1、所以設向量 a= - 1,3,2, b= 2,- 3,- 4, c= - 3,12,6，證明三向量 a、b、c 共面.第十章多元函數微積分10.1多元函數的概念P.41 習題 10.12求下列函數的定義域.(1)z= y- x；(2)z =:,y2- 1+ J- x2 ；(3)z =x- ,;y ；(4)z =:ln( y2- 2x+ 1)；(5)z =:arcs in# ；x(6)z =J4x- y2'ln(1- x2- y2).解：(1)要使z= J7- x有意義，須使 D = (x,y) y? 0(2)要使 z= , y2- 1+ .1- x2 有意義，須使 y2- 1? 0;1

2、 x2? 0D=(x,y)-1 # x 1;y? 1U(x,y)1# x 1;y?1 ；故.(3) 要使z= . x- y有意義，須使 x- , y吵0;y0 ;故D = (x,y)*y 3 x; y 0; x> 0.(4) 要使 z= In( y2 - 2x+ 1)有意義，須使 y2- 2x+ 1 > 0；故 D = (x, y) 2x- 1< y2.(5) 要使z= arcsin 乂有意義，須使 -? 1;x0 ;xx故 D = (x, y) - x # y x; x > 0 U (x, y) x # y - x;x< 0.4x-2y(6)要使 z=22 有意

3、義，須使 4x- y ? 0;1 x - y > 0;1- xln(1- x - y )故 D = (x, y) 0 < x2 + y2 < 1; y2 ? 4x.2 23若 f(x, y)= x + y ，求 f(2,- 3)及 f(1,y).2xyxx2+ y解：因為f (x, y)=，所以2xy4+9f(2,-3)= .J13f (1 y)=1+(-)2x -x2+ y- ?12f (l，)- x2xyx22y4若 f (x, y) = x + y - xytan，求 f(tx,ty). x解：因為 f (x, y) = x2 + y2- xytan，,x所以 f(tx

4、,ty)= (x2 + y2- xytan)t2= t2 f (x,y).xx5.若 f (u,v) = uv + In u ,求 f(tan ,x+ y). yy) = (x+ y)tan?+ In tan yx解：因為 f (u, v) = uv + In u，所以 f (tan ,x + y6若 f(y)=EZ(y>°)，求 f(x).即 f (x)二，.12 + 1 .x y解:已知 f (y) = x + y (y > 0)，令-=u，則 f (u)二、1 xyx u7用不等式來表示下列曲線圍成的閉區域D.(1) D由曲線2 2x和y = 1- x圍成;(2)

5、D由曲線2x,x= 4和 y =-圍成.x解：(i)聯立y = x2 禾廿 y = 1-x2解得交點C辺丄),(遼丄)；2 2 2 2所以 D = ( x, y)-X2 # y 1-x2.(2)聯立 y 二 2x, x = 4 和所以 D = (x,y) 2 # x8設圓錐的高為h，母線長為8 解得交點(4,8),(4,2),(2,4);x84, 一 # y 2x.xI，將圓錐的體積 V表示為h、I的函數解：設圓錐的高為h,母線長為1 '則底面半徑為；圓錐的體積V為喙12).10.2二元函數的極限與連續P.45 習題 10.21求下列各極限(1)limx? 0y? 2. 2 sin x

6、y2x(2)limx? 0y? 02 2x + yx2 + y2 + 1- 1(3)lim2- ；xy+4x? 0y? 0xyxye cosy1 + xy2y2X2y2X+/u o m?斤 H X ylimx? 0y? 0解: (1)2lim沁2xlimx 0y 2. 2 sin xy 22xy2 y(2)limx (y (3)lim2- K =0 xyxye cos y lim x? 0y? 01 + xy 2 sin xy2xylimx y=li叫 x2 + y2 + 1+ 1)=y 0lim ：0)2+、xy+ 4e0 cos0=1.1+ 02x2 y22 x2y2lim(1 + x y

