1、北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東百工學院多媒體通信中心數字信號處理Digital Signal Process ing第3章離散傅里葉變換及其快速計算方法門愛東教授menad西 北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東主題概述6Jean Baptiste Joseph Fourierf J1768年 3月21 日生 于法國 Bou1830年 5月16日死于法國巴黎Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT21(3.4 FFT (快速離散傅里葉變換)3.5 CZT及

2、其快速算法3.6其它變換3.7本章小結4 - IIR數字濾波器設計和實現 -FIR數字濾波器設計和實現I( 數字信號處理中的有限字長效應-緒論'j - . - r2 -離散時間系統和離散時間信號的變換3 -離散傅里葉變換及其快速計算方法3.1問題的提出J ；3.2 DFS (離散傅里葉級數)社3.3 DFT (有限離散傅里葉變換)(快速離散傅里葉變換)羽» 北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.1問題的提出：連續信號的傅里葉變換連續信號Xa(t),;傅里葉變換Xa(Q)= jXa(t)e-j Qtdt-a3衲axa(t)=卜(Q)e，d Q2 n - aXa(t)為

3、時域連續信號。Xa(Q )為頻域連續信號。:豎呼,'；北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.1問題的提出：離散信號的變換 離散信號在兩種變換域中的表示方法：1)離散時間傅里葉變換 DTFT -提供了絕對可加的離散時間序列 在頻域(3)中的表示方法。X(ejw)=刀 x(n )e-jnwn=. a加. 2) Z變換-提供任意序列的z域表示。aX(z)=刀 x(n)z nn =- aFD igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT可這兩種變換有兩個共同特征：1) 變換適

4、合于 無限長序列；2) 它們是連續變量3或z的函數Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.1問題的提出：可計算性問題：X(z) , X(ejw)都是連續的， 難，例如使用 Matlab，因此提出了在頻域內取樣，使頻譜離散化的問題； 必須截斷序列，得到有限個點的序列。目標：我們需要得到一個 可進行數值計算襄的變換 方法：1) DTFT -?頻域中原始信號頻譜的周期拓展2) 對DTFT在頻域中采樣士 - ? DFS3) 將DFS推廣到

5、有限持續時間序列？ DFT(DFT避免了前面提到的那兩個問題，并且它是計算機可實現的變 換方式。)DFT已成為DSP算法中的核心變換，原因：1. 成為有限長序列傅里葉變換的重要方法。2. 有快速算法。D igital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式冃計算機處理有困北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東頻率函數I心八曰二非周期連續時間一傅里葉變換(FT)連續頻率 周期連續時間一傅里葉級數(FS)離散頻率 非周期離散時間I 離散時間傅里葉變換w

6、 (DTF- 連續頻率V旨乙M魁為 周期離散時間離散傅里葉級數2(DFS-離散頻距=&Jf宜 H k ； Z 沖 I時間函數T)-頁率Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT13.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式孔京郵電大學電信工 程學院多媒體通信中心門愛學oo1cox(t)= 2n /X( Q)ejQtd Q|X(Q)=厶x(t)e-jQtdta-, nc(時域連續函數造成頻域是非周期的譜。 時域的非周期 造成頻域是連續的譜密度函數。D igital Sgnal P

7、rocessing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT2.3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式葉級數FS 難 澈r=周期連續時間信號：傅（t）時域周期?頻域離散X(nQo)L Q3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式oox(t) = x(n Qo)ejn Q°tn = -oTI %1 T 2X(nQo) = 1 £2x(t)ejn Q0tI七FQo = TYSyr1_dt時域連續函數造成頻域是非周期的譜 頻域的離散對應時域是周期函數。Digital Sgnal Processing, Men Aido

8、ng, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT京郵電大學電信rrQT取樣定理非周期離散信號x（nT）時域離散?頻、x(nT“ 丄XnQd Q2 n too. oor2 nTX（ejQT）=刀x（nT）e- jnQT =-刀X（ Q- Q°）n=_ oI n =- oo時域的離散化 造成頻域的周期延拓時域的非周期對應于頻域的連續北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式 .A4.周期離散時間信號：離散傅里葉級數x（n）周期ITT',.DFSTN =？ T=NT 1T111 *kZZD igita

