1、2013年北京市高級中等學校招生考試數學試卷滿分120分，考試時間120分鐘一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的1. (2013北京，1,4分)在關于促進城市南部地區加快發展第二階段行動計劃（20132015）中，北京市提出了總計約3 960億元的投資計劃將3 960用科學計數法表示應為A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 【答案】B2. (2013北京，2,4分)的倒數是A. B. C. D. 【答案】D3. (2013北京，3,4分)在一個不透明

2、的口袋中裝有5個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，5，從中隨機摸出一個小球，其標號大于2的概率為A. B. C. D. 【答案】C.4. (2013北京，4,4分) 如圖，直線，被直線所截，12，若340°，則4等于A. 40° B. 50°C. 70° D. 80°【答案】C.5. (2013北京，5,4分)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得ABBC，CDBC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上若測得BE20 m，EC10 m，CD20 m，則河的寬度AB等于A. 60 m

3、B. 40 mC. 30 m D. 20 m【答案】B.6. (2013北京，6,4分)下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是【答案】A.7. (2013北京，7,4分)某中學隨機地調查了50名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結果如下表所示：時間（小時）5678人數1015205則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是A. 6.2小時 B. 6.4小時 C. 6.5小時 D. 7小時【答案】B.8. (2013北京，8,4分)如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB2，設弦AP的長為，APO的面積為，則下列圖象中，能表示與的函數關系的圖象大致是【答案】A.二、填

4、空題（本題共16分，每小題4分）9. (2013北京，9,4分)分解因式：_【答案】a(b2)210. (2013北京，10,4分)請寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，1）的拋物線的解析式y_【答案】x2111. (2013北京，11,4分)如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB5，AD12，則四邊形ABOM的周長為_ 【答案】2012. (2013北京，12,4分)如圖，在平面直角坐標系O中，已知直線：，雙曲線在上取點A1，過點A1作軸的垂線交雙曲線于點B1，過點B1作軸的垂線交于點A2，請繼續操作并探究：過點A2作軸的垂線交雙曲線于點B2，過點B2作軸的垂線

5、交于點A3，這樣依次得到上的點A1，A2，A3，An，記點An的橫坐標為，若，則_，_；若要將上述操作無限次地進行下去，則不能取的值是_【答案】，0，1三、解答題（本題共30分，每小題5分）13. (2013北京，13,5分)如圖，已知D是AC上一點，ABDA，DEAB，BDAE求證：BCAE證明： DE AB CABADE在 ABC 與DAE 中 ADE BAC （ASA） BCAE.14. (2013北京，14,5分)計算：【解】原式5.15. (2013北京，15,5分)解不等式組：解：由 3x> x 2 ，得x>1由，得不等式組的解集為16. (2013北京，16,5分)已

6、知，求代數式的值【解】代數式化簡得：= 3x212x9= 3(x2 4x 3) x2 4x1代入得原式 12. 17. 列方程或方程組解應用題：(2013北京，17,5分)某園林隊計劃由6名工人對180平方米的區域進行綠化，由于施工時增加了2名工人，結果比計劃提前3小時完成任務若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積解：設每人每小時的綠化面積為x平方米則有解得x2.5. 經檢驗：x2.5時，公分母不為0，所以x2.5是原分式方程的解答：每人每小時的綠化面積為2.5 平方米18(2013北京，18,5分)已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根（1）求的取值范圍；（2）若為正整數，且該

7、方程的根都是整數，求的值解：（1）b24ac44(2k4)208k. 方程有兩個不等的實根208k>0k<（2）k為整數，0<k<(且k為整數)，即k為1或2，方程的根為整數，52k為完全平方數當k1時，52k3;當k2時，52k1.k2. 四、解答題（本題共20分，每小題5分）19(2013北京，19,5分)如圖，在ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CEBC，連結DE，CF（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）若AB4，AD6，B60°，求DE的長【解】（1）在ABCD 中， ADBC，ADBC. F 是 AD 中點.DFAD，又CEBC

8、DFCE且DF/CE四邊形CEDF為平行四邊形（2）過點D作DHBE于H，在ABCD 中，B60° DCE60°AB4，CD4CH2，DH2.在CEDF中，CEDFAD3EH1.在RtDHE中，DE.20(2013北京，20,5分)如圖，AB是O的直徑，PA，PC分別與O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DEPO交PO的延長線于點E（1）求證：EPDEDO；（2）若PC6，tanPDA，求OE的長解：（1） PA 、 PC 與圓O分別相切于點 A 、 C. APOEPD 且 PAAO 即PAO90°AOPEOD，PAOE90°.APOEDO.即