7、 )= lim(1 + x y )= 1.(6).ln (x+ ey) lim ：=x? 122y? 0 x + yln(1 + e0)J + 02.求下列函數的間斷點.(1)z =1-(x- a)2 +2 2x + y(y-b)2;(3)z =；x- y(5)z =1 ; sin xcosy(5)y? 0In 2.解:(1)函數z =2y-= 2.2 2(2) z = ln(x2 + y2) + sin xy ；(4) z =x + y3x +3，y(6) u =一 x +y+ zxy-z.:的間斷點為(a,b).(x- a)2+(y- b)2(2)函數 z = ln(x2 + y2) +

8、sin xy 的間斷點為(0,0).(3)函數2 + 2x的間斷點為(x, v) V = x.x- y(5)(6)函數函數函數x + yxv?的間斷點為(x, y) y = - x.1sin xcos y的間斷點為( x, y) x = kp,/y = kp + p ,k ? Z.2x+ y+ z的間斷點為xy- z(x,y,z) z= xy.3.證明下列極限不存在.(1)xy lim x? 0 x2 + V2 y? 02x -(2) lim 廠 x? 0 x + y? 02y . ；y(3)x + V limX? 0 x- v y? 0 ?(4) limx；0x y + (x- y)解:(1

9、)取路徑 y = 0得limx? 0y= 02 xy 2 x=0 ;取路徑y=x得x?imy= x? 0也=1 .所以x + v2xy 才右嚴lim r 2不存在 X? 0 x2 + y2y? 0(2 )取路徑y =moX?n?=X y0 ;取路徑y =2-2+2X20 得 lim x x? 0 x2 + y=0丿2= 1 ;所以ylimx? 0y? 0不存在.(3)取路徑y=0得切y= 0x+ y不存在(4)取路徑y= 0 得 xm。y= 0所以lim -x； 0 X y + (x- y)x- y取路徑y=_x得x?li0my=- x?2 2 .2x y + (x- y)=0 ；取路徑2不存

10、在x+ y所以°x- ylimx? 0y? 0x+ yx- ymoX? J尸 得X-y2 2x y22 - 2 = 1 ； ox y + (x- y)4討論 f(x,y)=-J 22$ 丄,(x2+y2?0)+ y2 20,( x + y = 0)在點(0,0)處的連續性.解：因為在(0,0)處,limx? 0y? 02 2x y小=0 =2 2x + yf(0,0)，事實上,2 2x y-2 yxy 0,( x 0,y0)；所以，函數f(x, y)=10.3偏導數P.51 習題 10.31求下列函數的偏導數(1)5x y-(3)uv(5)z = xln(x2(7)2y2X+ y)y

11、 ? 0)在點(0,0)處連續.=0)(2)(4)(6)2 2 :x + y + z u= e(8)xz= ln tan；yz= arctan、x- y ；23 y z= x y-x2z = sin(xy)+ cos (xy).抖，解: (1)- = 5x4y-抖x55y(2)(3)2CSC y2xu2+ v2uv?w=cot-鬃ec2yx - x2y?cscyu22v2u v?wv22u2uvx-y =?x ='1 x-y 2(1+ x2x2=:ln( x +y) + ：?xx y1(5)z _ x；?y = x2 y '1y) , x- y '?y2X- y1 x-

12、 y2(1+ x- y), x- y2(6)2y +X2'(7)Sx=2xex2+"(8)?z=ycos(xy)- ?x?z=xcos(xy)- ?y=2 ye yx2+y2+z22y cos(xy)sin( xy) = ycos(xy)-2xcos(xy)sin( xy)二 xcos( xy)-1 '2已知 f (x,y)= x+ yarcsi n(xy)，求 fx(1,)與 fy(0,1). 3+6解：fx(x, y) = 1 + y1；fx(1, )= 1仁(xy)22fy(x, y)= arcsin(xy) + y1- (xy)xfy(0,1)= 0.sin(