9、l Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT X ( k Qo)2Qo嶺嚅|卜gn 11- I時域周期、離散?頻域周期、離散飛、耳 p一,，._c_1 N-1j2 "nkN-1- j上咸x(n)= 刀X(k)e N X (k)=刀 x( n)e NN k=0n= 0Q0T1I II”一個域的離散造成另一個域的周期延拓 離散傅里葉級數的時域和頻域都是離散的和周期的Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunicat

10、ion Centre, BUPT10S一北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式四種傅里葉變換形式的歸納總結：時間函數頻率函數連續非周期非周期連續連續非周期周期(T 0)離散(Q o=2 n /T o)離散（T）周期(Q s=2n /T)非周期連續）離散（T）周期(Q s=2n /T)周期(T o)離散(Q o=2 n /T o)結論:時域中函數取樣？（映射） 頻域中函數周期重復；頻域中函數取樣？（映射） 時域中函數周期重復； 取樣間隔？（映射） 周期（2n/間隔）f Qs 1 s 2n T1 夕離散頻率函數的取樣間隔：Fo，時間周期：T0=丄=引0

11、Fo Qo.離散時間函數的取樣間隔：T1，取樣頻率：D igital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式Q北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東183主題概述北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東D igital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT13勇一北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2 DFS及其性質廿 叫占A

12、由以上討論可以清楚地看到，時域取樣將引起頻域的周期延拓，頻域取樣也將引起時域的周期延 拓因此可以設想，如果 同時對頻域 和時域取樣 其結果是時域和頻域的波形都變成離散、周期性 的波形，從而我們可以利用付氏級數這一工具， 得到它們之間的離散付氏級數DFS關系。Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT143.2.1 DFS定義：預備知識3.2.1北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東基本關系式若r，m都是整數，則：2 J .1證明：對于r=m :不論k取何值，顯i J I對于

13、r m m :?Nr-(r - m)Nj2 n (rm)-k(r - m)r =m孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛左N-1 j2nk(r-m)N-1k=01- WN1- WnN-1?N紗N罰捫二？。r Mm其中:-(r- m)1- e2n=0j (r-m)1-e NWN =e北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東為了推導時域:頻域:D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.2.1 DFS定義：正變換周期離散序列的 z變換存在(因為周期離散序列，15得:義：正變

14、換x(nT1) ? X (k Q°)的關系，作下列變量代換:?DFS|X(k)01 N01Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.2.1 DFS定義：正變換16為此，疋義j。收斂)的問題kA且4.x (n) = x(n + N m ), m 為整數而對于周期信號，嚴格數學意義上講， 斂，因為：而對于coX (z)=匸 x(n)z-nn = _ coco刀 x(n)|znn=_o找不到衰減因子使它絕對可 數，其Z變換：D igital Sgnal Processi

15、ng Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT不收北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東o環-1、X(z) = "x(n)z-n =號(n)z-nn = °JA ' !,.0 ' ' 巧上 T-iV(取x(n)的一個主周期進行Z變換)是連續變量，需要對其離散化)N -1X(z) Iz=ea =X(eja)=刀(n)e 叫n=0其頻譜：(aN-1Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Ce

16、ntre, BUPTq 12n-1xj) a02n185孔京郵電大學電信工 程學院多媒體通信中心門愛學3.2.1 DFS定義：正變換卄 頻域取樣_X(ejw)是連續變量3的周期函數，周期為： 離散化，即在02n區間內取N個取樣占 為 2 n /N o另一個角度看，X(ejw)是z平面單位圓上的Z變換。 連續變量分，每分為2 n /N oCD其中./、I 72 n。把3 頭N個取樣點，取樣間隔 尹 1的離散化也可以認為是把單位圓分n /N。m；z平面D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre,

