1、初中幾何折疊問題初探湖北孝感肖港初中唐文折疊問題題型多樣,變化靈活,從考察學(xué)生空間想象水平與動手操作水平的 實踐操作題,到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計算題,開展到基于折疊操作的綜 合題,甚至是壓軸題.考查的著眼點日趨靈活,水平立意的意圖日漸明顯.這 對于識別和理 解幾何圖形的水平、空間思維水平和綜合解決問題的水平 都提出了比以往更高的要求.折疊操作就是將圖形的一局部沿著一條直線翻折 1800,使它與另一局部圖形 在這條直線的同旁與其重疊或不重疊,其中“折是過程,“疊是結(jié)果 .折 疊問題的實質(zhì)是圖形的軸對稱變換,折疊更突出了軸對稱問題的應(yīng)用 .所以在 解決有關(guān)的折疊問題時可以充分運(yùn)用軸對稱的思想

2、和軸對稱的性質(zhì) .根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以得到：折疊重合局部一定全等,折痕所在直線就是這 兩個全等形的對稱軸；互相重合兩點對稱點之間的連線必被折痕垂直平分； 對稱兩點與對稱軸上任意一點連結(jié)所得的兩條線段相等；對稱線段所在的直線與 對稱軸的夾角相等.在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論,借助輔助線構(gòu)造直角 三角形,結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識來解決有關(guān)折疊問題,可以使得解題思路更加清楚,解題步驟更加簡潔.1、利用點的對稱例1.2022年南京市矩形紙片 ABCD AB=Z AD=1將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合.21如果折痕FG分別與AD. AB交于F、G 如圖,AF=3 ,求DE的長;2如果折

3、痕FG分別與CD AB交于F、G 如圖, AED的外接圓與 直線BC相切,求折痕FG的長.圖中FG是折痕,點A與點E重合,根據(jù)折疊的對稱性,線段AF的長, 可得到線段EF的長,從而將求線段的長轉(zhuǎn)化到求 RtDEF勺一條直角邊DE,圖 中,連結(jié)對應(yīng)點A、E,那么折痕FG垂直平分AE取AD的中點M連結(jié)M.那么1MO= DE且MO/ CD又AE為RtAED勺外接圓的直徑,那么 O為圓心,延長 MO 交BC于N,那么ONL BC, MN=ABK RtAED的外接圓與直線 BC相切,所以.混RtAED勺外接圓的半徑,即ON= AE,根據(jù)勾股定理可求出DE=8 ,OE=6.通17過RtFESRtAAEtD

4、求得FO=0 ,從而求出EF的長.對稱點的連線被對稱軸垂直平分,連結(jié)兩對稱點既可以得到相等的線段, 也 可以構(gòu)造直角三角形,此題把折疊問題轉(zhuǎn)化為軸對稱問題,利用勾股定理和相 似求出未知線段,最后把所求的線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中去處理.二、利用線段的對稱性質(zhì)例2.新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)八年級下學(xué)期 Pi26數(shù)學(xué)活動1:折紙做300、600、 150的角對折矩形紙片ABCD使Ag BC重合,得到折痕EF,把紙片展平,再次折 疊紙片,使A點落在折痕EF上的N點處,并使折痕經(jīng)過點B得到折痕BM同時 得到線段BN觀察所彳#到的/ ABIM /MBNffi/NBC這三個角有什么關(guān)系？教師用書中給出了這樣的提示：4

5、AB陣ANBC作NGLBC,那么直角三角形中NG=BN,從而可得/ ABM=MBN=NBC=30假設(shè)這樣證實那么要用到：在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半, 那么這條直角邊所對的角等于30°.這個定理現(xiàn)行教材中沒有涉及到,在這兒用 不太適宜.如果直接運(yùn)用軸對稱思想說理應(yīng)該比擬簡潔明了：連結(jié)AN,那么AN=BN又AB=BN所以三角形 ABNJ等邊三角形,所以/ ABM= MBN = NBC=30利用對稱的思想來證實線段的相等比用其他方法快捷而且靈活、利用面對稱的性質(zhì)例3. 2022年臨安如圖,OAB1邊長為2的等邊三角形,其中O是坐 標(biāo)原點,頂點B在y軸的正方向上,將 OA所

6、疊,使點A落在OB上,記為A' 點,折痕為EF.此題中第問是：當(dāng)A'點在OB上運(yùn)動,但不與O B重合時, 能否使 A'EF為直角三角形？這一問題需通過分類討論,先確定直角頂點不可能在 A'處.當(dāng)AKEF為直 角三角形,且直角頂點在F處時,根據(jù)軸對稱性質(zhì)我們可以得到/ AFEM A'FE=90,此時A'點與B點重合,與題目中相矛盾,所以直角頂點在點F處不成立.同理可證,直角頂點亦不可能在點 E處.故當(dāng)A'點在OB上運(yùn)動, 假設(shè)不與Q B重合,那么不存在這樣的A'點使AUEF為直角三角形.在折疊問題中,利用面的對稱性可得到相等的角、全等的圖形和相等的面積.解決折疊問題時,首先要對圖形折疊有一準(zhǔn)確定位,把握折疊的實質(zhì),抓 住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系,從點、線、面三個方面入手,