1、2016年全國高中數學聯賽貴州省預賽試題及答案選擇題（每小題5分，共30分）(1)若集合.4 = x-X-12W0 , B= < x |< 0 »,。= k 卜 e.4 且 xw B ,則集合C= ( D)(A) -3,-l)U(l,4CB) -3,-lU(l,4(C) -3,-l)Ul，4(D) -3 .-11U1»4解：依題意，d=.t|/-K-12W0=-3,4, B= .r |< 0 | = (-1,1).由知-3號W4： aS B ,知后一1 或五11.所以，34W-1 或 1WW4,即C = -3 ,-lUl，4.若函數"且。力的值域

2、為1，則實數。的(第3取值范圍為(A )(A) (1,3(B) (L3)(C) (3,+ ©(D) 3, + oc)解：當臺3時，函數/«) = ./04 =(工-1)13的值域為8，+8)當工>3時，2+lo/x云3,就 x>3時，logar>l =logatz cr> 1,且又>3時，恒成立J的取值范圍為（1,3.1(3)如困，在四面體尸-中，已知，、PS、PC兩兩互相垂直，且P4二依=PC = 3.則在該四面體表面上與點4距離為2質的點形成的曲線段的總長度為(B )(A) 0K(B) (C) (D) 3石;r22«: (B)如圖

3、,設月E=彳尸二 .4G = 2jI (E在*6上，尸在尸8上，G在PCJL).B PA JLPBf PAI PC, PB1PC , PA=PB = PC=3,知 PF = PG = JS , N尸4F =二.Z£F = -. 64 6 12二在面尸/B內與點d距離為2加的點形成的曲線段(圖中弧EF )長為存.同理，在面川C內與點.4距離為28的點形成的曲線段長為通了. 6同理,在面X8C內與點N距離為26的點形成的曲線段長為 忖理,在面昂C內與點d距離為2行的點形成的由線段長為:xjj二”.所以，該四面體表面上與點力距離為2A5的點形成的曲線段的總長受為卓（4）AAffC 中，&q

4、uot;Mv3<C” 是 “cos24 acos2E>cos2C ”的（C）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（O充分必要條件（D）既不充分也不必要條件解:（OA<B<C <=> a < 6 <c Osin J <sin3 < sinCol - 2sin2 A> 1- 2sin? J > 1- 2sin:C 0 cos2Jcos IB > cos2C .已知函數f (x) 2016xlog 2016 (- x 1x) 2016 x 2 ,則關于x的不等式f (3x1) f (x) 4的解集為(A.(112016

5、, )B. ( 3，)1c.( 2，)1D.( 4，)解法1令g(x) f (x) 2 ,則函數g(x)為奇函數且在實數上為增函數,不等式車t化為 g(3x 1) g(x) 0 g(3x 1) g( x) 3x 1 x解法二：y=/(回美于(0,2)中心時稱且在實數上為增函數3工十1一工0二工(6)記為x,y.z三個數中的最小數.若二次函數/(.V)= ax2 + bx + c(a.b.c > 0)有零點,則匕，生心)的最大值為(B ) a b c(A) 2(B) -| CO -(D) 142M: (B>可以不妨設，2b2c>0,因為比，所以。0方224成，故5<1,0

6、<£式!a a 4上z b + c c + (>-a)(a+ + c)所以：=b+c ab _ (c- a)(a + + c)所以=也二Wl + L = £ (當且僅當a = b = 4o>0時取等號) a b c a 4 4二,填空題(每小題8分，共64分)(7)數學競賽后，小明、小樂和小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌， 一人得銅牌.老師猜測：“小明得金牌，小樂不得金牌，小強得的不是銅牌結果老 師只猜對了一個，由此推斷，得金牌、銀牌、銅牌的依次是小樂，小強，小心.(8)省中醫院5月L號至5月3號擬.安排6位醫生值班，要求每人值班1天，每天安

7、排 2人.若6位醫生中的甲不能值2號,乙不能值3號，則不同的安排值班的方法共有 種.解：分兩類(1)甲、乙同一天值班，則只能排在1號，有C： =6種排法：(2)甲、乙不在同一天值班，有。；。b3 = 36種排法，故共有42種方法.（9）已知函數/（x） =d G R .若對于任意的og（0：4）,存在黑£02,使得 1/（%）|成立.貝卜的取值范圍為.挈WL nr 解法一，函數/（X）視作為。的函數/二（1一.現4十（工十1）問即等價于對于Ve（0.4,|/（a）i由于*e0,2,所以"IhT-4a3|所以問題等價于axe0,2, rW|/（Glz-4x+3|即史|/一4.