13、2 xy);sin (2xy)3.設T=2p；g，求證l罟+證明：因為T= 2p,.，所以抖T _ c g - 可=2p= p 21 T口; = 2p = .gl g 2 g是i抖T+g丄=0. g1 1-(一+一)4設 T = e x y求證x抖( + y2_y=2T.證明：已知T =-(-+-)e x y ,則抖TtW ；所以x2 f +x y y抖(y2=2T .y 2 2寫x y 5討論 f (x, y) = x4 + y4?0,( x2 + y2= 0),(x2 +y ? 0）在任一點處偏導數的存在性解：在（0,0）點fx(0,0) = 0-= x叫門=0;fy(0,0)=代暑lim

14、 口=0 ;y 0 y- 0不在（0,0）點2/4 ,42232/44、'(x y) = 2xy (x + y )- x y 4x = 2xy (y - x )； x(X, y丿一4 4 2= , 4 42 ；(x + y )(x + y )2x2y(x4 + y4)- x2y24y3 _ 2x2y(x4- y4)fy(x, y)=,44 2z 44 2(x + y )(x + y )6求下列函數的二階偏導數 .(1) z = x3 + xfy(x,y,z)一 2xy+ z , fyz(x, y,z) 一 2z, fyz(0,- 1,0) 一 0 ；y- y4 ；(2) z= xy,(

15、x 0)；(3)U 一二 22 .x + y + z解: (1)抖z2z 23 抖z2z 抖z2z2=3x + 2xy, = x - 4y ,2 一 6x+ 2x, 一 一 2x,2 一 - 12y .27.設 z 一 xln( x2 y),抖x7 y7 抖2x抖yy抖xy27(2)披一y- 1yxz:xy In抖2zx,碣一y(y-1)xy-2,2z一 xy + yxy In x, 2 = xy In x y 抖'y2抖c1 "" yx抖(3)?u 2x?u2y?u一2z；?x 一(x22y +z ) ?y=(x22y +z2)2 1 ?z2 2 2、2 ； (x

16、 y + z )?2u 8x22(x2 + y2 + z2)_ 2(3x2- y22 2-z ) ? u一 2(3 y22 2X - z;)?2u _2(3z2 y2-x2)?x2'(x222、3y + z)一 (x2 + y2 +z ) ?y一（x22 2Xy + z )3，?z2 _(x2y2 +z2)3J抖u2u 8xy抖2u2u 8xz抖u一 2u 一8zy抖 y抖/ x-/ 2 亠 2 , (x + y +z2)31 抖x z_披X/2 .2 .23(x + y + z )'抖z y抖/ z(x2 +2 . 2、y + z )?3z抖zz2x2xy c22z2xy2?

17、3z2解：一ln(x y) +X一 2 +ln(x y),2 -'2 一3 一-2抖x yXx yX?xX4(22131抖zXz抖y x_ 2 _x yy，州2 x_- 2 y求2 2 2 '' '' " ''8設 f(x, y,z) 一 xy + yz + zx ,求 fxx(0,0,1)、fXz(1,0,2 )、fyz(0,- 1,0)、fzx(2,0,1).IQHH解：fx(x, y,z) 一 y + 2zx, fxx(x, y,z) 一 2z, fxx(0,0,1) 一 2 ；2fx(x, y,z) 一 y + 2zx,

18、 f/x, y, z) 一 2x, fxz(1,0,2) 一 2 ；' 2 '' ''fz(x, y,z) = 2yz+ x , fzx(x, y, z) = 2x, fzx(2,0,1) = 4.10.4全微分P.56 習題 10.41設z= f (x, y) = In(1 + x2 + y2)，求函數在點(1,2)處的全微分解：乙=孑 2,zy=弓 2,dz爲=1dx+2dy. 1+ x2+ y2 y 1+ x2+ y2， g 33（1）z =2:sin(1 + x+ y )；（2）z =:ln tan(xy)；(3) z =u ev;(4) u =

