1、摘 要相比于其他具有傳統(tǒng)偏振模式的光束，徑向偏振光擁有更為優(yōu)秀的軸向中心對稱性(這種特征在傳輸過程中保持不變)。人們投向徑向偏振光的關(guān)注越來越多。徑向偏振光在高數(shù)值孔徑條件下的聚焦特性在納微級制造、操控中得到很多且正變得越來越多的應用。在這篇論文中，我們首先試圖理清徑向偏振光的數(shù)學理論基礎(chǔ)，仔細地闡述徑向偏振光的光束特性和緊聚焦特性，并展示一些徑向偏振光在緊聚焦條件下的示意圖。接著，我們介紹了利用兩束偏振正交的線性偏正高斯光束產(chǎn)生徑向偏振光的方法；總結(jié)了理想的徑向偏振光與通過二元衍射光學器件產(chǎn)生的徑向偏振光間的吻合度，以及該吻合度與傳輸距離的關(guān)系。作為補充，其他一些產(chǎn)生徑向偏振光的方式也被介紹

2、出來。緊接著，一項基于徑向偏振光緊聚焦特性，被運用于微粒子操縱的應用技術(shù)（我們稱之為三維光學鏈操縱技術(shù)）被展示出來。為此，我們設計了一個光學衍射器件來調(diào)制徑向偏振輸入光的位相。在緊聚焦情況下，一個光學鏈能產(chǎn)生的原因是光束通過光學衍射器上兩個同軸區(qū)域時產(chǎn)生的位相變化，這樣的位相變化使得聚焦場附近的空間中產(chǎn)生明暗交替的光場。最后，我們論述了另外一些將徑向偏振特性轉(zhuǎn)化到實際運用中的方法。關(guān)鍵字：徑向偏振 軸對稱 高數(shù)值孔徑聚焦 相干疊加 三維光學鏈AbstractCompared with other uniformly polarized beams , the radially polarize

3、d beam performs perfect spatial axial symmetry and this special character kept when it transmits in free-space .This peculiarity gives rise to unique high-numberical-aperture focusing properties which has found important applications in nanoscale manufacture and manipulation . In this paper , we fir

4、st overview those introductions we talked above .In the same time ,We also try to explain the mathematical concepts of radially polarized beam ; show some simple images of its focus properties .Then , we present a theoretical investigation of a technique for converting two orthogonally lineary polar

5、ized Gaussian beams into a radially polarized beam .We have shown the degree between the real radially polarized beam and the beam we created by a simple binary diffractive optical element ，further more，we show the results about how the transmission-distance influences the degree .By the way , we al

6、so talk about some other ways for generating radially polarized beam .After that , an application based on the focus property of radially polarized beam ,which we called optical chain ,used in particle-manipulation is shown . A diffractive optical element is designed to spatially modulate the phase

7、of an incoming radially polarized Beam .For a tightly focused beam a three-dimensional optical chain can be formed because of the difference in the Gouy phase shift from two concentric regions of the diffractive optical element. At last , we present a lot about how those characters of radially polar

8、ized beam can be transformed into real applications.Key Words : Radially polarized Axial symmetry High-NA focusing properties Coherent superposition Three-dimensional optical chain目 錄摘 要IAbstractII1 前 言12 徑向偏振光的數(shù)學基礎(chǔ)和特性研究22.1 徑向偏振光的數(shù)學基礎(chǔ)22.2 徑向偏振光的緊聚焦特性33 徑向偏振光的產(chǎn)生73.1 腔外相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光73.2 利用圓形布魯斯特棱鏡產(chǎn)生的徑向

9、偏振光113.3 利用亞波長光柵產(chǎn)生徑向偏振光154 徑向偏振光的應用174.1 緊聚焦徑向偏振光產(chǎn)生三維光學鏈捕捉金屬粒子174.2 徑向偏振光在激光切割中的應用224.3 徑向偏振光的其他應用265 總結(jié)29致 謝30參考文獻31IV1 前 言電磁場是物質(zhì)的一種存在形式，它有特定的運動規(guī)律和物質(zhì)屬性，它能夠與某些物質(zhì)以一定方式相互作用。與一般實物相比，場的存在形式有所不同。一般實物局限在一定的空間區(qū)域，而場則彌漫在空間中。從光與物質(zhì)的相互作用來看，光波中電場和磁場的重要性并不相同。對物質(zhì)的帶電粒子，光波電場的作用遠遠大于光波磁場的作用。所以，在光學中通常把電矢量稱為光矢量，把光矢量振動方向

