1、2015 年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1（ 5分）（ 2015?重慶）已知集合 A=1 ，2， 3 ， B=2 ， 3 ，則（）A A=BBAB=?CDABBA考點(diǎn) ：子集與真子集專題 ：集 合分析：直接利用集合的運(yùn)算法則求解即可 解答：解：集合 A=1 ，2，3，B=2 ，3，可得 AB，AB=2 ，3，B A，所以 D 正確 故選： D 點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的基本運(yùn)算，基本知識(shí)的考查2（5 分）（2015?重慶）在等差數(shù)列 a n中，若 a2=4，a4=2

2、，則 a6=（）A 1B0C1D6考點(diǎn) ：等 差數(shù)列的性質(zhì)專題 ：等差數(shù)列與等比數(shù)列 分析：直接利用等差中項(xiàng)求解即可解：在等差數(shù)列 an 中，若 a2=4，a4=2，則 a4= （ a2+a6） =2，解得 a6=0故選： B 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力3（ 5分）（ 2015?重慶）重慶市 2013 年各月的平均氣溫（ ）數(shù)據(jù)的莖葉圖如，則這組數(shù) 據(jù)的中位數(shù)是（ ）A 19B 20C 21.5D23考點(diǎn) ：莖葉圖專題 ：概 率與統(tǒng)計(jì)分析：根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可解答：解：樣本數(shù)據(jù)有 12 個(gè)，位于中間的兩個(gè)數(shù)為 20，20，則中位數(shù)為 ，故選： B點(diǎn)評(píng)

3、：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4（ 5分）（ 2015?重慶） “x>1”是“（ x+2）< 0”的（）A 充 要條件B 充分而不必要條件C必 要而不充分條件D 既不充分也不必要條件 考點(diǎn) ：充要條件專題 ：簡(jiǎn)易邏輯分析：解 “（ x+2）< 0”，求出其充要條件，再和 x>1 比較，從而求出答案解答：解：由“（ x+2）< 0”得： x+2 > 1，解得： x> 1，故 “x> 1”是“（x+2）< 0”的充分不必要條件，故選： B 點(diǎn)評(píng)：本題考察了充分必要條件，考察對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題5（5

4、 分）（2015?重慶）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD考點(diǎn) ：由三視圖求面積、體積專題 ：空間位置關(guān)系與距離分析：判斷三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可解答：解 ：由三視圖可知， 幾何體是組合體， 左側(cè)是三棱錐， 底面是等腰三角形， 腰長(zhǎng)為 ， 高為 1，一個(gè)側(cè)面與底面垂直，并且垂直底面三角形的斜邊，右側(cè)是半圓柱，底面半徑為 1，高為 2，所求幾何體的體積為：故選： A 點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，組合體的體積的求法，判斷幾何體的形狀是解題的 關(guān)鍵與 的夾角為（ABCD考點(diǎn)： 專題 ： 分析：數(shù) 量積表示兩個(gè)向量的夾角平 面向量及

5、應(yīng)用根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可解答：解： （ ） （3 +2 ）， （ ）?（3 +2 ） =0，即 3 2 2 2 ? =0，即 ? =3 2 2 2=2， cos< ， > =即< ， >故選： A點(diǎn)評(píng)：本 題主要考查向量夾角的求解， 利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量垂直的等價(jià)條件是解 決本題的關(guān)鍵7（ 5分）（ 2015?重慶）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k 的值為 8，則判斷框圖可填入的條件是（ ）ABCsDs考點(diǎn) ：循 環(huán)結(jié)構(gòu)專題 ：圖表型；算法和程序框圖 分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k， S的值，當(dāng)S> 時(shí)，

6、退出循環(huán)，輸出 k 的值為 8，故判斷框圖可填入的條件是解答：點(diǎn)評(píng)：解 ：模擬執(zhí)行程序框圖， k 的值依次為 0， 2，因此 S= （此時(shí) k=6 ），因此可填： S S4，6，8，故選： C 本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖， 根據(jù)框圖的流程判斷程序運(yùn)行的 S 值是解題的 關(guān)鍵8（5 分）（ 2015 ?重慶）已知直線 l：x+ay1=0（aR）是圓 C：x2+y24x2y+1=0 的對(duì) 稱軸過(guò)點(diǎn) A （ 4， a）作圓 C 的一條切線，切點(diǎn)為 B ，則|AB|= （）A 2BC6D考點(diǎn) ：直線與圓的位置關(guān)系專題 ：直線與圓分析：求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay1=0 經(jīng)過(guò)