19、y z x:x y z .2求下列函數的全微分解：(1) zx = cos(1+ x+ y2),zy = 2ycos(1+ x+ y2), dz= cos(1+ x+ y2)(dx+ 2ydy).(2)Zx =sec (xy) ' sec (xy)iany, zy =&dz =2csc(2 xy)(ydx + 幼).(3)Zu =u u u1 'u1 ev ，乙二-ev p, dz二 §ev(vdu- udv).vvvxy- 1 z+1 x 'y z xy z- 1 x+1'y z xy+1 z x- 1z lnz+ x y z ,uy = x

20、 y z lnx+ x y z ,uz = x y z lny+ x y z所以， du = xyyzzx(ln z+ )dx+ (ln x+ )dy + (ln y+ )dz. xyz3求函數z=-當x= 2, y = 1,Dx= 0.1,Dy = - 0.2時的全增量和全微分 x解：y'11Zx二-p,Zy 二一，dz二(xdy- ydx);xxxI1dzx=2,y=1;Dx=0.1,Dy=- 0.2 = (- 04-。二-0.125；Dz= f (x+ Dx, y+ Dy)- f(x,y)= f(2.1,0.8)- f (2,1) = - = - 0.119 4210.5復合函數

21、與隱函數的偏導數P.61 習題 10.51求下面復合函數的導數或偏導數(1)已知宀=sint,y=t3，求詈(2)已知2 2 u + v ,u 二-cosx,v = sin x，求dzdx(3)已知2X抖:u In v,u 二一，v二 x+ y，求市 y八抖uu(4) 已知 u 二 x + 2y + 3z,x = sln t, y 二 st,z = sin(s+ 2t)，求 ，抖t小 sin y dz(5) 已知 z= , y = . tanx，求xdxy22 亠 抖Ju(6) 已知 u二 xz,z=x + y，求 ，.抖x y抖ju ?u(7) 設 u = f (x,xy,xyz)，求 ，一

22、,.抖(y ?z(8) 設 z= f (x+ y,-)，求 Zx,Zy.xdz抖z dx z dy x- 2解：(1)=+= e (cost - 6t ).dt抖(dt y dt(2)dzduz dv一= z- += 2usinx+ 2vcosx = - 2sin xcosx+ 2sin xcosx = 0 .dx I dx v dxz ?vu22x2xl n(x y) + 2 y (x y) yz Jz ?v= + 抖/u抖/v ?y2xu In v2 u + 一vx22x2I n(x y)y2(x y)j抖抖y+ y sJ抖u ?z=In t + 2t + 3cos( s + 2t), z

23、 ?s u ?z s=+ 2s+ 6cos( s+ 2t) z ?t tdz 按 z dy - sin y cosy sec x - sinVtanx sec xcotanx(5) =+=2 +=2+dxcy dx xx 2/tanxx2Wtanx(6)uzyy- 1y2y-122、y222、y-1=()+= zy + xyzy 2x= zy + 2x yzy = (x + y )y+ 2x y(x + y )y ,cxx抖J/ u、抖z八y-1y2 y-1=( )+= xzy In z+ xyzy 2y = xzy In z+ 2xy zy抖-yz y22、y222 22、y-1=x(x +

24、 y ) In(x + y ) + 2xy (x + y )抖J'''(7)抖= fi + yf2 + yzf3,u '' ?u '=xf2 + xzf3,= xyf3.y?zy ''(8)zx = f1 -2 f2,zy =x22.設 z= y+ f (u), u = x證明：因為抖z二2xf ' (u),抖x2按y，其中f可微，證明y市+ 抖cz抖z-=1- 2yf ' (u),所以 y-r+ x y抖2z ?2z?2z ?2z抖x_ 211 + yf12 + yf21 +=f11 + xf12 + y? z?