10、稱為光振動。光波的電矢量與傳播方向垂直。光矢量方向不變、或光矢量方向有規(guī)律地變化的光波稱為偏振光。在所有光波的特性中，偏振性是其中較為重要的一個。這種自然的矢量特性以及內(nèi)在稟賦使得許多光學設備和光學系統(tǒng)的設計和實現(xiàn)成為可能。傳播中的偏振特性及其與物質(zhì)的相互作用已經(jīng)被廣泛地研究并應用于光學測量及檢測、演示技術(shù)、數(shù)據(jù)存儲、光通信、材料科學、天文學乃至生物學的研究當中1。在過去，許多的研究都只涉及到空間均勻分布的偏振模式（SOP,即指觀察點的偏振態(tài)與觀察點在光束截面的位置無關(guān)），例如線性偏振、橢圓偏振、圓偏振。在這些研究中，SOP的分布并不依賴于光束橫截面上的空間位置。近來，這些研究漸漸深入到具有空

11、間變化性的SOP。通過對SOP進行適當而精微的操控，人們預期得到更多可以用以提高光學系統(tǒng)分析能力的效應和現(xiàn)象。在這其中，有獨特性質(zhì)的柱矢量偏振光也出現(xiàn)在了研究之中（柱矢量偏振光更為特殊的偏振光-徑向偏振光，是最引人矚目的一個）。新的研究表明，徑向偏振光（電矢量沿著光斑徑向，具有軸向中心對稱性的偏振光）在物理及材料加工方面有著不可替代的優(yōu)勢。在本篇論文中，我們將簡單地闡述徑向偏振光的數(shù)學表達和模擬結(jié)果，并介紹一些關(guān)于徑向偏振光聚焦特性、產(chǎn)生方法、實際應用的計算機模擬結(jié)果。在第二節(jié)，我們首先概述了在數(shù)學上給出徑向偏振光的表達的過程。接著我們梳理了徑向偏振光軸向中心對稱性以及它在聚焦平面上的光斑屬性

12、(對這些特性我們一一地給出了介紹和模擬結(jié)果)。產(chǎn)生徑向偏振光的方法有很多，在第三節(jié)我們選擇了其中的一種腔外相干疊加法作為示例。我們集中展示了這種方法的理論基礎(chǔ)、理論上的模擬以及在計算機上對實驗結(jié)果的模擬，同時也對模擬結(jié)果和理論結(jié)果做出對比。然后，作為補充，我們介紹了另外一些產(chǎn)生徑向偏振光的方法及其實驗裝置。類似于對徑向偏振光產(chǎn)生方法的介紹，我們在第四節(jié)介紹徑向偏振光的應用時選擇了諸多應用中的一個捕捉和操控粒子的光學鏈作為示例。同樣的，我們介紹了其理論基礎(chǔ)、理論結(jié)果的模擬、實驗的模擬。在此節(jié)的最后，我們介紹了具有徑向偏振特性的激光光束在材料切割應用中對切割效率和效果的影響，并介紹了其他徑向偏振光

13、的應用。2 徑向偏振光的數(shù)學基礎(chǔ)和特性研究2.1 徑向偏振光的數(shù)學基礎(chǔ) 我們在前言中提到，徑向偏振光實際上是柱矢量偏振光中的一種較為特殊情況。設電場中任一點的電矢量相對于矢徑方向的旋角為，則電場強度可以表示為15： （1.1）其中，分別是徑向和角向的單位矢量。當時，（1.1）式表述的便是徑向偏振光的電場分布。 柱矢量偏振光是振幅和相位都服從沿軸向中心對稱分布的矢量光束的麥克斯韋方程的解1。在自由空間中，基本高斯光束解為： （1.2）如果我們考慮電場矢量波動方程： （1.3）那么一個電場方向沿著徑向的近軸軸對稱矢量光束的表述式為： （1.4）其中滿足以下旁軸慢包絡近似： （1.5）解（1.3）、