17、 BUPT2nI稱為頻域中的取樣間隔f, 也稱為頻率分辨率。1 a £!19Re酉 北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：正變換N-1j 3- jn 3X(z)|z=ej。= X(e )= n(n)en=0.2 nX(ejCy n=X(e*) = X(k) Tr. X J 二 Xu I j N-1- j 2 nkn=Ex( n)e N n =0N -1X(k) = ”x( n)en =02 n 、 -jn(_ k) , NN -1=”x( n)Wn =0knN其中WnDigital Sgnal Processing, Men Aidong, Multim

18、edia Telecommunication Centre, BUPT.2 n-j=e N20北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：正變換因為N 12n_n 1N-1- j(2n)(k+N)n N-1X(k + N)= n( n)e Nn=03.2.1 DFS定義：反變換所以DF孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛左-j(空)k n j2 n=»(n)e N ej2n 隨k周期變化，'-j(牛)kn僅有 0 , J ，= 號(n)e N =X(k)n-1個獨立值。僅有0，1，-，N-1個獨立值。N-1n=0n=0Il A aviL cFX(

19、k)也僅有0, 1，N-1個獨立值，周期為X(k) = 0n)-LD $ JJN-1- j(2n)knN-1e Nn=0n=0knDigital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT22北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT得N-1j(2n)km"X(k)e Nk=0(只有即213.2.1 DFS定義：反變換=Xx(n)

20、N = Nx(m), m = 0,1, N - 1n =mji3.2.1 DFS定義：反變換時，才有值，而m不等于n時，為m=n_LL 1N-1x(m) ="X(k)eN k=0替換，得匚 N -11 .、變量x(n)只取2nj(-)kmx(m)x( n)= T ”x(k)N k= 0A汕具 2 nN-1ej(N)kn =十 X(k)WN-knN k=0D igital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT23北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東FS變換對：時域周期序列與

21、頻域周期序列間的關系X(k)=刀 x(h)Wnn = 0N -1其中Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPTkn-kn24187-J3.2.1 DFS定義：幾點說明3.2.1 DFS定義：幾點說明孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛左在什么條件頻率取樣：若時間信號有限長，當滿足下 本值X（k）能不失真的恢復成原信號。為了避免時間上的混迭：（1）必須是時間限制（有限時寬）的樣X(ejw)X(k) = X(ej3)|?x(n),0 wn <N - 1x(n ) = ?

22、宀?0, 其它2 n 、.2 nW l或3。WNND igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT25（2）取樣頻率間隔小于北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東如果變量J1 n f nT 1, kDFS可表示為：-仁 J5 I4 l"N-1_j(三X(kQo)=號(nTJe N變）n=0N-11 2水x( nT1)=書 D(&)N k=o NT因此，時域n及頻域k都是有物理意義的。26Digital Sgnal Processing, Men Aidong,

23、Multimedia Telecommunication Centre, BUPT北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：幾點說明 氣更具體地，傅里葉系數的標號 k和頻率f的LI_I. 2n k = 2n fsk = 2nf N N_ fs 所以：f =Nk對應關系：n傅里葉系數標號k : 0 N護、數字頻率3：0 2n模擬頻率f : 0fs3.2.1 DFS定義：幾點說明Jfs/20| 0 P _0I j變換系數標號） （弧度,數字頻率 （Hz,模擬頻率）i . iHe3)i北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東頻率成份直流分量：N-1N-1當 k=0 時，

24、X（0）=斗x（n）W”0"=工x（n） U 此時0?1當 k=o 時' ' 一、人 =_ 、,此時得到的數的系數稱為信號的直流分量（DC Component）, 信號的平均值； 交流分量：其它頻率（k>0）稱為周期信號的諧波，此時的傅里葉級數系 稱為信號的交流分量。k=1時的頻率為信號的一次諧波，或基頻，頻率大小為 時間為NTs,等于完成一個周期所需要的時間。其它諧波為基 頻的整數倍。離散傅里葉級數包含了 0到（N-1）f/N的頻率，因而N 里葉級數的系數位于從 0直到接近取樣頻率的頻率上。Vi業此時得到的傅里葉級,X （0）/ ND igital Sgnal

25、 Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT27Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPTfs/N28北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：幾點說明周期信號的頻譜由傅里葉系數 x（k）可得到x（n）的幅度頻譜x（k） 和相位 頻譜arg（X（k），不難證明，如果X（n）是實序列，那么幅度頻譜 是周期性偶函數，相位頻譜是周期性奇函數。周期信號由離散傅里葉級數DFS得到

