1、-X選擇題1.已知：AABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的髙，BQ=AC，點F在CE的延長線上,CF = AB,下列結論錯誤的是（）A. AF丄AQB. AF二AQC. AF=ADD. ZF = ZBAQ2."勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發行了以“勾股 圖”為背景的郵票（如圖1）,歐幾里得在幾何原本中曾對該圖做了深入研究.如圖2,在中，ZACB = 90。，分別以ABC的三條邊為邊向外作正方形，連結宓，DGCM, DG, CM分別與AB, BE相交于點P, 0若ZABE = 30°,則麗的值為()Dffl 1MN圖2A.迺B.4 C 2

2、353.如圖.在等腰三角形ABC中.AC二BC二5,AB二8, D為底邊上一動點（不與點A, B重合），DE丄AC, DF丄BC,垂足分別為E. F,則DE+DF二（）4. 如圖，四邊形ABCD中，AC丄BD于6 AB = 3, BC=4, CD = 5,則AD的長為（A. 1B. 32C. 4D. 2/35. 在ZABC中，ZBCA=90。，AC=6,BC二8,D是AB的中點，將AACD沿直線CD折疊得到 ECD,連接BE,則線段BE的長等于（）14366. 如圖A B兩點在直線I的兩側，點A到直線I的距離AC珂點B到直線I的距離BD=2,且CD=6,P為直線CD上的動點，則PA-PB的最大

3、值是（）A. 6>/2B 2>/2c. 2V10D67. 如圖,A ABCAB 二 10, BC=12,AC= 2y/3 >則MBC的而積是（A. 36B. lOx/13C. 60D 12>/138. 在下列以線段a、b、c的長為邊，能構成直角三角形的是（）A.。二3, b=4, c=6 B cr=5, b=6, c=7 C a=6, b二8, c=9 D a=7, b=24» c=259. 在直角三角形ABC中，ZC = 90°,兩直角邊長及斜邊上的髙分別為則下列 關系式成立的是（）B. + -v cr lrC. h2 =abD. h2 =a2 +

4、b210已知三組數據：2, 3, 4；3, 4. 5；1, 2, $ 分別以每組數據中的三個數 為三角形的三邊長，能構成直角三角形的是()A.B. ®C.D.二.填空題 11如圖，在矩形ABCD中，AB二10,BC二5,若點M. N分別是線段AC、AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為12. 如圖，AB = 12, AB丄BC 于點 B, AB丄AD 于點 A, AD=5, BC = 10, E 是 CD 的中點,13. 如圖，這是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的而積分別為S2, S3,若S+S2+S3 = 144,則二的值是1

5、4. 如圖，0為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A(20,0), C(0$),點D是。4的中點，點P在邊BC上運動，當AODP是以OD為腰的等腰三角形時，則P點的坐標為15.如圖，NBAC = 90 度，AB = AC, AE 丄 AD,且 AE = AD, AF 平分 ZDAE 交16. 已知x,y為一個直角三角形的兩邊的長，且（x6 ）2=9,尸3,則該三角形的第三邊長為17. 如圖z在矩形ABCD中，AD > AB ,將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連接CN.若厶CDN的面積吳CMN的面積比為2則而T的值為18如圖，在四邊形力8CD 中，ADM f CD=3 ,

6、ZABC=ZACB=ZADC=45 則BD2= 19. 如圖所示，四邊形ABCD是長方形，把ZiACD沿AC折疊到AACD，, AD占BC交于點20. 如圖，在厶ABC中，AB = AC.點D在MBC內，AD平分ZBAC,連結CD, 把厶ADC沿CD折疊，AC落在CE處，交43于F,恰有CE丄AB若BC = 10, AD =則A三.解答題21. 如圖，在矩形ABCD中，AB=& BC=10, E為CD邊上一點，將AADE沿AE折疊，使點 D落在BC邊上的點F處.(1) 求BF的長：(2) 求CE的長.r22. 如圖，已知 AABC 中，ZB = 90°, AB = Sent,

7、 BC = 6cm，P、O 是 AABC邊上 的兩個動點，英中點P從點A開始沿AtB方向運動，且速度為每秒lc7,點。從點3 開始沿B C方向運動，且速度為每秒2cm ,它們同時岀發，設岀發的時間為/秒.圖1D圖2(1) 當/ = 2秒時，求P0的長:(2) 求岀發時間為幾秒時，是等腰三角形?(3) 若。沿BtCtA方向運動，則當點。在邊C4上運動時，求能使MCQ成為等 腰三角形的運動時間.23. 如圖1,在&3C中，AB=AC, ZBAC=90 D為&C邊上一動點，且不與點A點C重合，連接3D并延長，在3D延長線上取一點F,使AE=AB.連接CE. E（1）若ZAED=20q