25、y2"""2''yf22= fn+ 2yf12 + y f22,f2 + yf21 + xf22 = f11 + (x+ y) f12 + xyf22 + f=£ + xf12 + x f21 + xf22 = f1 1 + 2xf12 + x22 -2,3.設z= f(x+ y,xy), f具有二階連續的偏導數，求 |抖f, 抖，. 抖xx抖/y” 抖z '' z ''解:抖T fi + yf2；T f1 + xf2；4.求下面隱函數的導數烏(1) x2 + xy+ 2y - 2x = 0 ；3(2) x

26、y- x -y3 = arcta n#x2 2(3) In( x + y )二 xx(4) sin y + e2xy=0.解：(1) Fx= 2x+ y-2xin2;Fy = x+2yin2;所以齊FxFy2x+ y- 2x|n2x+ 2y In2(2) Fy = x- 3y2-i+(-)2x3y2-_y_Fx'= y- 3x2-3x2 +2x-= y- 1+(y)2 x2 "所以巴二dxFxFc 2 yy- 3x + 2x + y2 xX- 3y -22x + y(3) Fx2xx +yxy-1； Fy 二x +-xy In x;所以 ydy =dxFxF?2x22x +

27、y2 yy |2- x I n xx + yy- iyx(x2 + y2)yxy-1 - 2x+ y2)xyln x2y- (x2(4) Fx =y2;Fy = cosy- 2xy;所以 dy =-dxFxFycosy-2xy5求下面函數的偏導數.xy z= x ；: （(2)z = (x +)cos(x+ y)y)取Fxyxy-1 Inx-xy-1Fyxyl n2x； Fz所以IFzxy+ y- 1x(ylnx+ 1)二yFFzxy+ y2x In x.(2)取對數得Fx=sin(x+ y)ln( x+ y)- COs4)；x+ yFy = sin(x+ y)ln( x+ y)-COs；Fz

28、=1z?z?x?z?yFx'= (x+ y)cos(x+y)FzI(x+ y)cos(x+y)Fzx +ycos(xy)xy.cos(xy)xy-sin(x+ y)ln( x+ y).-sin(x+ y)ln( x+ y).6求下面方程確定的x、y的隱函數z的偏導數¥，二 抖cy(1) sin(x+ y + z) + xyz = x ；證明：因為 Fx = 2cos(x+ 2y- 3z)- 1; Fy = 4cos(x+ 2y-3z)-2；(2)x +y + z =(x+ y+ z)e;(3)2z + 3xyz =sin(xy);(4)xIn三.zy解:(1Fx =cos(x

29、 + y +z) + yz- 1; Fy = cos(x+y+ z) +xz; Fz:=cos(x+ y+ z) + xy;?z=Fx_ 1 cos(x+ y+ z)- yz?z =Fy =cos(xy+ z) + xz?x一 1 1Fzcos(x y+ z)+ xy '?y =1Fzcos(xy + z) + xy(2)Fx =e(x+ y+ z) - 1;Fy= e(x+y+z)- 1;F；：=e(x+y+z)- 1;按=Fx=zFy=-1, = - ' = - 1 . yFz抖（=- '- Fz(3)Fx =1=ycos(xy)- 3yz; Fy = xcos(x

30、y)-3xz; F：=-3xy- 2z;?z=Fx_ ycos(xy) 3yz ?z _1Fy _ xcos(xy) 3xz?x1Fz3xy 2z ,?y1Fz3xy2z(4)Fx：1 ' =;F =y z1'x 1 按 ; FZ - ; =yz z ?xFzzFy =z21Fzx z，?y=-fz = y(x z)7設x2 +2y2+3z2=4，求普，鼻. '，求抖（x?y解：Fx =2x; Fy =4y;F'=6z;壘=-蟲4y;爲；執F；=2x_6z_ x3zz = J_xFx = - 4= _Fz'6z)3zx J 2xy抖z抖x y 3 z2