14、（1.4）、（1.5）式得到徑向貝塞爾-高斯偏振光表述為 （1.6）圖1-1 徑向偏振光偏振示意圖2.2 徑向偏振光的緊聚焦特性在高數(shù)值孔徑條件下徑向偏振光聚焦光斑中的總能量中占支配地位的縱向部分通過控制整個的場分布并決定著聚焦光斑的尺寸(隨著數(shù)值孔徑的增大，光場縱向分量比重加大)。通過選擇合適的透鏡數(shù)值孔徑調(diào)整焦點附近縱向分量和徑向分量比例，我們可以得到一個平頂光束。另外，通過設置中心圓域內(nèi)透過率為0（過濾軸上光束）的衍射器件進一步加強縱向分量，人們可以得到更小的聚焦光斑。一個接近0.1612的光斑已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了14。綜合地對比各種數(shù)值孔徑下，徑向偏振光的聚焦特性與其他偏振光聚焦特性的研究已經(jīng)

15、被逐步地給出來了。2.2.1 用電偶極子輻射理論解釋徑向偏振光的緊聚焦特性7我們考慮一個放置在高數(shù)值孔徑聚集透鏡焦點處的電偶極子，如圖2-1所示：圖2-1 電偶極子輻射徑向偏振光示意圖電偶極子沿著透鏡光軸方向振蕩。圖中，電偶極子輻射出的與旋角有關(guān)的振蕩電場方向也被表示出來了。高數(shù)值孔徑透鏡一方面收集下半空間的電偶極子的輻射電場，另一方面它使得電偶極子的輻射電場匯聚在上半空間時同一時刻的偏振都處在同一平面上。在圖2-1中，我們看到透鏡出瞳處的電場偏振方向與矢徑方向一致（也即徑向偏振光）。如果我們顛倒光束的傳播方向，以一個處于入瞳平面上的徑向偏振電場為入射場，同樣地使用一個高數(shù)值孔徑的聚焦透鏡，則

16、在上半空間同一時刻處于同一平面上的電場偏振就會被高數(shù)值孔徑聚焦透鏡聚焦到同一個點上，在焦點處我們將可以得到一個近似于振蕩電偶極子的電場分布。我們認為電偶極子輻射理論可以近似地解釋徑向偏振光聚焦場附近縱向分量之所以強于其他分量的原因。2.2.2 緊聚焦下的徑向偏振光圖2-2展示了緊聚焦徑向偏振光的系統(tǒng)組成。入射光可以有很多種不同的電場分布和偏振方向。在這里，我們假設光闌0波前入射為一個平面波，經(jīng)過等光程透鏡的匯聚，形成一個如球面1所演示的球面波（球面1被假定為光學系統(tǒng)的出瞳）：圖2-2 緊聚焦徑向偏振系統(tǒng)組成示意圖。光闌0與球面1共軸圖2.2中，是與光軸垂直的單位矢量，在笛卡爾坐標系中可以表示為

17、： (2.1)是入射光的波矢量，是偏振方向與矢徑方向的夾角。由K.S.Youngworth和T.G.Brown的工作我們可以知道徑向偏振光聚焦平面附近的聚焦場徑向分量、縱向分量和角向分量（入射光是徑向偏振光時角向分量為0）分別表述為： （2.2） （2.3） （2.4）其中r為聚焦平面上觀察點與聚焦中心的距離，z為光軸上觀察點與聚焦中心的距離，與最大數(shù)值孔徑角相對應，是一個切趾函數(shù)。原則上，我們可以選擇任意切趾函數(shù)。在這篇論文中我們選擇的是一個簡單的圓環(huán)域切趾函數(shù)： （2.5）透鏡的最大數(shù)值孔徑為0.8，它的長度被規(guī)范為單位波長，也即=1。圖2-4展示了聚焦中心附近的兩個一維強度分布。橫向分量

18、強度是角向分量強度和徑向分量強度的總和。在緊聚焦徑向偏振光時，角向分量消失，只留下徑向分量和縱向分量，根據(jù)觀測，縱向分量強度比橫向分量強度大。另外，縱向分量強度的寬度近似等于總強度寬度的一半。在圖2-3(a)、(b)、(c)中，我們分別展示了縱向分量、橫向分量、總場的二維強度分布。如果我們可以找到一個物理機制來消除聚焦平面上的橫向分量而僅僅留下縱向分量，那么光學系統(tǒng)的分辨率就可以得到提高。2.2.3緊聚焦條件下由一個廣義柱矢量偏振光獲得平頂光束3我們注意到，焦平面上的徑向和角向偏振分量強度類似于中心有暗斑的圓環(huán)。兩個分量的圓環(huán)的尺寸相近。縱向偏振分量在中心有一個明亮尖銳的頂峰，而這個明亮頂峰的