7、圓 C 的圓心（ 2，1），求得 a的值，可得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值解答：解：圓 C：x2+y24x2y+1=0，即（ x2）2+（y1）2 =4，表示以 C（2，1）為圓 心、半徑等于 2 的圓由題意可得，直線 l：x+ay 1=0經(jīng)過(guò)圓 C的圓心（ 2，1），故有 2+a1=0，a=1， 點(diǎn) A （ 4 ， 1）由于 AC= =2， CB=R=2 ， 切線的長(zhǎng) |AB|=6 ，故選： C 9（5 分）（ 2015 ?重慶）若 tan=2tan ，則A1B2=（C3D4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題考點(diǎn) ：三角函數(shù)的積化和差公

8、式；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值專題 ：三角函數(shù)的求值分析： 直接利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié) 合已知條件以及積化和差個(gè)數(shù)化簡(jiǎn)求解即可解答： 解： tan=2tan ，則=3故答案為： 3點(diǎn)評(píng)： 本 題考查兩角和與差的三角函數(shù)，積化和差以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力10（5 分）（ 2015?重慶）設(shè)雙曲線=1 （a> 0， b>0）的右焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A ，過(guò) F 作 AF 的垂線與雙曲線交于 B，C 兩點(diǎn)，過(guò) B，C 分別作 AC ， AB 的垂線，兩垂線交于點(diǎn) D 若 D 到直線 BC 的距離小于 a+ ，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范

9、圍是（）A（ 1，0）（0，B（，1）（1，C（ ，0）（0，D（， ）1）+） （ ， +）考點(diǎn) ：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題 ：計(jì)算題；創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：由雙曲線的對(duì)稱性知 D 在 x 軸上，設(shè) D（x，0），則由 BD AC 得解答：求出 cx，利用 D 到直線 BC 的距離小于a+ ，即可得出結(jié)論軸上，解：由題意， A （ a， 0），），由雙曲線的對(duì)稱性知 D 在 x設(shè) D（x， 0），則由 BDAC 得 c x=D到直線 BC 的距離小于 a+ ， c x=< a+，2 2 2 < c a =b ，點(diǎn)評(píng)： 0< < 1， 雙曲線的漸近線斜率

10、的取值范圍是（1，0）故選： A 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定0，1）D 到直線 BC 的距離是關(guān)鍵考點(diǎn) ：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模 專題 ：數(shù) 系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：解答：點(diǎn)評(píng)：12（5 分）（2015?重慶）的展開(kāi)式中 x8 的系數(shù)是用數(shù)字作答） 5 分，共 25 分 .把答案填寫在答題二、填空題：本大題共 3小題，考生作答 5 小題，每小題 卡相應(yīng)位置上 .11（5 分）（2015?重慶）設(shè)復(fù)數(shù) a+bi （a， bR）的模為，則（ a+bi）（ abi）= 3將 所求利用平方差公式展開(kāi)得到 a2+b2，恰好為已知復(fù)數(shù)的模的平方 解 ：因?yàn)閺?fù)數(shù) a+bi（ a，b

11、R）的模為，所以 a2+b2=3，則（ a+bi）（ a bi） =a2+b2=3；故答案為： 3本題考查了復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題考點(diǎn)： 專題 ： 分析：二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令 x 的冪指數(shù)等于 8，求得 r的值，即可求得展 開(kāi)式中的 x8 的系數(shù)解答：點(diǎn)評(píng)：解：由于的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1= ? ?令 15 =8， 求得 r=2，故開(kāi)式中 x8 的系數(shù)是本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，故答案為：?=，屬于基礎(chǔ)題AC=考點(diǎn) ：余 弦定理的應(yīng)用 專題 ：解 三角形 分析： 解答：利 用已知條件求出 A ，C ，然后利用正

12、弦定理求出 AC 即可解：由題意以及正弦定理可知：，即， ADB=45 °，13（5 分）（2015?重慶）在 ABC 中， B=120 °，AB= ，A 的角平分線 AD= ，則 A=30 °，則 C=30°，三角形 ABC 是等腰三角形，A=180 °120°45°，可得AC=2 = 故答案為： 點(diǎn)評(píng)：本 題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的解法，考查計(jì)算能力三、考生注意： （14）、（ 15）、（16）三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則 按前兩題給分14（5分）（2015?重慶）如題圖，圓 O的弦

13、AB ， CD相交于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) A作圓 O的切線P，若 PA=6，AE=9 ，PC=3，CE：ED=2 ：1，則 BE=與 DC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)考點(diǎn) ：與圓有關(guān)的比例線段專題 ：選作題；推理和證明分析：利用切割線定理計(jì)算 CE，利用相交弦定理求出 BE 即可 解答：解 ：設(shè) CE=2x ， ED=x ，則 過(guò)點(diǎn) A 作圓 O 的切線與 DC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P ，2 由切割線定理可得 PA2=PC?PD，即 36=3×（3+3x ）， x=3 ， 由相交弦定理可得 9BE=CE ?ED，即 9BE=6 ×3， BE=2 故答案為： 2點(diǎn)評(píng)：本 題考查切割線定理、相交弦定理