8、9 則ZDEC=度；（2）若ZAED=a,試探索ZAED與Z4EC有怎樣的數量關系？并證明你的猜想：（3）如圖2,過點A作AF丄于點F, AF的延長線與EC的延長線交于點H,求證：EH2CH2 = 2AE2 24. 如圖1,在等腰直角三角形 ABC中，動點D在直線AB （點A與點8重合除外）上 時，以cd為一腰在CD上方作等腰直角三角形£»,且ZECD = 90%連接人匕（2）如圖2,若BD = 4, P，Q兩點在直線加上且£P = EQ = 5,試求PQ的長.（3）在第（2）小題的條件下，當點D在線段處的延長線（或反向延長線）上時，判斷 PQ的長是否為立值.分別

9、畫出圖形，若是請宜接寫出PQ的長：若不是請簡單說明理由. 25如圖，ACB和AFCD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,點D在邊&3上， 點E在邊AC的左側，連接AE.（1）求證：AE=BD；（2）試探究線段AD、BD與CD之間的數量關系；（3）過點C作CF丄DE交于點F,若BD： AF=1： 22 > CD=+來,求線段 的長.26. 左義：如圖1,點M、N把線段A3分割成AM、MN和BN ,若以AW、MN、（1）已知點N是線段A3的勾股分割點，若AM = 2，MN = 3,求BN的長:(2) 如圖 2,在 RtZXABC 中，AC = BC，點M、N 在

10、斜邊 AE匕 ZMCN = 45。, 求證：點M、N是線段AB的勾股分割點(提示：把厶ACM繞點C逆時針旋轉 90°)；(3) 在(2)的問題中，ZACM = 15°, AM = ,求的長.27. 已知AABC中，AB = AC.(1) 如圖 1,在 AADE 中，AD = AE,連接 BD、CE,若ZDAE = ZBAC ,求證： BD = CE(2) 如圖 2,在 AADE中.AD = AE 連接3E、CE,若ZDAE = ZBAC = 60，CE丄AD于點F，A£ = 4，EC = 5,求處的長：(3) 如圖3,在站仞中，ZCBD = ZCDB = 4$，連

11、接AD 若ZC4B = 45，求AD的值.圖1圖228. 如圖1,在平而直角坐標系中，直線經過點C (q, a) 9且交x軸于點A Cm.0),交y軸于點B (0, n),且m,門滿足Jm_6 + <n - 12)0(1) 求直線AB的解析式及C點坐標；(2) 過點C作CD丄&8交x軸于點D,請在圖1中畫岀圖形，并求D點的坐標：(3) 如圖2,點E (0,2)，點P為射線&3上一點，且ZCEP=45%求點P的坐標.29. 如圖，在平而直角坐標系中，點。是坐標原點，AABC, AADE，AAFO均為等邊 三角形，A在y軸正半軸上，點3(-6,0),點C(6,0),點、D在A

12、ABC內部，點E在 AABC 的外部，AD = 3近,ZDOE = 30。，OF 與 43 交于點 G,連接 QF, DG ,DO, OE.（2）判斷DF與OE的數量關系，并說明理由：（3）直接寫出MDG的周長.30. 菱形A8CD中，ZBAD=60° , BD是對角線，點F、F分別是邊A3、AD上兩個點，且 滿足AE=DF,連接與DF相交于點G.（1）如圖1.求ZBGD的度數：（2）如圖2,作CH丄BG于H點,求證：2GH=GB+DG：（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內部，若GB=6, CH=4JJ,求菱形ABCD的 面積.圖1【參考答案】試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題

13、1. C解析：C【分析】根據BD、CE分別是AC、AB邊上的高，推導出ZEBH = ZDCH ；再結合題意，可證明 AFACAAQB,由此可得ZF = ZBAQ, AF = AQ ,再經ZAEF = 90 得ZF += 90 ,從而證明AF丄AQ：最后由勾股定理得AQ2=AD2 + QD2,從而得到AFAD，即可得到答案.【詳解】如圖，CE和BD相較于HTBD、CE分別是AC、AB邊上的高ACE丄AB, BD丄AC. ZBEC = ZBDC = ZAEF = ZADQ = 90 ZEBH + ZEHB = ZDHC + 乙 DCH = 90'：AEHB = ZDHCZEBH = ZDC

14、H又T BQ=AC 且 CF=AB/. AFAC/AQBZF = ZBAQ,AF = AQ,故 B、D 結論正確：ZAEF = 90ZF + ZFAE = 90ZBAQ + ZFAE = ZF + ZFAE = 90AF丄AQ故A結論正確：J AADQ = 90 AQ2=AD2+QD2: Q£> H 0A AQ H ADAFAD故選：C.【點睛】本題考查了全等三角形、直角三角形、勾股左理、三角形的高等知識：解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、直角三角形、勾股左理、三角形的髙的性質，從而完成求解.2. D解析:D【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判左左理證出厶EABA CA