31、?yZ=1. y8設 2sin(x+ 2y- 3z) = x+ 2y- 3z，證明 普 +Fz = - 6cos( x + 2 y- 3z)+ 3;?zFx2cos(x 2y- 3z)- 1, , ” ,?xFz6cos(x 2y- 3z)- 31 ?z _ Fx _ 4cos(x 3，?x2y- 3z)- 2Fz6cos(x 2y- 3z)- 323,所以，抖：+ z= 1.抖（ y10.6多元函數的極值P.70 習題 10.61求下列函數的極值.（1）f(x,y)33=x + y - 3xy ；（2）z=xy(a-x- y)；（3）f(x,y)2=(6x- x )(4 y-y2)；（4）

32、z=e2x(x- 2y+ y )；解：（1）已知f(x, y)= x3 + y3-3xy;得 fx:=3x2-3y; fy =23y - 3x;解得駐點(0,0),（1,1）; fxx = 6x; fyy = 6y; fxy = - 3 ；在駐點（0,0）,處：D > 0 ,不是函數的極值點；在駐點（1,1）處：D < 0,是函數的極值點，A> 0，是函數的極小值點；極小值為f（1,1）=- 1.(2) 已知 z= xy(a- x- y)得 j = y(a- 2x- y);Zy = x(a- x- 2y);解得駐點(0,0),a a ”（,）；z = - 2y;Zyy = -

33、 2x; zxy = a- 2x- 2y ；在駐點（0,0）,處：D> 0，不是函數3 3a a的極值點；在駐點（二）處：D < 0,是函數的極值點，當 a> 0時，A< 0,是函數的極3 3a aa3大值點；極大值為f（,）二 ；當a< 0時，A> 0,是函數的極小值點；極小值為3 3273a a af(-,-)=3 32722'2(3) 已知 f (x, y) = (6x- x )(4 y- y ) 得 fx = 2(3- x)(4 y- y );'fy = 2(6x- x )(2- y);解 得 駐 點(0,0),(0,4),(3,2)

34、,(6,0),(6,4)；nononfxx = - 2(4y- y ); fyy = - 2(6x- x ); fXy = 4(3- x)(2 - y);；在駐點(0,0)處：D > 0，不是函數的極值點； 在駐點（0,4）處：D > 0，不是函數的極值點； 在駐點（3,2）處：D < 0,是函數的極值點，A< 0，是函數的極大值點；極大值為f（3,2） = 36 ;在駐點（6,0）處：D > 0，不是函數的極值點；在駐點 （6,4）處：D> 0,不是函數的極值點.,2x2'2x2'2 x（4）已知 z= e2 （x- 2y + y2）得 Z

35、x = e （2x- 4y+ 2y + 1）;Zy = 2e （y- 1）;解得駐 點 g,1） ； z疝=4e2x（x- 2y+ y2 + 1）;zy = 2e2x;z；y= 4e2x（y- 1）;；在駐點（£,1）處：1 eD < 0,是函數的極值點，A> 0,是函數的極小值點；極小值為f ( ,1)=-.2已知矩形的周長為 6,為使該矩形繞其一邊旋轉所成的體積最大，問矩形的長和寬應各為多少？解：設矩形的長和寬分別為 x,y ;則2x+ 2y = 6.設該矩形繞其一邊旋轉所成的體積為V，2 2 2則V 二 px y 二 px (3- x) ； V '= 6px

36、- 3px ，解得 x= 2，x= 0 (不符合題意，舍去)，所以該矩形的長和寬應為 2,和1時該矩形繞其一邊旋轉所成的體積最大.3在半徑為R的半球內，求出體積最大的長方體的體積解：設長方體的在第一卦限內的頂點坐標為 (x, y,z)，則滿足x2 + y2 + z2 = R2 ；則在半 徑為R的半球內，最大的長方體的體積為 V二4xyz ； 即求 V 二 4xyz在 x2 + y2 + z2 = R2 條件下的條件極值：作輔助函數F二4xyz+ I (x2 + y2 + z2 - R2)，則' ' ' '2 2 2 2Fx = 4yz+ 2xl ; Fy = 4