8、什3|所以fWl.解法二：由題意得/（工）二（工4。一 IX' - l）對于Sr。w0,2則只需r&max|Q_l|：|3-4U -a2+o-l|) 4設g(4) = max|_|,| 3_a|J_ga】此時g(a = 1所以對于Vow（0,4）只需，所以/WL解法三；若對任意的e（0.4）,存在玉£0,2使得（陶）|當fWO時符合條件.當ro時等價干若對任意的aw（0,4）,存在qe0,2使得忘/（小）或若£守（演）則因為ae（0,4），We（0;2）.所以困數/（x）=1-w+a1在。f）為減函數，在W，2）為增函數所以當aw(0,2時.進而有OvfWl

9、 ;當aeQ,4)時，fWa-1 進而有，O<W1，所以OvKL若 f("o)WT,則左土-a.i. 4所以Vaw(0.4)應有；/W0這與/>0矛盾，舍去.綜上，區1.(10)已知a>0, 6>0,，十分=1,則a+b的取值范圍為.解：(1,河由 0 < a), ,及1=。3 +b' = (a+ b)(Q： - ab + b1 = (a + b)(a + b)' -3ab 4有La"'這1<(a.b)3 ,所以i<Q+bS狎. 4(11)已知/是偶函數，WO時，/(.t) = x-.r (符號兇表示不超過X

10、的最大整數)，若關于X的方程/(工)=米+# (攵>0)恰有三個不相等的實根.則實數4的明值范圍為.解:作出函數j,=/a)與y易知直線> =無十六恒過點x = -l是方程/=4十#的一個根.從圖像可知，絲上匕於太<二，即時，兩個函數的圖像恰有三個不同的交點.2-(-1)1 - (-1)32：.4的取值范圍為(12)已知點F為橢圓"-*=ig>b>0)的右焦點，橢圖的離心率為g,過點F的直線/交橢圓于4B兩點(點工在戈軸的上方)，且萬:二3后，則直線，的斜率為.解：-yfi.極點在右焦點的極坐標方程為p=空一 1 +0cos8所以尸|二士,| BF|=，

11、 l+ecosS 1 -ecos從而一空一=一3叩一,可得cos6 = -且，tane=M，1 + ecos。 1-C8S。3所以直線，的斜率為一 Ji.(13)方程2« + 1)。 + 1)-1 = qz ( x< j )的正整數解(m,j，z)為(寫 出所有可能的情況).解:(1,3,5), (3,7,3).2w + 2x，2i1 = xiz. ，Jxy | (2x>?h- 2.x-t-2y-t-1) ,，aj |(2x+2 + l), qW2x + 2y + L由：t<y,知x+lWy,因此，2x + 2y-t-l <4y.x<4, x=L2

12、87;3若 x = l,則 j|(2j + 3), y |3 , v = 3 .將x = l, j = 3代入題中方程，得15 = 3z, z = 5.若工=2,則2|(2)十5), 2山5.由y>2知，y不存在.若*=3,貝!13yl(2y + 7).以，3y<2y + 7,又j>3,因此，y = 475.6.7.經驗證只有=7符合3yl (2 jf 7).將又=3, y=7代入題中方程，得63=21z, z=3.J符合條件的正整數就有（主）= （1，3,5）或（3,7,3）.（14） 一個有限項的數列滿足：任何3個連續項之和都是負數，且任何4個連續項之和都是正數，則此數列

13、項數的最大值為.解，5一方面可以構造5項的數列，22-5工2符合即設:另一方面，證明滿足條件的數列不超過3項.否則取出前6項，作出如下排列，444由每行的和為負數，知這12個數之和為負數； 由每列的和為正數，知這12個數之和為正數. 矛盾.三.解答題（共56分）（15）（本小題16分）已知函數g（x）= g十。廠？+1（。）0）的圖象恒過定點且點”又在函數 ，（K）二 1/0（工-。）的圖象上.（1）求實數。的值；（II）當方程|g* 2） 2|=2b有兩個不等賣根町 求b的取值范圍；CUD 設q*gS+2）也=,nN*» 求證 4 十年 +”+ 3解：（I ）函教g（x）的更像恒過