15、M.之后利用全等三角形的性質定理分別可得ZEBA = ZCMA = 30° , ZBPQ = ZAPM = 60°,PQ = LpB,然后設AP = 1 ,繼而可分別求出PM=2 .，所以QM = QP + PM =也工；易證 RUDCG (HL),從而得DG = AB =氐2DG 然后代入所求數據即可得；777的值.QM【詳解】解：在6A8和M中，AE = AC< ZEAB = ZCAM ,AB = AM EAB辿 CAM (SAS), ZEBA = ZCMA = 30°,.ZBPQ = ZAPM =60:.ZBQP = 90° ,PQ 冷 PB

16、,設AP = 1，貝，PM =2 r PB = ®_，PQ= 一 r2:.QM =QP + PM =- + 2 = ；2 2.在 RtA ACB 和 RtA DCG 中,CG = BCAC = CD 'RtA /CBRtA DCG (HL), DG = AB =羽;故選D【點睛】本題主要考査了勾股定理，三角形全等的判左左理和性質立理等知識.3. D解析:D【分析】過點（2作（214丄AB,連接CD,根據等腰三角形的三線合一的性質及勾股泄理求出CH,再 利用S,購=S,s+S心即可求岀答案.【詳解】如圖，過點c作CH丄AB,連接CD,TAOBC, CH丄AB. AB二&

17、AAH=BH=4,VAC=5, CH=Jac2_AH2 =居-42 = 3，:.-ABCH =-ACDE + BCDF,2 2 2A-x8x3 = -x5D£ + 丄 x5DF,2 2 2DE+DF 二4.8,故選：D.【點睛】此題考查等腰三角形三線合一的性質，勾股左理解直角三角形，根據題意得到 S,bc=SaAcd+S3cd的思路是解題的關鍵，依此作輔助線解決問題.4. B解析：B【分析】設 OA=a, OB=b, OC=c, OD=d，根據勾股泄理求出 a2+b2=AB=9, c2+b2=BC2=16, c2+d2=CD2=25，即可證得a2+d2=18,由此得到答案.【詳解】設

18、 OA=a, OB = b, OC=c, OD = d,由勾股定理得,a2+b2=AB2=9, c2+b2=BC2=16, c2+d2=CD2=25,則 a2+b2+c2+b2+c2+d2=50,.*.a2+d2+2 (b2+c2) =50,.a2+d2=50- 16X2 = 1 &AD= +d = V18 = 3邁 '故選：B.【點睛】此題考查勾股左理的運用，根拯題中的已知條件得到直角三角形，再利用勾股泄理求出未 知的邊長，解題中注意直角邊與斜邊.5. C解析：C【分析】根據勾股左理及直角三角形的中線、翻折得CD=DE=BD=5, CE=AC=6,作DH丄BE于H,EG丄CD

19、于G,證明 DHEAEGD,利用勾股立理求出EH = DG =-,即可得到BE.【詳解】VZ BCA二90 s AC=6t BC二&AB = aC2 -BC1 +8? =10»TD是AB的中點，AAD=BD=CD=5,由翻折得：DE=AD=5, ZEDC=ZADC, CE二AC=6,ABD=DE,作DH丄BE于H, EG丄CD于G,.ZDHE=ZEGD=90°, ZEDH= ZBDE= (180°-2ZEDC) =90°-ZEDC,2 2 ZDEB= 90°-ZEDH=90°-(90°-ZEDC)=ZEDC,IDE二

20、DE,AADHEAEGD,DH二EG, EH二DG,設 DG=x,則 CG=5-x, EG2 = DE2 - DG2 = CE2 - CG2， 52 -x2 = 62 -(5-x)2 ,.757 EH = DG = -,514.BE=2EH=,5故選：C.【點睛】此題考查翻折的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，將求BE轉換為求其一半的長度的想 法是關鍵，由此作垂線，證明 DHEAEGD,由此求出BE的長度.6C解析:c【解析】 試題解析：作點B關于直線I的對稱點3',連接ABf并延長，與直線I的交點即為使得 PA-PB取最大值時對應的點P.此時- PB' = ABf.過點B&#

21、39;作B'E丄AC于點E如圖,四邊形BQCE為矩形，B'E = CD = 6,EC = B'D = BD = 2.:.AE = 2.AB' = JAEGBE = 2 皿 的最大值為：2710.故答案為：2応.7. A解析:A【分析】作 AD丄BC 于點 D,設 BD = x ,得 AB2 - BD2 = AD2» AC2 - CD2 = AD2 > 結合題 意，經解方程計算得BD,再通過勾股左理計算得AD,即可完成求解.【詳解】如圖，作AD丄BC于點D設 BD=x,則 CD = BC-x = 2-x AB2 - BD2 = AD2 AC2 -