37、xz+ 2yl ; Fz = 4xy+ 2zl;Fl = x+ y+ z-R ；聯立解得負的舍去;由問題的實際意義知：在半徑為R的半球內，體積最大的長方體的體積為v= 4R.3j34從斜邊長為I的所有直角三角形中，求出周長最大的直角三角形解：設從斜邊長為I的所有直角三角形中，周長最大的直角三角形的兩個直角邊為x, y，則2 2 2 2 2 2x + y = I ；設三角形的周長為 S，則S = x+ y+ I ；即求S = x + y + I在x + y = I條件下的條件極值：作輔助函數F二x+ y + I + I (x2 + y2- I2)，則Fx = 1+ 2xI ; Fy = 1 +

38、2yl ; F| = x2 + y2 - 12 ；聯立解得(右，右)，負的舍去；由問題的實際意義知：從斜邊長為 I的所有直角三角形中，周長最大的直角三角形的兩 個直角邊為_ .5已知渠道橫截面為等腰梯形，其面積為A，等腰梯形的底和高各為多大，才能使渠道的兩腰與底長之和最小？解：設等腰梯形的底和高分別為x,y，上底寬為x+ 2a，則A= (x+ a)y ；又設渠道的兩腰與底長之和為 S= x+ 2 . a2 + y2 ；即求S= x+ 2. a2 + y2在A= (x+ a)y條件下的條件極值：作輔助函數 F = x+ 2、. a2+ y2 + I (x+ a) y- A)，則Fx = 1+ y

39、i ;Fy =-F=+ (x+a)l ;Fa =a + y2a+小=(x+ a)y- A聯立解得（第鳥）；負的舍去;由問題的實際意義知：這樣才能使渠道的兩腰與底長之和最小6求函數z= xy在附加條件x+ y = 1下的極大值.解：由x+ y = 1解得y =1- x，代入 z= xy得 z= x(1- x) = x-x2 = - - (x- -)2 ； 所42以函數z= xy在附加條件x+ y= 1下的極大值為1.4P.78復習題10（A）1填空題：(1)=的定義域是2y2 2(x,y) y < x,y ? x 1(2)x sin y lim 22 =0x?x2+ y2(3)f (x,

40、y) = e- xsin(x+ 2y)，則fx(o,4)=-1_.f (x+ y, x- y)=y2，則抖+丄抖（ y已知函數(5)(6)(7)(8)2 x(9)函數z= f （x,y）的偏導數 絲及空在點（x, y）處存在且連續是f （x, y）在該點可微分?x ?y的充分條件2選擇題：? 2z（1 ）使二2x- y成立的函數是（抖（y2A.z= x2y-C .z= x2y-2 x+ y xy + e1 xy2 + si n(xy)21 2yB .z= x y- xy + e ;21 2xyD .z= x y- xy + e + 3;2(2)曲線x= t,y= 2t2,z= 3t3在點(1,

41、2,3)處的一個切向量為()A.1,2,3 ；B .2,4,6 ；|C .1,4,9；(3)函數 f (x, y) = 4(x- y)- x2 - y2 ()A有極大值8；B .有極小值8； C.無極值;(4) u =x ? z1xsin 則 在點(2,)處的極值為(、P2zD .1,4,8；D .有無極值不確定;).A.P ；B.(P)3 ；|C.(P)2 ；eee3抖7z(5) z= xy+ x ，貝 U+=(抖yD.1 ；).2A.x+ y + 2z ；B .x+ y+ 3z2 ；2C . 2x+ y + 3x ；D . x + y(B)1.計算題.2(1 )設 f(x+ y,x- y)