26、的頻譜，和非周期信號由離散時間傅里葉變換 DTFT得到的頻譜之間有重要區別。l.-DTFT產生連續頻譜，這意味著頻譜在所有的頻率處都有值，因而非周期信號的幅度和相位頻譜是光滑無間斷的曲線。與之相反，DFS僅有勺N點的頻譜，僅包含有限個頻率，因而 周期信號的幅度和相位頻譜是 線譜，即相等間隔的豎線，當 頻譜的橫坐標變量用實際頻率 f代替k時，譜線間隔為f/N。 并不是所有的周期信號都含有全部諧波，例如有些頻譜只有奇次諧波，比如三角波，偶次諧波為 0，而有些頻譜僅在一些 諧波處的值為0。D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecom

27、munication Centre, BUPT29北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS 定義：Matlab 實現可數值計由DFS的定義可以看. 可由多種方式實現。，它.end語句實現求和。為了計算1）利用循環語句for.end實現才-為了計算每個樣本，可用for.end語句實現求和。為了計算 所有的DFS系數，需要另外一個for.end循環，這將導致運行 嵌套的兩個for 2）利用矩陣一一矢量乘法DFS正變換的定義為.end循環。顯然，這種方法的效率較低。k,n =0,1, ,N - 1N - 1X(k)= x(n)WNknn=0把具體的n，k值代入上述定義，展開得下

28、列方程組:Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3093.2.1 DFS 定義：Matlab 實現(N - 1)式:表示為 矩陣形孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛學"0 -(n-1)+ x(1)Wn0 + x(N - 1)Wn0+ x(1)Wn1 + x(N - 1)Wn(N-1)+ x(1)Wn2 + x(N - 1 )Wn2(N-1)N-1(0)=刀 x(n )Wn0” =x(0)Wn0 n=0N -1X(1) = Vx(n)WN1?1 = x(0)

29、Wn0n= 0N-1(2)=刀 x( "IWn2?1 =x(0)Wn0n=0N -1X(N - 1) = Vx("陋“ =x (0)W n0 + x(1)Wn(N-1)+ x(N - 1)Wn(N-1尸?X(0) x(1)X(2)?x(n-1)?wN ?機= ?wN?wNwN0WnwNwNWnN-13.2.1 DFS 定義：Matlab 實現Wn2Wn4wN(n-1)Wn0?wNn-1)?WN2"?？ ?2?x(0) x(1) x(2)D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunicatio

30、n Centre, BUPTWn(n-1)?x(N- 1)31? ? ?北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東若令列向量L- j心TT 比京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS 定義：Matlab 實現function Xk = dfs(xn,N)% Computes Discrete Fourier Series Coefficie nts % Xk = dfs(xn,N)% Xk = DFS coeff. array over 0 <= k <= N-1% xn = One period of periodic signal over 0 <=

31、 n <% N = Fun dame ntal period of xn%n = 0:1:N-1;k = 0:1:N-1;WN = exp(-j*2*pi/N); nk = n'*k;WNnk = WN 八 nk;Xk = xn * WNnk;孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛左_ -B -'% row vector for n% row vecor for k% Wn factor% creates a N by N% DFS matrix% row vector for DFS coefficie ntsD igital Sgnal Processing Me

32、n Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT333.2.1 DFS定義：計算舉例 «««« I例3.1已知序列x(n)是周期為6的周期序列，如圖所示,試求其DFS的系數,(7解：根據定義求解Li_df 3"k"KX(k) = ”x(")Wn = yx(n)W6"=0 "=01 v V Jj. ir"=02 n2 n-j k- j 2k= 14 + 12e6 + 10e 6+ 8e+ 6e+ 102n5kI_lr J r - r- 1 n

33、1i.X (0 ) = 60 X (1) =9- j3 -3 X (2) = 3 + j 3X (3 ) = 0 X (4 ) = 3 - j ?3 X (5 ) = 9 + j 3、；3D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT35北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東則可由矩陣運算的形式給出 DFSWN = ?WN< N - 1?1 x = (x(0),x(1), ,x(N - 1)T0 < k,n矩陣Wn為方陣，叫做DFS矩陣。X =(X(0), X(1)