19、尺寸和圓環(huán)中心暗斑的尺寸相近。這些觀察表明，我們可以通過控制1.1式中的角來調(diào)整圓環(huán)域和亮斑域的比重獲得一個平頂域。聚焦透鏡的最大數(shù)值孔徑NA=0.8時，我們在=24.19找到了一個平頂?shù)木劢构馐＿@種通過高數(shù)值孔徑的聚焦得到平頂光束的方法是其他傳統(tǒng)光束通過整形技術(shù)或者衍射器件難以獲得的。不僅如此，傳統(tǒng)光束整形技術(shù)對于輸入光的特性也有很多要求。如果輸入光束并不能滿足整形條件，則需要重新設計和重組光學器件。而高數(shù)值孔徑條件下的柱矢量偏振光聚焦卻提供了更多的靈活性和可變性。圖2-5展示了我們所獲得的平頂光束的場分布狀況。2.2.4徑向偏振光的其他特性與此同時，我們對比了該平頂光束與高斯光束的焦深1

20、2。焦深本來是普通光學成像的一個概念,是描述成像系統(tǒng)的像質(zhì)在焦面附近沿軸向變化的一個參數(shù)。對此已經(jīng)有明確的分析和定義,其對激光成像也完全適用而對于激光光束，人們更關(guān)注的是光腰附近的能量和光斑尺寸的變化情況，故不能直接引用焦深在成像系統(tǒng)中的定義。以往對于激光光束的焦深一般選用兩種定義：一類是基于光斑尺寸在光腰附近的變化來定義；另一類是基于光斑中心的能量在光腰附近沿軸向的變化來定義13。在這里我們，我們定義光斑半徑為總場最大值下降到1/e處到軸上的距離，并將焦深定義為光斑尺寸增大到束腰尺寸的倍時該點到束腰的距離。并得到平頂光束的焦深約為1.43，而高斯光束的焦深為0.8。在另一種情況下，我們定義焦

21、深為軸上光強下降到原點光強的1/e處到原點的距離。此時，平頂光束的焦深為1.35，高斯光束的焦深為0.76。這說明，在同一空間傳播時，平頂光束的發(fā)散角比高斯光束的發(fā)散角小，也即平頂光束的傳輸質(zhì)量比高斯光束好。由于徑向偏振光的偏振態(tài)分布是沿軸向中心對稱的，經(jīng)透鏡折射后，不同傳播方向的光線間縱向分量相位相同；橫向分量相位不同步。聚焦后在焦點附近的縱向分量呈現(xiàn)出圓點狀分布，光斑直徑較小；橫向分量呈現(xiàn)出空心環(huán)狀分布，光斑直徑較大。所以當聚焦數(shù)值孔徑增大時，徑向偏振光的聚焦光斑直徑能夠迅速減小。線偏振光聚焦狀況正好相反，光場不同空間位置的縱向分量相位相反，縱向分量的聚焦光斑在沿入射光偏振方向上呈現(xiàn)兩瓣對

22、稱分布，使得大數(shù)值孔徑下聚焦光場呈橢圓形。由上述內(nèi)容可知，徑向偏振光聚焦時，隨著折射光線與光軸之間最大角的增大，聚焦光斑的直徑迅速減小。這說明經(jīng)折射光線與光軸夾角較大的部分在焦點處能得到直徑較小的光斑。如果我們將入射光對應的折射角度一點點地減小，將處于光束中心部分的光線去除，只留下折射角度較大的處于邊緣處的部分光線，我們就能夠得到更小尺寸的光斑14。 （a） (b) (c)圖2-3 徑向偏振光聚焦光場附近的強度分布。（a）縱向分量分布（b）橫向分量分布(c)總場圖2-4 徑向偏振光在聚焦平面上的場強度分布圖2-5 左圖為平頂光束的二維場分布;右圖為一維場分布3 徑向偏振光的產(chǎn)生隨著徑向偏振光在

23、越來越多的領(lǐng)域中發(fā)揮重要的作用，人們不斷地嘗試和實驗，采用了各種不同的方法產(chǎn)生徑向偏振光。這些方法大致可以分為兩類，一類是在激光諧振腔內(nèi)利用具有選擇特性的光學器件激發(fā)和過濾出線性偏振的模式，使得它們在腔內(nèi)不斷震蕩和相干疊加從而得到徑向偏振光。由于選擇線性偏振的效率很低，所以這種方法得到的激光輸出功率也就很小。第二種方法在激光腔外利用多種具有細微結(jié)構(gòu)的光學器件對激光輸出進行篩選或者調(diào)制使得盡可能多的輸出轉(zhuǎn)換為線性偏振光，使這些線性偏振光發(fā)生相干疊加就有可能得到徑向偏振光的輸出。在下面的論述中，我們重點介紹了在腔外利用正交線偏振的TEM01模和TEM10模高斯光束相干疊加得到徑向偏振光的數(shù)學基礎(chǔ)、