22、CD2 = AD1. ab2-bd2 =ac2-cd2TAB二 10, AC=27iIA 1O2-x2=(2>/T3)2-(12-x)2x = 8AD = V AB2 BD2 = V102 82 = 6A a ABC 的而積=BCxAD = xl2x6 = 36 2 2故選：A.【點睛】本題考察了直角三角形、勾股左理、一元一次方程的知識，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的性質，從而完成求解.8. D解析：D【解析】A選項：B選項：C選項：D選項: 故選D32+42#62,52+62工72,62+82*92.故不符合勾股立理的逆立理, 故不符合勾股定理的逆左理, 故不符合勾股左理的逆左理,72

23、+24255故符合勾股左理的逆定理,不能組成直角三角形，故錯誤: 不能組成直角三角形，故錯誤: 不能組成直角三角形，故錯誤: 能組成直角三角形，故正確.9. B 解析：B 【分析】 設斜邊為c,根拯勾股左理得岀c二后匚滬，再由三角形的而積公式即可得出結論.【詳解】 解：設斜邊為C,根據勾股泄理得出尸后”, "ab二 Ja，+b，% 即 a2b2=a2h2+b2h2t .crb2 _ a2lr * b2h2a2b2h2 a2h2h2 a2b2h2 *I、卩+ TT = TT cr Zr lr故選:B.【點睛】本題考查勾股左理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一泄等于斜

24、 邊長的平方是解題關鍵.10. D解析：D【分析】根據三角形勾股左理的逆左理符合/ +h2 =c2即為直角三角形，所以將數據分別代入， 符合即為能構成直角三角形.【詳解】由題意得：®22+32=1342 ；32+42=25=52 : 12+22 =5=(75)',所以能構成直角三角形的是.故選D.【點睛】考査直角三角形的構成，學生熟悉掌握勾股左理的逆左理是本題解題的關鍵，利用勾股定 理的逆泄理判斷是否能夠成直角三角形.二、填空題【解析】如圖作點B關于AC的對稱點B',連接B' A交DC于點E,則BM+MN的最小值等于BM + MN的最小值作B'N

25、9;丄AB交AC于M；則為所求；25設EC = AE = X (10 -x)2 + 52 = x2 X15 .眈P1151 25SAB.CE = -XTX5 = -.T-/1 h = 3m,th+5二& 即BM+MN的最小值是8.點睹：本題主要是利用軸對稱求最短路線，題中應用了勾股定理與用不同方式表示三角形 的而積從而求岀某條邊上的高，利用軸對稱得出M點與N點的位置是解題的關鍵.125【詳解】解：如圖，延長AE交BC于點F,點E是CD的中點，'DE二CE,VAB1BC, AB 丄 AD,ADBC,I ZADE=ZBCE 且 DE二CE, ZAED=ZCEF,AAAEDAFEC

26、(ASA) z'AD二FC二5, AE二EF,ABF=BC-FC=5,在 RtA ABF 中，AF ujAB2 + BQ = 3,AE = = 6.52故答案為：6.5.13 48【分析】用a和b表示直角三角形的兩個直角邊，然后根據勾股立理列岀正方形而積的式子，求岀 二的面積.【詳解】解：本圖是由八個全等的宜角三角形拼成的，設這個直角三角形兩個直角邊中較長的長度 為a，較短的長度為b,即圖中的AE = a, AH=b.則S=AB2 =(a+b)2, S2=HE2=a2+b2, S3=TM2 =(a-b)2, S +S2+S3 = 144,/. (a +a2 +b2 +(a_b) = 1

27、44a2 +b2 +2ab +a2 +b2 +a2 +b2 一2肪= 1443/+3/, =144a2+b2 =48,52=48.故答案是：4&【點睛】本題考查勾股左理，解題的關鍵是要熟悉趙爽眩圖中勾股定理的應用.14. (4,8)或(6,8)或(16,8)【分析】當ODP是以OD為腰的等腰三角形時，分為兩種情況點0是頂角頂點時，D是頂角 頂點時，根據勾股定理求出CP, PM即可.【詳解】解：0D是等腰三角形的一條腰時： 若點0是頂角頂點時，P點就是以點0為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，在直角AOPC 中，CP= QP2 -OC2 = 102-82 = 6 則 P 的坐標是(6,