34、, ,X(N -1)X =WnX1 *x = _WN XN N?1?1?11wNiwK?-1 ?2? W nN-1) ?用下面的Matlab函數dfs和idfs實現DFS正反變換。Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.2.1 DFS 定義：Matlab 實現32 .functio" xn = idfs(Xk,N)% Computes l"v erse Discrete Fourier Series% xn = idfs(Xk,N)% x"二

35、 One period of periodic sig "al over 0 <= " <= N-1% Xk = DFS coeff. array over 0 <= k <= N-1% N = Fu" dame "tal period of Xk%"=0:1:N-1;% row vector for "k = 0:1:N-1;% row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N);% W" factor"k = "'*k;% creates a N by

36、 N matrix of "kvaluesWN"k = WN a (-" k);% IDFS matrixx" = (Xk * WN"k)/N;% row vector for IDFS valuesDigital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT34北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：計算舉例解:2求出下面周期序列的 DFS表示式x(n) = , 0,1,2, 3, 0,1, 2, 3,上述序列的基本

37、周期為 N=4,3X ( k)=刀 x( ")W 4nk鬥一1F7| j 人 j因 ，、X(0) = Vx( n)W,n=03X(1)=因而 W4 = e-j2 n /4 1= -j, 苗心龜wz!3= Vx(n)= x(0) +x(1)+x(2) + x(3) = 6n = 03Ex(")W4"=刀X(n)(- j)n =0- j- 2+3j =(-2 + 2j)n= 0n = 02nX(2) = 0(n)W42n = D(n)(- j)2" =-2n= 03X(3) = Vx(")W43" = yr""-nAi

38、dong, Multimedia TelecomriTuriiSaiDigital Signal Processing, Men Aid0>ng,3nn = 03x(n)(-j)3n=(-2- 2j)mazation Centre, BUPT36113.2.1 DFS定義：計算舉例北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東用Matlab計算，程序和結果如下:>> xn0,1,2,3;>> N=4;>> xk=dfs(x n,N)xk 6.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 -0.0000i -2.0000 - 2.0000i

39、北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東3.2.1 DFS定義：計算舉例 I - - 4 I例3.3 :已知序列x(n) = R*n),將x(n)以N = 8為周期 進行周期延拓成 x(n)，求解法一：數值解. J、x(n)的 DFS。D igital Signal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT373.2.1 DFS定義：計算舉例N-1X(k)= Tx(n)Wr；kn =03=EWJn = 0.2n.-A=1 +e 8一 7="x(n)WkI +-r v-T "T * T

40、" "Hn= 0+ e 2n-GX(0) = 4X(1) = 1- j( 2 + 1)X(2) = 0X(3) = 1- j(：2 - 1)X(4) = 0X(5) = 1+ j( 2 - 1)X(6) =0X(7) = 1 + j(2+1)Digital Sgnal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT383.2.1 DFS定義：計算舉例北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東解法二：公式解-J 2 n kn e卞N-1- J2：kne -X(k)= DFS ?x(n)? =

41、 ”x(n)二-Jnkn=Ee 4n= 0n=07t-j _k?41 - e 4n= 0it7t-J2k ? J2k e 2 ?e 2 ?7=Ex(n)-J)?e 2 ?-j nk? e ?冗|.3n sink -J 苗 nk2e冗sin k8-J k- J k ? J_k4 e 8 ?e 8 ?Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT40北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東D igital Signal Processing Men Aidong, Multimed

42、ia Telecommunication Centre, BUPT39北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東a)3.2.1 DFS a 由DFS定義可得 jN -1X(k)=刀 x(ngn=0定義：計算舉例k = 0, ±N, ±2N,.2 n -.-jwLk ei2"k-J N k eothers1 -eee - eohterskL、 sin( )N k sin()' N e的幅值可表示為：)igital Signal Processing Men Aidong, Multimedia Teksin( n? L|x(k)|=?lecommunica