24、理論模擬結(jié)果以及實驗模擬結(jié)果。并簡略地介紹了利用亞波長光柵片以及腔內(nèi)布魯斯特棱鏡組產(chǎn)生徑向偏振光的原理和實驗裝置。3.1 腔外相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光4首先，從理論上對相干疊加TEM01與TEM10光束產(chǎn)生徑向偏振光進行可行性模擬研究；然后給出了實驗裝置與光路圖并對其進行分析，給出了模擬實驗結(jié)果，將理論結(jié)果和模擬結(jié)果進行了對比。3.1.1相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光的理論基礎(chǔ)早在1966年就已經(jīng)有理論研究證明了利用兩束偏振正交的高斯光束TEM01與TEM10合成徑向偏振光的可行性。我們簡略地回顧這種理論的基礎(chǔ)。首先考慮線性TEM10和TEM01模式的電場分布可以表述如下： （3.1） (3.2）其中是

25、橫截面光強下降到1/e時的光斑半徑，分別是x，y方向上的單位矢量。則一個相干疊加的總場就可以簡單地表述為： （3.3）3.3式中的最后一項指出，在（x，y）坐標系內(nèi)，光束橫截面上的各點光場方向總是沿著矢徑方向。因而，光強的分布僅與觀察點與原點的距離有關(guān)。這說明光場的偏振都是徑向的。圖3-1（a）、（b）、（c）分別展示了TEM01、TEM10模場分布以及由TEM01和TEM10相干疊加得到的總場分布。 （a） (b) (c)圖3-1 由偏振正交的TEM01（a）和TEM10（b）模式相干疊加而得的徑向偏振光光場強度分布（c）檢測圖3-1（c）中的相干疊加總場的偏振性是有必要的。在圖3-2中分別

26、展示了總場通過通光軸與x軸方向旋角成-/3,/4，/2偏振片后的光場分布。 （a） (b) (c)圖3-2 總場通過通光軸與x軸方向旋角成-/3(a),/4(b)，/2(c)偏振片后的光場分布從圖3-1和圖3-2的結(jié)果證明理論上利用TEM01和TEM10模式相干疊加得到徑向偏振光是可行的。因而，我們的目光接下來就轉(zhuǎn)到如何產(chǎn)生偏振正交的TEM01和TEM10模式上。我們希望將一個標準的高斯光束轉(zhuǎn)換到電場分布與（3.1）（3.2）式相近的場分布。利用TEM00模轉(zhuǎn)換得到近似TEM01模的方法是可行的。我們將通過圖九所示的簡單的二元階躍位相器實現(xiàn)這一過程。這個衍射器件的圖示在圖3-3中得到了展示，其

27、透過比分布為： （3.4）圖3-3 二元階躍位相器的結(jié)構(gòu)示意圖。在基片上有一層厚度為h、折射 率為n的鍍膜。（3.4）中的滿足。 （3.5）其中。如果我們考慮觀察點P到傳播軸z軸的距離很小，那么（3.5）中的一項可以有以下近似： 在分母上； 在分子上； 3.1.2相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光的實驗裝置 圖3-4展示了利用兩束偏振正交光相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光的實驗裝置。從望遠系統(tǒng)中出射的線性偏振光通過5：5偏振分束器PBS后成為兩束光，它們將分別通過橫向極化光路和縱向極化光路，之后再由合束器合并為一束光。每一個光路中，階躍位相器中分界線的方向都與所預期的電場偏振方向垂直，分界線的中點都在光軸上。與此同

28、時，每一參與到任一光路的延遲因素都必須同樣地加入到另外一個光路中，保證最后得出的兩束光滿足正交偏振性。在后面的結(jié)果中我們看到，光程的大小對于實驗結(jié)果的有很大的影響，因而我們需要找到最合適的光程值。實驗中，我們可以用CCD成像器捕捉得到的結(jié)果。圖3-4 利用兩束偏振正交光相干疊加產(chǎn)生徑向偏振光的實驗裝置4。線性偏振光的獲得有賴于馬赫曾德爾干涉儀。一束從Nd:YVO4激光器中輸出的激光首先被小孔過濾，然后才進入到干涉儀中。T是一個望遠系統(tǒng)。PBS，偏振分束器。PS，=的階躍位相器。VD，可變延遲器。 3.1.3計算機模擬結(jié)果分析階躍位相器的作用是使分界線兩邊的輸入光在分界點處產(chǎn)生一個位相躍變。通過

