1、第二章 矩陣及運算本章主要掌握以下內容：1、矩陣的逆矩陣定義，存在條件及求法，靈活運用公式：A-1=A* |A|02、矩陣和其伴隨矩陣的關系式：A A*= A*A=|A|E；伴隨矩陣的求法.3、矩陣的加法、減法、乘法，轉置及方陣的行列式計算4、幾個特殊的分塊矩陣的逆矩陣：= = = =（結果可以直接利用，如果記不住的話，可以再推導一遍）5、分塊矩陣的運算§ 2-1 矩陣 § 2-2 矩陣的運算一、填空1.若，則，.2.設為三階方陣，若則 16 .3.設，而，則.4.設，為二階方陣，則.5.設為三階矩陣，則其伴隨矩陣的行列式=.二.計算1.設，求及.解：.2.計算.解：.3.

2、 設為三階方陣，若已知，求.解：.4.設，求所有與可交換的矩陣，即求使.解：設，其中是任意常數.三、證明1.已知，驗證.證：.2.設為n階方陣，且為對稱矩陣，證明：也是對稱矩陣.證：因，.所以是對稱矩陣.3.設是n階對稱矩陣，證明：是對稱矩陣的充分必要條件是.證：充分性因， 從而 又，必要性得證. § 2-3 逆矩陣§ 2-4 矩陣分塊法一、填空1.方陣可逆的充分必要條件是.2. 的逆矩陣為.3. 的伴隨矩陣為.4.若為同階矩陣，且可逆，若，則5.設與為可逆矩陣，為分塊矩陣，則.二、計算1.求的逆矩陣.解：，=，.2.求的逆矩陣.解：，=，.3.解矩陣方程：. 解： X=.

3、4.設，其中，求.解：.5.分塊矩陣，其中分別為階與階可逆方陣，為矩陣，為零矩陣，求.解：設.三、證明1.設為同階矩陣，且為非奇異矩陣，滿足，求證：（是正整數）.證明：用數學歸納法當時，成立假設則 得證.2.設階矩陣的伴隨矩陣為，證明（1）若，則；(2) .證明：（1）（法1）不妨設 若, 全為零，顯然有 若, 不全為零，則易知=0 =1,2, ,n則利用行列式的性質：（把 的第1列乘以，然后再把第2列乘以，第3列乘以，第列乘以，然后將所有列都加到第1列后，第1列的元素全為零）則.（法2）分2種情況： 當，則， 若，用反證法，假設，則可逆，由 知 ，即與矛盾，.(2) 若，由（1）知：若，則.

4、3.若為正整數)，求證： 證明：.第二章 復習題二、計算1、設A為n階方陣，滿足解：,2、已知實矩陣滿足：1），2），計算解：由(1)可知，又3、設A為三階方陣，為A的伴隨矩陣，A的行列式解：4、設，求A解：記 ，再計算。5、設矩陣A的伴隨矩陣，求B解：由 又（利用分塊陣求行列式的值）, .,代入(*)式中即得.(利用分塊矩陣求逆的方法)三、證明1、設方陣A滿足，證明A可逆，并求A的逆矩陣證明：由，得，即可逆并且.2、證明：若，但A不是單位矩陣，則A必為奇異矩陣證明：假設為非奇異陣，即可逆.那么,與題設矛盾故必為奇異陣.3、設A、B為n階方陣，EAB可逆，證明：EBA可逆證明：又可逆又 可逆并

5、且4、設A為n階非零矩陣，為A的伴隨矩陣，為A的轉置矩陣，當時，證明證明：為非零矩陣,必存在.5、設A為n階方陣，試證證明：存在左邊第二章 自測題A二、計算1、設,求解：由猜想 再用數學歸納法證明。2、解矩陣方程解：記題設條件為，則3、設Adiag(1,-2,1), ，求B解： 4、設，求解：記 5、n階矩陣A及S階矩陣B都可逆，求解： 6、求矩陣的逆矩陣，解：可以利用第5題的結論三、證明1、設A，B為n階方陣，且，E為n階單位陣，證明：當且僅當證明： 若 若 即證2、設矩陣A可逆，證明其伴隨矩陣也可逆，且證明： 3、設矩陣，B及AB都可逆，證明也可逆，并求其逆矩陣證明： 4、A為n階矩陣，E

6、為n階單位陣，滿足，證明：A為可逆矩陣，并求證明： 第二章 自測題B一、 設，求所有3階方陣B，使AB與BA的逆矩陣相同解：由題設，B滿足1）可逆，2）ABBA，又因為B可逆，為非零常數，、為任意常數二、 設，試證：當n3時，恒有，并利用這個關系證明：用數學歸納法證明三、 證明：用數學歸納法證明。四、 求所有與可交換的矩陣解：設，滿足。比較對應位置上的元素即得結論。五、 設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，試證1、是對稱矩陣2、ABBA是對稱矩陣3、AB是反對稱矩陣的充要條件是ABBA證明：，1）2）3）六、 若矩陣A的元素均為整數，求證：中的元素均為整數的充要條件為證明：必要性.中的元素均為整數均為整數充分性.，若，中的元素均為整數.七、 ，ABAB，試求B證明：，.八、設A為二階方陣，K是大于2的整數，證明：證明：i)當時，顯然結論成立.ii)當時，不妨設，或（1） 當時，（2）時，2） 設A、B、C、D都是n階方陣，且ACCA，試證證明：1）若A可逆2）若A不可逆，存在，使得可逆由1）的結論 (*)(*)式兩邊的均為的多項式，而由A為n階方陣，所以使得可逆的的