9、 EPDEDO.（2）連結 OC PAPC 6.tanPDA在 RtPAD 中 AD8 ， PD10 CD4tanPDA在 RtOCD 中， OCOA3 ， OD5.EPDEDO. OED DEP在 RtOED中，OE2DE252.OE21(2013北京，21,5分)第九屆中國國際園林博覽會（園博會）已于2013年5月18日在北京開幕，以下是根據近幾屆園博會的相關數據繪制的統計圖的一部分： （1）第九屆園博會的植物花園區由五個花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為_平方千米；（2）第九屆園博會園區陸地面積是植物花園區總面積的18倍，水面面積是第七、八兩屆園博會的水面面積之和，

10、請根據上述信息補全條形統計圖，并標明相應數據；（3）小娜收集了幾屆園博會的相關信息（如下表），發現園博會園區周邊設置的停車位數量與日接待游客量和單日最多接待游客量中的某個量近似成正比例關系，根據小娜的發現，請估計將于2015年舉辦的第十屆園博會大約需要設置的停車位數量（直接寫出結果，精確到百位）第七屆至第十屆園博會游客量與停車位數量統計表日均接待游客量（萬人次）單日最多接待游客量（萬人次）停車位數量（個）第七屆0.86約3 000第八屆2.38.2約4 000第九屆8（預計）20（預計）約10 500第十屆1.9（預計）7.4（預計）約_【解】（1） 0.03; （2）陸地面積 3.6 水面面

11、積1.5 圖略；（3）3700. 22(2013北京，22,5分)閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AEBFCGDH1，當AFQBGMCHNDEP45°時，求正方形MNPQ的面積小明發現：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為_；（2）求正方形MNPQ的面積參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截

12、取ADBECF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊RPQ，若，則AD的長為_【解】（1） a（2）四個等腰直角三角形面積和為 a2正方形 ABCD 的面積為 a2 S正方形MNPQSARE SDWH SGCT SSBF4SARE（3）提示：模仿小明的操作，向正三角形外面補出三個“尖角三角形”，如下圖這樣，外面的三個“尖角三角形”的面積之和恰為陰影三角形的面積！五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）23(2013北京，23,7分)在平面直角坐標系O中，拋物線（）與軸交于點A，其對稱軸與軸交于點B（1）求點A，B的坐標；（2）設直線與直線AB關于該

13、拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式解：（1）當 x 0 時， y 2 . A（0，2）拋物線對稱軸為 x， B（1，0）（2）易得 A 點關于對稱軸的對稱點為 A（2，2）則直線 l 經過 A 、 B .沒直線的解析式為 ykxb則解得直線的解析式為 y2x 2（3）拋物線對稱軸為 x 1拋物體在 2 <x<3 這一段與在1<x <0 這一段關于對稱軸對稱，結合圖象可以觀察到拋物線在2<x <1這一段位于直線 l 的上方，在 1< x<0 這一段位于直線

14、l 的下方拋物線與直線 l 的交點橫坐標為 1 ；當 x1 時， y2x(1)2 4則拋物線過點（1，4）當 x1 時， m2m 24 ， m2拋物線解析為 y2x2 4x2 . 24(2013北京，24,7分)在ABC中，ABAC，BAC（），將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD（1）如圖1，直接寫出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，BCE150°，ABE60°，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結DE，若DEC45°，求的值【解】（1）30°；（2）ABE 為等邊三角形 證明連接 AD 、 CD 、

15、ED線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 60° 得到線段 BD則 BC BD ，DBC60°又ABE 60°ABD 60°DBEEBC30°；且 BCD 為等邊三角形.在 ABD 與ACO 中 ABD ACD （SSS）BADCADBACBCE 150°BCE180°(30°)150°.在 ABD與EBC中 ABD EBC （AAS）ABBE（3）BCD60°，BCE150°.DCE150°60°90°.DCE45°. DCE為等腰直角三角形DEC

16、EBCBCE150°.而EBC30°；15°15°25(2013北京，25,8分)對于平面直角坐標系O中的點P和C，給出如下定義：若C上存在兩個點A，B，使得APB60°，則稱P為C 的關聯點已知點D（，），E（0，2），F（，0）（1）當O的半徑為1時，在點D，E，F中，O的關聯點是_；過點F作直線交軸正半軸于點G，使GFO30°，若直線上的點P（，）是O的關聯點，求的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑的取值范圍解：（1）D、E；由題意可知，若P點剛好是圓C的關聯點；需要點P到圓C的兩條切線PA和PB之間所夾的角度為60°；由圖1可知APB60°，則CPB30°，連接BC，則PC點P點為圓C的關聯點；則需點P到圓心的距離d滿足0d2r.由上述證明可知，考慮臨界位置的P點，如圖2；點P到原點的距離OP2×12；過O作x軸的垂線OH，垂足為H；OGF60°；OHOG·s