28、 8). 若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，過D作DM丄BC于點M,在直角厶卩。“中，PM=7PD2-£)M2 =>/102-82 =6 »當P在M的左邊時，CP=10-6=4,則P的坐標是(4, 8):當P在M的右側時，CP=10+6=16,則P的坐標是(16, 8).故P的坐標為：(6, 8)或(4, 8)或(16, 8).故答案為：(6, 8)或(4, 8)或(16, 8).【點睛】本題主要考査等腰三角形的性質及勾股定理的運用，注意正確地進行分類，考慮到所有的 可能情況是解題的關鍵.15. 6x/5【分析】由"SAS

29、"可證 ABD仝ACE，aDAFaEAF可得BD = CE, N0 = /B，DF = EF，由勾股左理可求EF的長，即可求BC的長，由勾股左理可求AD的長.【詳解】解：如圖，連接EF,過點A作AG丄BC于點G,/DAE = /DAC + /2 = 90 , 又/BAC = &DAC + / = 90 ，/ = /2,在 ABD和 ACE中AB = AC< Z1 = Z2 ,AD = AE.aABDaACE(SAS).BD = CE, =./BAC = 90 , AB = AC,= 454 = B = 45?，.空CF = /3 + /4 = 90、，.CE2+CF2=

30、EF2./. BD2 4- FC2 = EF2,.AF 平分 OAE,. <DAF=<EAF,在aDAF和aEAF中'AD = AE< Z.DAF = ZEAF ,AF = AF,aDAF £ aEAF(SAS).DF=EF.BD2 + FC2 = DF2./. DF2 =BD2+FC2 = 62 + 82 =100»DF=10.BC = BD+DF+FC = 6+10+8 = 24,.AB = AC, AG丄BC,/. BG = AG=1BC = 12.2/.DG = BG-BD = 12-6 = 6, ad=Jag2+dg2 =6 岳故答案為6

31、亦【點睛】考査等腰直角三角形的性質、勾股左理、全等三角形的判立和性質等知識，解題的關鍵是 學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.16 3屁，6近或3近【解析】【詳解】 ( x-6 ) 2=9 ,x-6=±3 ,解得:xi=9 r x2=3 fx, y為一個直角三角形的兩邊的長，y=3,當x=3時，x、y都為直角三角形的直角邊，則斜邊為府廚 =3血； 當x=9時，x、y都為直角三角形的直角邊，則斜邊為*乎=3価；當x=9時，x為斜邊、y為直角邊，則第三邊為92-32 =62 - 故答案為：3屁，6近或3邁.【點睛】本題主要考査了勾股定理的應用，正確分類討論是解決問題的關鍵，解題時

32、注意一左不要 漏解.17 . 12【解析】如圖，過點N作NG丄BC于點G,連接CN,根據軸對稱的性質有：MA=MC , NA=NC , Z AMN=ZCMN.因為四邊形ABCD是矩形，所以ADII BC,所以Z ANM=ZCMN.所以ZAMN二ZANM,所以 AM二AN.所以 AM二AN二CM二CN.因為 CDN的而積與厶CMN的而積比為1 ： 3 ,所以DN:CM=1:3.設 DN=x,則 CG=x , AM二AWCM二CN二3x,由勾股宦理可得NG二J(3x$ - X? = 2邁x,所以 MN=(2V2a)2+(3x-x)2 =12x2, BMJ(3x一(2岳)'=疋.所以MN2B

33、M112x2=12.枚本題應填12.點睛：矩形中的折疊問題，苴本質是軸對稱問題，根據軸對稱的性質，找到對應的線段和 角，也就找到了相等的線段和角，矩形中的折疊一般會伴隨著等腰三角形(也就是基本圖形 "平行線+角平分線T等腰三角形)，所以常常會結合等腰三角形，勾股左理來列方程求解.18. 41【解析】作 AD丄 AD, ADLAD,連接 CD DD，,如圖:Q ZBAC+ZCAD=ZDADr+ZCAD, 即 ZBAD=ZCAD；在ABAD與厶CADr中，BA=CA ;< ZBAD= ACAD'AD=ADAABADACADr (SAS),ABD=CDr,ZDAD=90%由勾

34、股左理得DD'= y)AD2 + AD,2，ZDr DA+ZADC二90° ,由勾股泄理得cd二Jdc'+dd， BD二CD'二 JJ?,即 BD2=41.故答案是：41.【解析】試題分析：根據矩形性質得AB=DC=6 , BC=AD=8 , ADBC , ZB=90再根據折疊性質得 ZDAOZD'AC,而ZDAOZACB,則ZD'AOZACB,所以 AE=EC,設 BE二x,則 EC=4- x , AE=4-x,然后在RtAABE中利用勾股定理可計算出BE的長即可.試題解析：四邊形ABCD為矩形，AB二DC二3, BC=AD=4, ADBC,

