=（，1，-1），=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 【2013新課標2】18如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值【答案】(1)連結A

17、C1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.【2014新課標1】19如圖，三棱柱ABCA1B

18、1C1中，側面BB1C1C為菱形，ABB1C（）證明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值【答案】（1）連結BC1，交B1C于點O，連結AO，側面BB1C1C為菱形，BC1B1C，且O為BC1和B1C的中點，又ABB1C，B1C平面ABO，AO平面ABO，B1CAO，又B1O=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且O為B1C的中點，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1兩兩垂直，以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，|為單位長度，的方向為y軸的正方向，的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，CBB

19、1=60°，CBB1為正三角形，又AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），設向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一個法向量=（1，），cos，=，二面角AA1B1C1的余弦值為【2014新課標2】18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.（）證明：PB平面AEC；（）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【答案】（1）連結BD交AC于點O,連結EO,因為ABCD

20、為矩形，所以O為BD的中點又E為的PD的中點，所以EOPB,EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則Axyz,則D(0, ,0),則E(0, ,),=(0, ,)設B(m,0,0)(m0)，則C（m, ，0）設n(x,y,z)為平面ACE的法向量，則即 可取=（,-1, ）又=（1,0,0）為平面DAE的法向量，由題設=，即=，解得m=因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為V=【2015新課標1】（18）

21、如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）證明：平面AEC平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值DD1C1A1EFABCB1【2015新課標2】如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點E，F的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面所成的角的正弦值?！敬鸢浮俊?016新課標1】18

22、. 如圖，在已A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I），又,所以平面ABEFEFDC；（II）以E為坐標原點，EF，EB分別為x軸和y軸建立空間直角坐標系（如圖），設，則，因為二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，易得,，,設平面與平面的法向量分別為和，則令，則，由，令，則，二面角E-BC-A余弦值.【2016新課標2】19. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F分別在AD，CD上，EF交BD于點H.將DEF

23、沿EF折到的位置.（I）證明：平面ABCD；（II）求二面角的正弦值.【答案】證明：，四邊形為菱形，；又，又，面建立如圖坐標系，,設面法向量，由得，取同理可得面的法向量,，【2016新課標3】(19)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點。（1）證明：MN平面PAB（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】【2017新課標1】18. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且.（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）由已知，

24、得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面內做，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系。由（1）及已知可得，所以，設是平面的法向量，則，即，可取.設是平面的法向量，則，即，可取，則，所以二面角的余弦值為。【2017新課標2】19. 如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點.（1）證明：直線平面PAB（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為，求二面角M-AB-D的余弦值【答案】（1）令中點為，連結，為，中點，為的中位線，又，又，四邊形為平行四邊形，又，（2）以中點為原點，如圖建立空間直角坐標系設，則，在底面上的投影為，為等腰直角三角形為直