42、 = xy+ y ；求 f (x, y).(2)討論函數f (x, y)=0)的連續性.(3)求函數f (x,y)=4- 2的定義域；并求In(1- x2- y2)呵 f (x, y).X? 2y? 0(4 )求下列函數的一階導數sin x z= e cosy ； z = arctan x+ y ；1- xy z = ln(x + ln y)； u 二(xy)z.(5)求下列函數的高階偏導數 u 二(cosy + xsiny)ex,求抖|z，套和咅. 抖(y抖x y(6)求下列函數的全微分 2丄2 u = ex +y ,(7 )求下列復合函數的一階偏導數 z= euv, u = In x2 +

43、 y2 ,v = arctan$ ；x z = arc tan(xy), y= ex ； z = xey, y = f (x) ； f (x)可導.x，、一 披(8) 設 z= arctan ,x= u + v, y = u- v ；驗證 += 2二 2 .y抖iv u2+v2(9) 求下列隱函數的一階偏導數.xy y 二 xy； In x2 + y2 = arctan'.x zz(10) 設 2sin(x+ 2y- 3z) = x+ 2y- 3z，驗證 += 1.抖(y(11) 求下列函數的極值. z= e2x(x+ y2 + 2y)； z= x2 + y2 - 2ln x- 2ln

44、 y,(x> 0, y> 0).2解：(1)已知 f(x+ y, x- y) = xy + y，則令 u= x+ y,v = x- y;有x =u + vu - v；代入得2 2 / 、2 2、 u - v(u - v)uuv,y =T (u, v) =+一-224422即f (x, y)：2x一 xy =x(x- y)222(2)在點 x0 ? 0, y00處,lim f(x,y)=佃列回x x0x x0yy 0y 0二燼穿“"0) 0;故不連續;在點 Xo = 0, yo = 0 處,lim f (x, y) = lim sin(xy)= lim sin(xy)x=

45、0= f (0,0)；故連續. 八y0yy 0xy(3)要使函數f(x'y)=ln(1- x2 - y2)4x有意義，須使 0< x2 + y2 < 1 ； 4x3 y2,所以函數5)=£石定義域為( x, y) 0 < x2 + y2< 1,y2 ? 4xlim1 f(x, y)=x -2y 0limx 1ln(1- y 24x- y22ln3- 2ln 2披瓦=sin xe cos x cos y;sin xesin y.1- xy + (x+ y) y1- xy + (x+ y)x?z?x(1- xy)2)2xy1+(1-11 x2 + y2 +

46、 x2y2 ; ?y?z(1- xy)21+嚴)21 - xy1_1x2 +2x222y + x y宦?x1x In y?yy(x In y)抖z- 1 zzx y ;yz z- 1zx y蛙=(xy)zln(xy).絲?x抖x=sin yex+(cos y + xsin y)ex;u = (- sin y + xCOSy)ex； y抖 uxx2ux2 = 2sin yex+ (cos y + xsin y)ex;= cos yex + (- sin y + xcos y)抖(x?y?2ux2 二-(cos y+ xsin y)e ;?y2x(y2 + x2)- 2x( y2 - x2)- 4

47、xy2 ;2r2;(y + x )2 2 2(y x )/2 .2、3(y + x)? e .z = 8xy(y2+X2)2 + 16xyy(y2+ X2) _ 8xy(y2- x2) 抖x y(y2 + x2)42 2x2 + y2222(6 du = de + y = ex + y d (x2 + y2) = ex + y (2xdx+ 2ydy). dz= de= 2y2y ydx- xdyz ?vv ?x2xuvve:+uvue1 + ()2xuvveuvuexv- yu uv7+7e.z=veuvv ?y2yueuvx_ ；C)2xuvueyv+ xuuvdz=y + xy'1+ (xy)2(