35、 ZB二90° ,V AACD沿AC折疊到, ADZ與BC交于點E,A ZDAC=ZDr AC,VAD/7BC. A ZDAC=ZACB,ZD' AC=ZACB, AE二EC,設 BE二x,則 EC=4 - x, AE=4 - x,在 RtAABE 中，AB'+BEJAE7A3'+x- （4 - x） 2,解得 x二一，87即BE的長為一84920.13【解析】【分析】如圖（見解析），延長AD,交BC于點G,先根據等腰三角形的三線合一性得岀4G丄BC,再根據折疊的性質、等腰三角形的性質（等邊對等角）得出Z2+Z3 = 45。， 從而得出ACDG是等腰宜角三角形

36、，然后根據勾股左理、而積公式可求岀AC、CE、cf的 長，最后根據線段的和差即可得.【詳解】如圖，延長AD,交BC于點G/ AD 平分 ZBAC, AB = AC,BC = 10:.ZB = ZACB,AG丄BC ,且AG是BC邊上的中線ZB = Z1 + Z2 + Z3, CG =丄 BC = 52由折疊的性質得Zl = Z2, CE = AC.ZB = Z1 + Z2+Z3 = 2Z2+Z3-CE丄 AB,即 ZBFC = 90。.ZB+Z3 = 9O。/.2Z2+Z3+Z3 = 90°.即Z2+Z3 = 45° ACDG是等腰直角三角形，且DG = CG = 5:.A

37、G = AD+DG = 7+5 = 2在 RtAACG 中，AC = >JCG2 + AG2 =>/52 + 122 =13:.CE = AB = AC = 3由三角形的面積公式得S»BC =-BCAG=丄AB CF2 2即-xlOxl2 =丄xl3CF,解得CF = E2221312049:.EF = CE CF = 3 =131349故答案為：13【點睛】本題是一道較難的綜合題，考査了等腰三角形的判泄與性質、勾股立理等知識點，通過作 輔助線，構造一個等腰直角三角形是解題關鍵.三、解答題21. (1) BF長為6：(2) CE長為3,詳細過程見解析.【分析】(1) 由矩

38、形的性質及翻折可知，ZB=90°, AF=AD=10,且AB=&在RtAABF中，可由勾 股定理求出BF的長：(2) 設CE=x，根據翻折可知，EF=DE=8-x,由(1)可知BF=6,則CF=4,在RtACEF中， 可由勾股泄理求岀CE的長.【詳解】解：(DY四邊形ABCD為矩形，.ZB=90°,且 AD=BC=10,又: AFE是由 ADE沿AE翻折得到的，.AF=AD=10,又 VAB=8,RtAABF 中，由勾股左理得：BF=a/aF2-AB2 =7102-82 =6 »故BF的長為6.(2)設 CE=x,四邊形ABCD為矩形，CD=AB=8, Z

39、C=90°, DE=CD-CE=8-x,又V AAFE是由AADE沿AE翻折得到的，AFE=DE=8-x,由(1)知：BF=6,故 CF=BC-BF=10-6=4,在RtZkCEF中，由勾股定理得:CF2+CE2=EF2，/. 42+x2=(8-x)2,解得：X=3,故CE的長為3.【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變 化，對應邊和對應角相等，利用勾股定理求解是本題的關鍵.22. （1）2屁：（2） I； （3） 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒【分析】（1）根據點P、0的運動速度求出AP,再求岀BP和BQ ,用勾股世理求得PQ即可

40、：（2）由題意得出BQ = BP ,即2/=8兒解方程即可；（3）當點。在邊C4上運動時，能使MCQ成為等樓三角形的運動時間有三種情況： 當 CQ = BQ 時（圖1）,則 ZC = ZCBQ,可證明 = ZABQ,則 BQ = AQ,則CQ = AQt從而求得f； 當CQ = BC時（圖2）,則BC + CQ = 2,易求得f； 當BC = BQ時（圖3）,過“點作BE丄AC于點、E，則求出處，CE,即可得岀f.【詳解】解：（1） BQ = 2x2 = 4cm ,BP = AB - AP = 8-2x1 = 6cm,.ZB = 90。，PQ = J BQ，+ BP，= V42 + 62 =

41、2屈（cm）:（2）解：根據題意得：BQ = BP,即 2/ = 8-r,Q解得：心”Q即出發時間為t秒時，"OB是等腰三角形;（3）解：分三種情況： 當CQ = BQ時.如圖1所示：則 ZC = ZCBQ、 ZABC = 90°,CBQ + ZABQ = 90° 9 ZA+ZC = 90°, ZA = ZABQ .* BQ = AQ, .CQ = AQ = 59 bc + cq = 9/. / = 11*2 = 55 秒. 當CQ = BC時，如圖2所示:則 BC + CQ = 12=12一2 = 6秒 當BC = BQ時，如圖3所示:過B點作BE丄A