14、，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)15（5分）（2015?重慶）已知直線 l 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為，則直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 （2，） 考點(diǎn) ：簡(jiǎn) 單曲線的極坐標(biāo)方程；直線的參數(shù)方程專題 ：坐 標(biāo)系和參數(shù)方程 分析：求出直線以及曲線的直角坐標(biāo)方程，然后求解交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化我 2 極坐標(biāo)即可 解答：解：直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），它的直角坐標(biāo)方程為： x y+2=0 ；曲線 C 的極坐標(biāo)方程為，可得它的直角坐標(biāo)方程為： x2 y2=4 ，x< 0由 ，可得 x= 2， y=0 ，交點(diǎn)坐

15、標(biāo)為（ 2， 0）， 它的極坐標(biāo)為（ 2， ）故答案為： （ 2，） 點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的極坐標(biāo)方程直線的參數(shù)方程與普通方程的互化，基本知識(shí)的考查16（2015?重慶）若函數(shù) f （ x）=|x+1|+2|x a|的最小值為 5，則實(shí)數(shù) a= 6或 4考點(diǎn) ：帶 絕對(duì)值的函數(shù)專題 ：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：分類討論 a 與 1的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)函數(shù) f（x）的解析式，利用單調(diào)性求得f（x）的最小值，再根據(jù) f（x）的最小值等于 5，求得 a 的值解答：解：函數(shù) f（ x）=|x+1|+2|x a|，故當(dāng) a<1 時(shí)，f（x）=，根據(jù)它的最小值為 f（ a）=3a+2a1=5，求得

16、a=6 當(dāng) a= 1時(shí)， f（x）=3|x+1|，它的最小值為 0，不滿足條件 當(dāng) a1 時(shí)， f（x） =，根據(jù)它的最小值為 f（ a） =a+1=5 ，求得 a=4 綜上可得， a= 6 或 a=4， 故答案為： 6 或 4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)由絕對(duì)值的函數(shù)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論 的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題四、解答題：本大題共 6 小題，共 75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17（13 分）（ 2015?重慶）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10 個(gè)粽子，其中豆沙粽 2個(gè)，肉粽 3 個(gè)，白粽 5 個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個(gè)

17、 （ ）求三種粽子各取到 1 個(gè)的概率；（ ）設(shè) X 表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望分析：（ ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；專題 ：概 率與統(tǒng)計(jì)解答：考點(diǎn) ：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式 ）隨機(jī)變量 X 的取值為： 0，1，2，別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望解：（）令 A表示事件 “三種粽子各取到 1個(gè)”，則 P（X=0 ）= ，P（ X=1）=則由古典概型的概率公式有 ）隨機(jī)變量 X 的取值為：=X=2）X01PEX=0 × +1× +2 × = 個(gè)求出對(duì)應(yīng)的概率是解決本題的點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變

18、量的分布列和期望的計(jì)算， 關(guān)鍵18（ 13 分）（ 2015?重慶）已知函數(shù) f（ x ）=sin （ x） sinx x（ ）求 f（x）的最小正周期和最大值；（ ）討論 f（x）在上的單調(diào)性考點(diǎn) ：二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性 專題 ：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（ ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值 求得 f（ x）的最小正周期和最大值（ ）根據(jù) 2x 0 ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性， 分類討論求得 （f x）在 上的單調(diào)性解答：解：（）函數(shù) f（x）=sin（ x）sinxx=cosxsinx 1+cos2x )= sin2

19、x點(diǎn)評(píng)： sin2x 故函數(shù)的周期為=sin（2x=，最大值為 1 ，（）當(dāng) x時(shí)，2x時(shí)， f（ x）為增函數(shù)；本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中 檔題0， ，故當(dāng) 02x時(shí)，即 x ，2x時(shí)，即 x時(shí)， f（ x）為減函數(shù)19（13 分）（2015?重慶）如題圖，三棱錐 PABC 中，PC平面 ABC ，PC=3，ACB= D， E 分別為線段 AB ，BC 上的點(diǎn)，且 CD=DE=，CE=2EB=2 （ ）證明： DE平面 PCD（ ）求二面角 APDC 的余弦值考點(diǎn) ：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定專題 ：空 間角分析：（ ）由已知條