43、tion)kL?9? ? 0?.M L- 1)k3.2.1 DFS 定義:.2 n k1 ' J 1- e±N, ±2N,北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東b. Matlab程序如下：% Chapter 3: Example 3.03 L 5; N 20;(改變參數)x ones(1,L), zeros(1,N-L);xn x' * ones(1,3);xn (xn (:)'n -N:1:2*N-1;subplot(1,1,1);subplot(2,1,2); stem( n,xn); xlabel('n' );ylabel

44、( 'xtilde( n)')title( 'Three periods of xtilde( n)' axis(-N,2*N-1,-0.5,1.5)Three periods of xtilde(n)1LJ0102030n42Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT4113Y3.2.1 DFS定義：計算舉例 &、 京 % Part (b)郵 L = 5; N = 20;(改變參數)學xn = ones(1,L), zeros(1,N-

45、L);電Xk = dfs(xn,N);工 magXk = abs(Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1);程 k = -N/2:N/2;媒 subplot(2,2,1);通 stem(k,magXk);信 axis(-N/2,N/2,-0.5,5.5)心 xlabel( 'k'); ylabel( 'Xtilde(k)' )愛 title( 'DFS of SQ. wave: L=5, N=20')D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Cent

46、re, BUPT43jjp 北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東54 e 3 e 2X 2103.2.1 DFS定義：計算舉例DFS of SQ. wave: L=5, N=205個峰值Ml-1卜54e 2X 210jIllkDFS of SQ. wave: L=5, N=605個峰值3.2.1 DFS定義：計算舉例北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東例3.5設x( n) =(0.7)當N=5、10、20、50時，分別對其 Z變換 取樣，研究不同的N對時域的影響。解：可得x(n)的Z變換為：1zX(z) =1 =, H > 0.71- 0.7z z- 0.7 宀h lLA

47、 iT 可用Matlab來實現取樣運算：j2 冗k/NeX(k) = X (z) 1 j2 xk = -j2nk/N, k =0, ±z=eF e - 0.7:在單位圓上11 x 'jUi lT可用Matlab來實現取樣運算：用IDFS計算，確定相應的時域序列。D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT453.2.1 DFS定義：計算舉例1.510.50.5I I10.50D igital Sgnal Processing Men Aidong, Multime

48、dia Telecommunication Centre, BUPT4720n_1.50從圖中清楚地表明在 時域中出現的混疊，尤其是當N=5與N=10時。 對于大的N值，其x（n）的尾部足夠小，實際上不會導致明顯的混迭。 這對于變換前，有效截取無限序列，是非常有效的。0N=5j.20N=20孔京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛左00.5北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東北京郵電大學電信工程學院多媒體通信中心門愛東7個峰值DFS of SQ. wave: L=5, N=405個峰值0 LdlUlii IL-20注意：X（k）是周期信號，圖中只畫出了從N/2到N/2的部分。c.從圖

49、中可以看到，方波的 DFS系數的包絡像“Sine "函數， K=0時的幅度等于 L ；同時函數的零點位于 N/L （占空比的倒數）的整數倍處；L=5不變，N變大丄即填0,但有效信息沒有增加），則形狀不變，只是更平滑，即獲得了一個高密度譜；N=60不變，L變大（即增加了原始數據長度），則變換后得形狀發生了變化， 獲得了更多的信息，即 高分辨率譜。Digital Signal Processing, Men Aidong, Multimedia Telecommunication Centre, BUPT3.2.1 DFS定義：計算舉例44% Frequency-domain sampl

50、ing % x(n)=(0.7)An * u(n)% X(z)=z/(z-0.7); |z|>0.7subplot(1,1,1)N = 5;( 改變參數)k = 0:1:N-1;wk = 2*pi*k/N; zk = exp(j*wk);Xk = (zk)./(zk-0.7); xn = real(idfs(Xk,N);xtilde = xn'* ones(1,8); %只取實部，去掉產生的虛部誤差畫出8個周期xtilde = (xtilde(:)'subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde); axis(01401-0.1,1.5);xlabel('n' );ylabel( 'xtilde(n)' );