42、C于點E»ABBCAC= = 4.8(010.CE = VBC2 - BE2 = 3.6cm，J. CQ = 2CE = 7.2cm ,BC + CQ = 13.2cm,/ = 132一2 = 66秒由上可知，當/為5.5秒或6秒或6.6秒時，MC0為等腰三角形.【點睛】本題考查了勾股左理、三角形的而積以及等腰三角形的判立和性質；本題有一泄難度，注 意分類討論思想的應用.23. （1） 45 度：（2） ZAEC- Z/AfD=45°,理由見解析；（3）見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質可求ZBAE= 140°,可得ZC4Q50。，由等腰三角形的性質可得ZAE

43、C=ZACE=65°,即可求解；（2）由等腰三角形的性質可求ZBAE= 180° - 2a,可得ZCAE=90° - 2a,由等腰三角形的 性質可得ZAEC= ZACE=4S°+a,可得結論；（3）如圖，過點C作CG丄加于G,由等戯直角三角形的性質可得EH= 72 EF, CH= J?CG,由"AAS"可證AFBACGA,可得AF=CG,由勾股泄理可得結論.【詳解】解：（1） '：AB=AC, AE=AB,:.ab=ac=ae9:.ZABE= ZAEB. ZACE= ZAEC.T ZAED=2Q:.ZABE= ZAED=20A

44、ZB/AF=140°,且 ZBAC= 90°A ZCf= 50°,I Z CAE+ ZACE+ ZAEC= 180°,且 ZACE= ZAEC,:.ZAEC= ZACE=65:.ZDEC= ZAEC Z&FD=45°,故答案為：45：(2) 猜想：ZAEC- ZAED=4S 理由如下：V ZAED=ZABE=a. ZB&F=180° - 2cg ZCAE= ZBAE - ZaAC=90° - 2a,V ZCAEZACE+ZAEC=180 且 ZACE= ZAEC,:.ZAEC=45°+a,Z. ZA

45、EC - ZA£D=45°：(3) 如圖，過點C作CG丄于G,AZFEH=45VAH±BE9ZFHE=ZFEH=45°,:.EF=FH9 且 ZEFH=90。,:EH=JEF,VZFH£=45 CG丄FH,ZGCH=ZFHE=45。,GC=GH,:.CH=y/2CG,9： ZBAC=ZCGA = 90ZB&F+ZC4G=90°, ZC&G+Z&CG=90°,:.ZBAF= ZACG, KAB=AC. ZAFB= ZAGC,:.AAFBACGA (AAS ):.AF=CG.:.CH=y/2AF.在 Rt

46、昭中，AE2=AF2EF(近 AF) 2+ (y/2EF) 2=2AE29:.EH2CH2 = 2AE2 【點睛】本題是綜合了等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質與判泄的動點問題，三個問題由 易到難，在熟練掌握各個相關知識的基礎上找到問題之間的內部聯系，層層推進去解答是 關鍵.24. (1) AE二BD且AE丄BD： (2) 6：(3) PQ為泄值6,圖形見解析【分析】(1) 由SAS可證 ACEABCD,可得 AE=BDf ZEAC=ZDBC=45 可得 AE丄BD；(2) 由等腰三角形的性質可得PA=AQ,由勾股左理可求PA的長，即可求PQ的長；(3) 分兩種情況討論，由"SA

47、S"可證 ACEABCD,可得AE二BD, ZEAOZDBC,可得 AE丄BD.由等腰三角形的性質可得PA=AQ,由勾股肚理可求PA的長，即可求PQ的長.【詳解】解：(1) AE二BD, AE丄BD,理由如下：ABC, AECD都是等腰直角三角形，AC二BC, CE二CD, ZACB=ZECD=90°, ZABC=ZCAB=45.- ZACE=ZDCB,且 AC二BC, CE二CD,AAACEABCD (SAS)'AE二BD, ZEAC=ZDBC=45ZEAC+ZCAB 二 90°,AE 丄 BD：(2) TPE二EQ, AE丄BD,PA 二 AQ,TEP

48、二EQ二5, AE二BD=4, AQ= yEQ2-AE2 =25-16=3， PQ=2AQ=6：(3) 如圖3,若點D在AB的延長線上，ABC, AECD都是等腰直角三角形，'AC二BC, CE二CD, ZACB=ZECD=90°, ZABC=ZCAB=45%AZACE=ZDCB,且 AC二BC, CE二CD,AAACEABCD (SAS)AE二BD, ZCBD=ZCAE=135 且ZCAB二45°,AZEAB=90°,TPE二EQ, AE丄BD, PA 二 AQ,TEP二EQ二5, AE=BD=4. AQ= yjEQ2-AE2 =#25-16=3,如圖4