20、件易得 PCDE，CDDE，由線面垂直的判定定理可得；（ ）以C為原點(diǎn)，分別以 ， ， 的方向?yàn)?xyz 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo) 系，易得 ， ， 的坐標(biāo)，可求平面 PAD的法向量 ，平面 PCD的法向量 可取 ，由向量的夾角公式可得解答：（ ）證明： PC平面 ABC ，DE?平面 ABC，PCDE， CE=2，CD=DE=， CDE 為等腰直角三角形，CDDE，PCCD=C ，DE 垂直于平面 PCD 內(nèi)的兩條相交直線， DE 平面 PCD（）由（）知CDE 為等腰直角三角形， DCE= ，過(guò)點(diǎn) D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DF=FC=FE=1 ，又由已知 EB=1 ，故

21、FB=2， 由 ACB= 得 DFAC ，故 AC= DF= ，以 C 為原點(diǎn)，分別以， ， 的方向?yàn)?xyz 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 C（0， 0，0）， P（0，0，3），A，0，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0）， =（1， 1，0）， =（1， 1，3）， =（， 1，0），設(shè)平面 PAD 的法向量x，y，z），由故可取 =（ 2， 1，1），由（ ）知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量可取 =（1， 1，0）， 兩法向量夾角的余弦值面角 APDC的余弦值為點(diǎn)評(píng)：本 題考查二面角，涉及直線與平面垂直的判定，建系化歸為平面法向量的夾角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬難題

22、20（12 分）（ 2015?重慶）設(shè)函數(shù) f（x）aR)（）若 f（x）在 x=0 處取得極值，確定 a 的值，并求此時(shí)曲線 y=f （ x）在點(diǎn)（ 1，f（1） 處的切線方程；（）若 f（x）在 3 ， +）上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍考點(diǎn) ：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 專題 ：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（ I）f（ x） =，由 f（x）在 x=0 處取得極值，可得 f（0）=0，解得 a可得 f（1），f（1），即可得出曲線 y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f（1）處的切線方程；II）解法由（ I）可得： f（x）=，令 g（x）=3x2+（6 a） x+a，由 g（

23、x） =0，解得 x1=x2=對(duì) x 分類討論：當(dāng) x<x1時(shí)；當(dāng) x1<x<x2 時(shí)；當(dāng) x>x2 時(shí)由f（x）在 3，+）上為減函數(shù)，可知： x2=3，解得即可解法二： “分離參數(shù)法 ”：由 f（ x）在 3，a在 3，+）上恒成立令 u（ x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大=，+）上為減函數(shù)，可得 f（x） 0，可得，值即可解答：解：（I）f（x） f（x）在 x=0 處取得極值， f （ 0） =0，解得 a=0， f（ x）當(dāng) a=0 時(shí)， f（1）= ，f（1）= ，曲線 y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f（1）處的切線方程為，化為： 3x ey=0；II）解法一：由（

24、I ）可得： f（x），令 g（ x）= 3x2+（ 6 a) x+a ，由 g（ x） =0，解得 x1=，x2=當(dāng) x<x1時(shí)，g（x）< 0，即 f（ x）< 0，此時(shí)函數(shù) f （ x）為減函數(shù)； 當(dāng) x1<x<x2時(shí)， g（x）> 0，即 f（x）> 0，此時(shí)函數(shù) f （x）為增函數(shù)； 當(dāng) x>x2時(shí)，g（x）< 0，即 f（ x）< 0，此時(shí)函數(shù) f （ x）為減函數(shù)由 f（x）在 3 ， + ）上為減函數(shù)，可知：x2=23，解得 a 因此 a 的取值范圍為：解法二：由 f（ x）在3 ， +）上為減函數(shù)， f（ x）0，可

25、得 a，在 3， +）上恒成立令 u（ x）u（x）<0， u（ x）在 3， +）上單調(diào)遞減， au（3） = 因此 a 的取值范圍為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、 “分離參數(shù)法 ”、推理能力與計(jì)算能力，屬 于難題21（12 分）（2015?重慶）如題圖，橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，過(guò) F2的直線交橢圓于 P，Q 兩點(diǎn)，且 PQPF1（ ）若 |PF1|=2+|=2 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；考點(diǎn) ：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題 ：創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（ ）由橢圓的定義， 2a=|PF1|+|PF2|，求出 a，再根據(jù)2c=|F 1F2|=2 ，求出 c，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ ）由橢圓的定義和勾股定理，得 |QF1|= |PF1|=4a|PF1|，解得 |PF1|=2（ 2 ） a，從而 |PF2|=2a |PF1|=2（ 1） a，再一次根據(jù)勾股定理可求出離心率解答：解：（ ）由橢圓的定義， 2a=|PF1|+|PF2|=2+ +2 =4，故 a=2，設(shè)橢圓的半焦距為 c，由已知 PF2 PF1，因此 2c=|F1F2|=2 ，即 c= ，從而 b=1 ，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ ）