1、14.2 導數的應用知識梳理1.函數的單調性（1）設函數y=f（x）在某個區間內可導,若f（x）0,則f（x）為增函數;若f（x）0,則f（x）為減 函數.（2）求可導函數單調區間的一般步驟和方法.確定函數f（x）的定義區間.求f（x）,令f（x）=0,解此方程,求出它在定義區間內的一切實根.把函數f（x）的間斷點即包括f（x）的無定義點的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數f（x）的定義區間分成若干個小區間.確定f（x）在各小開區間內的符號,根據f（x）的符號判定函數f（x）在每個相應小開區間內的增減性.2.可導函數的極值（1）極值的概念設函數f（x）在點x 0附

2、近有定義,且若對x0附近所有的點都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）,則稱f（x0）為函數的一個極大（小）值,稱x0為極大（小）值點.（2）求可導函數f（x）極值的步驟.求導數f（x）.求方程f（x）=0的根.檢驗f（x）在方程f（x）=0的根的左右的符號,如果在根的左側附近為正,右側附近為負,那么函數y=f（x）在這個根處取得極大值;如果在根的左側附近為負,右側附近為正,那么函數y=f（x）在這個根處取得極小值.3.函數的最大值與最小值（1）設y=f（x）是定義在區間a,b上的函數,y=f（x）在（a,b）內有導數,求函數y=f（x）在a,b上的最大值與最小值,可分兩步進行.求y=f

3、（x）在（a,b）內的極值.將y=f（x）在各極值點的極值與f（a）、f（b）比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.（2）若函數f（x）在a,b上單調增加,則f（a）為函數的最小值,f（b）為函數的最大值;若函數f（a）在a,b上單調遞減,則f（a）為函數的最大值,f（b）為函數的最小值.特別提示我們把使導函數f（x）取值為0的點稱為函數f（x）的駐點,那么（1）可導函數的極值點一定是它的駐點,注意這句話中的“可導”兩字是必不可少的.例如函數y=|x|在點x=0處有極小值f（0）=0,可是我們在前面已說明過,f（0）根本不存在,所以點x=0不是f（x）的駐點.（2）可導函數的駐點可

4、能是極值點,也可能不是極值點.例如函數f（x）=x3的導數是 f（x）=3x2,在點x=0處有f（0）=0,即點x=0是f（x）=x3的駐點,但從f（x）在（, +）上為增函數可知,點x=0不是f（x）的極值點.點擊雙基1.函數y=xsinx+cosx在下面哪個區間內是增函數A.（,） B.（,2）C.（, ） D.（2,3）解析：y=（xsinx+cosx）=sinx+xcosxsinx=xcosx,當x（,）時,恒有xcosx0.答案：C2.函數y=1+3xx3有A.極小值2,極大值2B.極小值2,極大值3C.極小值1,極大值1D.極小值1,極大值3解析：y=33x2=3（1+x）（1x）

5、.令y=0得x1=1,x2=1.當x1時,y0,函數y=1+3xx3是減函數;當1x1時, y0,函數y=1+3xx3是增函數;當x1時,y0,函數y=1+3xx3是減函數.當x=1時,函數y=1+3xx3有極小值1;當x=1時,函數y=1+3xx3有極大值3.答案：D3.設f（x）在（a,b）內有定義，x0（a,b），當xx0時，f（x）0;當xx0時，f（x）0.則x0是A.間斷點 B.極小值點C.極大值點 D.不一定是極值點解析:f（x）在x0處不一定連續.答案:D4.函數f（x）=xx在（，）上的單調性是_.解析:f（x）=exex=ex（e2x1）,當x（0,+）時，f（x）0.f（

6、x）在（0，+）上是增函數.答案:增函數5.若函數f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調遞增函數，則m的取值范圍是_.解析:f（x）=3x2+2x+m.f（x）在R上是單調遞增函數,f（x）0在R上恒成立，即3x2+2x+m0.由=44×3m0,得m.答案:m典例剖析【例1】 求函數y=的值域.剖析:求函數值域是中學數學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質來求解，也可以利用函數的單調性求出值域.本題形式結構復雜，可采用求導的方法求解.解:函數的定義域由求得x2.求導得y=.由y0得2,即解得x2,即函數y=在（2,+）上是增函數.又此函數在x=2處連續,在2,+）上是增

7、函數，而f（2）=1.函數y=的值域是1,+）.評述:函數y=f（x）在（a,b）上為單調函數，當在a,b上連續時，y=f（x）在a,b上也是單調函數.【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=±1時取得極值，且f（1）=1,（1）試求常數a、b、c的值；（2）試判斷x=±1是函數的極大值還是極小值，并說明理由.剖析:考查函數f（x）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f（x）=0的根建立起由極值點x=±1所確定的相關等式，運用待定系數法確定a、b、c的值.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+

8、c,x=±1是函數的極值點,x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數的關系知又f（1）=1,a+b+c=1.             由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.當x1或x1時,f（x）0;當1x1時，f（x）0.x=1時，f（x）有極大值

9、；x=1時,f（x）有極小值.【例3】 已知函數f（x）=2ax,x（0,1.（1）若f（x）在x（0,1上是增函數，求a的取值范圍；（2）求f（x）在區間（0,1上的最大值.剖析:（1）要使f（x）在（0,1上為增函數，需f（x）0,x（0,1）.（2）利用函數的單調性求最大值.解:（1）由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函數，f（x）0,即a, x（0,1.a1.當a=1時，f（x）=2+對x（0,1）也有f（x）0，滿足f（x）在（0,1上為增函數，a1.（2）由（1）知,當a1時,f（x）在（0,1上為增函數,f（x）max=f（1）=2a1.當a1時，令f（x）=

10、0得x=,01,0x時,f（x）0; x1時，f（x）0.f（x）在（0, ）上是增函數，在（,1減函數.f（x）max=f （）=3.評述:求參數的取值范圍，凡涉及函數的單調性、最值問題時，用導數的知識解決較簡單.深化拓展（1）也可用函數單調性的定義求解.思考討論函數f（x）在區間D上的極值與最值有什么了解？闖關訓練夯實基礎1.下列各式正確的是A.xsinx （x0）B.sinxx （x0）C.xsinx （0x）D.以上各式都不對解析：令F（x）=xsinx,則F（x）=1cosx0（當x0,x2n,n=1,2,）.故F（x）在x0時單調遞增.因此當x0時,有F（x）F（0）=0.答案：B

11、2.函數f（x）=sin（3x）在點（,）處的切線方程是A.3x+2y+=0B.3x2y+=0C.3x2y=0D.3x+2y=0解析:因為f（x）=3cos（3x）,所以所求切線的斜率為f（）=,切線方程為y= （x）,即3x2y+=0.答案:B3.函數y=2x（x0）的最大值為_.解析:y=2,當0x時，y0,y=2x在（0,）上為增函數.當x時，y0,y=2x在（,+）上是減函數.y=2x在（0,+）上的最大值為=.答案:4如果函數y=f（x）的導函數的圖象如下圖所示,給出下列判斷:函數y=f（x）在區間（3,）內單調遞增;函數y=f（x）在區間（,3）內單調遞減;函數y=f（x）在區間（

12、4,5）內單調遞增;當x=2時,函數y=f（x）有極小值;當x=時,函數y=f（x）有極大值.則上述判斷中正確的是_解析:當x（4,5）時,恒有f（x）0.答案:5.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若對x,4時，f（x）c恒成立，求c的取值范圍.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1與x=處取得極值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分別為1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.當x,時，f（x）0;當x,4時，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的極小值.又只

13、有一個極小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范圍為c3ln2.6.已知aR，求函數f（x）=x2eax的單調區間.解:f（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.當a=0時，若x0，則f（x）0，若x0,則f（x）0.所以當a=0時，函數f（x）在區間（,0）內為減函數，在區間（0，+）內為增 函數.當a0時，由2x+ax20，解得x或x0;由2x+ax20,得x0.所以當a0時，函數f（x）在區間（，）內為增函數，在區間（,0）內為減函數，在區間（0，+）內為增函數.當a0時，由2x+ax20，得0x.由2x+ax20

14、，得x0或x.所以當a0時，函數f（x）在區間（,0）內為減函數，在區間（0，）內為增函數，在區間（,+）內為減函數.培養能力7.已知xR,求證：exx+1.證明:設f（x）=exx1,則f（x）=ex1.當x=0時，f（x）=0,f（x）=0.當x0時，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函數.f（x）f（0）=0.當x0時，f（x）0,f（x）在（,0）上是減函數，f（x）f（0）=0.對xR都有f（x）0.exx+1.8.（2004年全國，文21）若函數f（x）=x3ax2+（a1）x+1在區間（1,4）內為減函數，在區間（6，）上為增函數，試求實數a的取值范圍.解:函數f（x）的導數

15、f（x）=x2ax+a1.令f（x）=0,解得x=1或x=a1.當a11，即a2時，函數f（x）在（1,+）上為增函數，不合題意.當a11,即a2時，函數f（x）在（,1）上為增函數，在（1,a1）內為減函數，在（a1,+）上為增函數.依題意應有當x（1,4）時，f（x）0,當x（6,+）時，f（x）0.所以4a16,解得5a7.所以a的取值范圍是5,7.探究創新9.已知函數f（x）的圖象與函數h（x）=x+2的圖象關于點A（0，1）對稱.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區間（0，2上為減函數，求實數a的取值范圍.解:（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x,

16、y），點（x,y）關于點A（0，1）的對稱點（x,2y）在h（x）圖象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上遞減，10在x（0,2時恒成立,即ax21在x（0,2）時恒成立.x（0,2時，（x21） max=3,a3.思悟小結1.函數單調性的充分條件，若f（x）0（或0），則f（x）為增函數（或減函數）.2.函數單調性的必要條件，設f（x）在（a,b）內可導，若f（x）在（a,b）上單調遞增（或遞減），則f（x）0（或f（x）0）且f（x）在（a,b）的任意子區間上都不恒為零.3.可以用單調性求函數的極值、最值.教師下載中心教學點睛利用導數解有關函數的單調性、極值、最值的問題是本節的主要題型，也是高考考查的重點，復習時應引起足夠的重視.解單調性的題目時要注意判斷端點能否取到，用導數求單調函數的最值時要注意由極值到最值的過渡.拓展題例【例題】 設函數y=f（x）=ax3+bx2+cx+d圖象與y軸的交點為P,且曲線在P點處的切線方程為24x+y12=0,若函數在x=2處取得極值16,試求函數解析式,并確定函數的單調遞減區間.錯因點評：有的同學不知道P點處的斜率為y|,即y|x=0為已知切線方程的斜率 24.又當x=2時有極值,且極值為16,找不到與a、b、c、