49、,若點D在BA的延長線上，VAABC, AECD都是等腰直角三角形，'AC二BC, CE二CD, ZACB=ZECD=90°, ZABC=ZCAB=45.- ZACE=ZDCB.且 AC二BC, CE二CD,AAACEABCD (SAS)AE二BD, ZCBD=ZCAE=45 且ZCAB二45°, AZEAB=90°,TPE二EQ, AE丄BD, PA 二 AQ,VEP=EQ=5t AE=BD=4, AQ二 yjEQAE2 =25-16=3，【點睛】本題是三角形綜合題，考査了全等三角形的判左和性質，等腰三角形的性質，勾股左理等 知識，證明AE丄BD是本題的

50、關鍵.25（1）見解析：（2） BD2AD2=2CD2；（3） AB = 2 近+4【分析】(1) 很據等腰直角三角形的性質證明 ACEABCD即可得到結論；(2) 利用全等三角形的性質及勾股定理即可證得結論；(3) 連接EF，設BD=x,利用(1)、(2)求出EF=3x,再利用勾股泄理求出x,即可 得到答案.【詳解】(1) 證明：4C3和ECD都是等腰直角三角形&C=BC, EC=DC, Z&CB=ZFCD=90° ZACB - ZACD=上ECD - ZACD:.ZACE=ZBCD,:.AACEABCD (SAS),:.AE=BD (2) 解：由(1)得厶ACEA

51、BCD,:ZCAE=ZCBD、又V /ABC是等腰直角三角形，I ZCAB= ZCBA= ZC&F=45°,ZEAD=90°,在 RtA/ADE 中，AE2AD2=ED2.且 AE=BD.:.BD2AD2=ED2,ED= VJCD,:.BD2+AD2=2CD2,(3) 解：連接FF,設8D=x,ECD都是等腰直角三角形，CF丄DE.:DF=EF,由(1)、(2)可得，在RtA£4E中， EF= yAF2 + AE2 = yj(2y/2x)2+x2 =3x,9：AE2+AD2 = 2CD2 tx2 + (2y/2x + 3x)2 = 2(/3 + 茜)2,解

52、得X=l,:AB = 2近+ 4【點睛】此題考查三角形全等的判左及性質，等腰直角三角形的性質，勾股立理.26. (1)厲或 V13 ；(2)見解析；(3) 2 + 石【分析】(1) 分兩種分割法利用勾股定理即可解決問題；(2) 如圖，過點A作AD丄AB,且AD二BN.只要證明厶ADC幻BNC,推出CD二CN, ZACD二ZBCN,再證明DCAMNC,可得MD=MN,由此即可解決問題；(3) 過點B作BP丄AB,使得BP=AM=1,根拯題意可得 CPB仝CMA, ACMNACPNt 利用全等性質推岀ZBNP=30°,從而得到NB和NP的長，即得BM.【詳解】解：(1)當MN最長時，BN

53、二JmM-AM亍當BN最長時，BN= Jam訂MN，=曲:(2)證明：如圖，過點A作AD丄AB,且AD=BN,在AADC和ABNC中，AD = BNZDAC = ZB,AC = BC'ADC竺ZBNC (SAS),CD二CN, ZACD=ZBCN,VZMCN=45°, ZDCA+ZACM 二 ZACM+ZBCN 二 45°,AZMCD=ZMCN,AMDC 和MNC 中，CD = CN< ZMCD = ZMCN ,CM =CMAAMDCAMNC (SAS),AMD=MN在 RtAMDA 中，AD2+AM2=DM2,ABN2+AM2=MN2,點M. N是線段AB的

54、勾股分割點：(3) 過點B作BP丄AB,使得BP=AM=1,根據(2)中過程可得：ACPBACMA. ACMNACPN,A ZAMC=ZBPC=120 AM=PB=1.ZCMN=ZCPN=ZA+ZACM=45°+15<>=60%AZBPN=120°-60°=60AZBNP=30°,ANP=2BP=2=MN,.-.BN=a/22 - l2 = QABM=MN+BN=2 + V3 【點睛】本題是三角形的綜合問題，考査了全等三角形的判定和性質、勾股左理等知識，解題的關 鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.27. (1)詳見解析：(2) 74?：(3)石.【分析】(1) 證ZEAC=ZDAB.利用 SASAACEAABD 可得：(2)連接 BD, ilEZFEA = -ZAED = 30 t 證厶ACEAABD 可得 ZFEA = ZBDA = 30 ,CE=BD=5,利用勾 2股泄理求解：(3)作CE垂直于AC,且CE=AC,連接AElJ ZACE = 90 ,ZCAE = 45° ,利用 勾股泄理得AE= Q4B，BE裁AB，根據(1)思路得AD=BE=J毎.【詳解】(1) 證明:VZDAE=ZBAC, Z