1、彈性應變能密度函數3.2.1 彈性應變能密度函數的定義彈性體受外力作用后，不可避免地要產生變形，同時外力的勢能也要產 生變化。根據熱力學的觀點，外力所做的功，一部分將轉化為彈性體的動能，一 部分將轉化為內能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發生變化，或者從 外界吸收熱量， 或者向外界發散熱量。 現分析彈性體內任一有限部分的外力功 和內能的變化關系，設彈性體內取出部分的閉合表面為S，它所包圍的體積為V。以 W表示外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功 ，U 表示在該 微小變形過程中取出部分的內能增量， K表示動能增量， Q表示熱量的變化 （表示為功的單位），根據熱力學第一定律，則有W K

2、U Q我們首先假設彈性體的變形過程是絕熱的，也就是假設在變形過程中系 統沒有熱量的得失。再假設彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程， 在這個過程中， 荷載施加得足夠慢， 彈性體隨時處于平衡狀態， 而且動能變化可 以忽略不計 （這樣的加載過程稱為 準靜態加載過程 ），則根據上式表示的熱力學 第一定律， 外力在變形過程中所做的功將全部轉化為內能儲存在彈性體內部。 這 種貯存在彈性體內部的能量是因變形而獲得的， 故稱之為 彈性變形能 或彈性應變 能。由于彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應變能 將全部釋放出來。下面，推導單位體積彈性應變能的表達式。仍以 X、Y、Z 表示

3、單位體積的外力，表示作用在彈性體內取出部分表 面上單位面積的內力。 對上述的準靜態加載過程， 可以認為彈性體在外力作用下 始終處于平衡狀態。外力所作的功 W包含兩個部分：一部分是體力 X、Y、Z 所作的功 W1，另一部分是面力所作的功 W2，它們分別為以及）于是，有）因此，外力由于微小位移增量在取出部分上所作的功W 可以表示為（）將平衡微分方程（）和靜力邊界條件（）代入上式，并利用散度定理，上式可化為）利用幾何方程（），并注意到，最終可推得相應的內能增量 U為定義函數 u0（ ij ） ，使之滿足（）該定義式稱為 格林（ Green）公式 。將它代入式（），有由上式可以看出， 函數 u0（ i

4、j ）表示單位體積的彈性應變能， 故稱之為 彈 性應變能密度函數 （或彈性應變比能函數 ），簡稱為應變能 。由于彈性應變能密 度函數表示彈性體的內能概念， 因此， 它必然是一個勢函數， 故也稱之為 彈性勢 函數。對式（）取積分，可得（）這里， u0（ ij ）和 u0（0） 分別表示物體變形之后和未變形時的彈性應變 能密度。通常，取 u0（0）=0 ，于是有（）根據格林公式（），假如 u0（ij ）的具體函數形式能夠確定的話，那么， 彈性體的應力與應變之間的關系也就完全確定了。 這表明，彈性應變能密度函數 是彈性材料本構關系的另一種表達形式 。若假設 u0（ij ）對 ij 有二階以上的連續偏

5、導數，則由格林公式（），可進一步 推得上式就稱為 廣義格林公式將式（）代入廣義格林公式，可得這就證明了各向異性彈性體獨立的彈性常數只有 21 個以上我們討論的是彈性體的準靜態加載過程，如果彈性體在外力作用下 處于運動狀態，同樣可以證明，彈性應變能密度函數仍具有式 （）所表示的形式 此外，還可以證明， 對于變形過程是等溫的情形 ，彈性應變能密度函數也可以近 似地表示為式 （）的形式。3.2.2 線彈性體的彈性應變能密度函數對線彈性體，它的應力與應變之間呈線性關系，如式（）所示，因此， 由式（）可以發現，彈性應變能密度函數 u0（ ij ）一定是應變張量分量的二次齊 次函數。根據齊次函數的歐拉（

6、Euler ）定理，有（）代入格林公式（），得（）這就是線彈性體彈性應變能密度函數 u0（ ij ）的最一般表達形式。對于各向同性彈性體，則有）或）從表達式()或式()中可得到一個重要的結論：各向同性彈性體的彈 性應變能密度函數恒為正，而且分別為 ij 和 ij 的二次齊函數。若將式()分別對各個應力分量求偏導數，則可推得)上式表明：對彈性勢函數 u0( ij )求各個應力分量的偏導數 ，就可以得到 相應的各個應變張量分量 。從彈性應變能密度函數 u0(ij )出發，我們還可以求出整個彈性體的總應變能 U。 設一個彈性體的體積為 V，則整個彈性體的總應變能 U為, &nbs, p;&a

7、mp;, ;nbs, p;)以下，列出幾個各向同性彈性體常用的應變能表達式：3.2.3 體變能和畸變能的概念在介紹體變能和畸變能的概念之前，我們首先對各向同性彈性體的本構 方程（）作一有意義的分解， 即把應力張量和應變張量都分解為球量和偏量兩個 部分ij sij mijij eij mij這里， mii /3 （ xyz）/3 為平均應力或靜水應力，mii / 3（ xy z）/3 為平均正應變。于是，式（）就改寫為利用體積模量 K=（3+2 ）/3 ，則上式變為sij m ij 2 ij +3Km（）將式（）代入上式，可得（）由此可見，對各向同性彈性體，其變形可以分為相互獨立的兩個部分： 一

8、部分是由各向相等的正應力（靜水應力）引起的相對體積變形（體積應變）； 另一部分則是由應力偏量作用所引起的物體幾何形狀的變化（即畸變）。現考察各向同性彈性體在兩種特殊的應力狀態作用下的彈性應變能：一 種對應的應力張量是球量， 另一種對應的應力張量是偏量。 由于在以應力球張量 描繪的應力狀態作用下， 各向同性彈性體僅產生體積變化， 所以， 稱與之對應的 彈性應變能為 體變能 ；而在以應力偏量描繪的應力狀態作用下， 各向同性彈性體 僅產生幾何形狀的變化， 所以，稱與之對應的彈性應變能為 畸變能（或形變能 ） 根據各向同性彈性體的彈性應變能密度函數的表達式 （），可推得單位體積的體 變能（ 體變比能 ）u