14、定點4 ， /點的坐標為（2.2） 又因為，點在/G）上，則2） = 1，6（2 +。） = 2即2十。二3,二。二 1(II ) g(xl)-2 = 2b 即忙+1-2卜2瓦,忙-1 卜2b 由圖像可知：0<2b<l,故6的取值范圍為o+'.(ni)a. = 2"+1也- 丁 (2、0(2*1).a+&+b3 5+i=g->v；/wN”.(16)(本小題20分)2.如圖，橢圓。：需+看:19>6>0)的離心率。=;.短軸的兩個端點分別為4,4,焦點為 巴,尼,四邊形石為用層的內切圓半徑為手.(D求橢圓。的方程；(II)過左焦點尸！的直線

15、交桶圓于M,N兩點，交直線x = -4于點P,設PM = /U巧,RV 二夕.陰，試證以+ 為定值，并求出此定值.解，(D如圖所示，設四邊形石用尸【斗的內切圓與邊4人的切點為G.連接OG,|OG| =呼，由邑3立=3。殳月 |0G|Q|=b,|OE|=c,|8：Z|=4得 be = ® a.又。= £ = L." = b2 -KC2.解得 4 = 2力=出. a 22 J故橢圓。的方程為c：¥十亨=1.（II）根據巳知條件，可設直線A£V的方程為V = £* + 1）：代入精圓方程，整理得（3 + 4產）/ +漱% + 4（左？ -

16、3） = 0.、n 力“ 7/ n.18k*4（K3）10/（%,左）川6，刀）,則三十三二一亦廬,演三二、二，又 R-4.-3 左）：弓（一 L 0）,由 PM =入MF：, PN = QF、.戶X4X2*4得 N = -.=一二= 花+1X?+l3 + 4 x. -42XX.+5（K1+ 0）+8L . 幺= =-i,石+1 M+1 （陽 + 0（0 + 1）今 «/、 0 0 4（左-3） £ / 8K 、 o.，曰三十一（七十三）十8二一力上而 .（-3+4.2）+8 J 4/C0.自-24 -40：，24 332片？3+4P.2+ = 0為定值.(17)(本小題2

17、0分)己知函數/a)=竺，亙級y =為曲線J，= "D的切線.eTe(I )求實數a的值.C II )用mina表示版力中的最小值，設函數8(.<)=1疝1(/(.。.(工>0),若函數 x版x) = g(x)-c/為槽函數，求實數C的取值范圍(I)對/(M求導得廠(町=a ：；)；'4=a 寫立，設直線y =1x與曲線y = /(.v)切于點P(x0.yo),則1若一%=不 0j.1 人 %(2f) =(4e j解彳導a = x© =1.所以的值為1.i廠i(Il )記函數尸(x) =/(x)-(x)=x + X>0,下面考察函數,=廣(工)的符

18、號.X£“X時函數v =尸求導得Fx)= 葉I 土.x > 0 . e工一當文22時k(x)v0恒成立.當0<工<2時，.27)4廣+(：7)=1,從而k= -L<0.e丁 e 廠廠F'CO < 0在十©上恒成立.故y =尸(工)在(0,2C)上單調遞減.VF(l) = i>0,F(2) = p-1<0 ,F(l)-F(2)<0 .又曲線=尸。)在艮2上連續不間斷,所以日因數的零點存在性定理及其單調性知于惟一的 w(L2),使尸(%) = 0，X (O,xoX F(.x)> 0；X G (x0,+x),F(x)< 0 .x,0 <工W x0.XX2.X >xG 0從而力(x) = g(x) - ex2 = <* /(x)= <1 - 3 - 2cx.0 ( x W xcx 2a/ > 與由國徽(r) = g(x) - cd為墻困數，且曲線1,=h(x)在(0#乂)上連或不斷知hx)三。在 (03),(/"8)上恒的.當x> .q時,"2 X ')- lex二0在(