29、簡單的傅里葉變化，我們可以看到，一個近場的位相變化可以在遠場引發(fā)振幅的變化。在圖3-5中，我們展示了一系列TEM00模通過階躍位相器后沿著z軸傳播時不同傳輸距離下光場分布與TEM01模式的傳輸圖像的對比。從圖中我們看到，近場實驗場相比理想場多出一些波動成分，隨著距離的增大，兩個場輪廓的近似度不斷地趨近又遠離；同時場的半徑也隨著距離的增大而增大。在圖3-6中我們給出了兩個場在傳輸距離中，光束橫截面上振幅的契合程度。結(jié)合圖3-5和3-6我們可以分析在什么樣的距離條件下才能夠獲得兩個場最大程度的契合，而且這個距離產(chǎn)生的場對于相干疊加獲得徑向偏振光是有益的。我們在觀察平面上選取了近軸的200*200的

30、網(wǎng)格。每個網(wǎng)格的上的實驗場強度與理論場強度都做了對比，也即存在一個振幅差。我們設定振幅差在0.15以下的點為有效點。所有有效點的振幅之和與所有點的振幅之和的比即是我們想要的相對振幅吻合度。圖3-6正是基于這一設定而繪制的傳播軸上實驗場與理論場吻合度分布圖。對比圖3-5和圖3-6的計算結(jié)果，我們可以看到，在z=1.3m和z=5m附近，實驗場和理論場都有很好的相對振幅吻合度。從圖3-5中我們也看到，隨著傳輸距離的增大，光束半徑也在增大。因而，在實驗中需要注意：偏振極化路徑的長度對結(jié)果有很大的影響。 (a) (b) (c) (d)圖3-5 不同傳輸距離下實驗場（藍色線）和理論場（紅色線）的對比。其中

31、z=0.5(m)（a），z=1.3(m)（b）,z=5(m) (c) ,z=8(m) (d)圖3-6 不同傳輸距離下試驗場與理論場的相對振幅吻合度 3.2 利用圓形布魯斯特棱鏡產(chǎn)生的徑向偏振光 我們曾提到過，產(chǎn)生徑向偏振光的方法可以概括為腔外選擇疊加線性光和腔內(nèi)選擇被激起的徑向偏振兩個大類。很多產(chǎn)生的方法都極依賴于干涉儀的準確度，同時這些方法提供的激光功率都是很低。因而，一個簡便的，可以提高徑向偏振激光功率輸出的產(chǎn)生方法亟待提出。人們進而創(chuàng)造了光子晶體元件、錐形布魯斯特透鏡等方法（盡管這些方法仍然對器件的制造水準有極高的要求）。利用特殊的錐形布魯斯特棱鏡，我們可以在腔內(nèi)得到一個多模式的徑向場分

32、布。基于腔內(nèi)熱致雙折射晶體的熱透鏡效應以及徑向偏振光和角向偏振光不同的聚焦深度，我們可以在腔內(nèi)對經(jīng)錐形布魯斯特棱鏡產(chǎn)生的偏振模式進行選擇，并得非常理想的激光輸出。3.2.1數(shù)學理論基礎(chǔ)5 在不同的境況下，對于徑向偏振光，人們給出了不同的描述。因而，并沒有一個統(tǒng)一的徑向偏振光光場及光場傳輸公式。在計算中，我們對徑向偏振光的光場和自由空間中的光場傳輸模式給出了一個適當?shù)拿枋觯?（3.6）其中，；r，分別是z=0和z平面上的柱坐標；是一個僅僅與r有關(guān)的函數(shù)； 是徑向單位矢量。從3.6式中，我們可以看出徑向偏振光在自由空間中傳播時它的偏振特性是不會改變的。我們還可以看出3.6式的結(jié)果與一個有exp(i

33、)螺旋相位變化的LG光束是類似的。這意味著，具有徑向偏振的LG模式光束在自由空間中的傳播特性與LG模式光束一致，因為一個徑向偏振的LG(0,1)*模式光可以看做是由左旋的LG(0,1)*模式和右旋的LG(0,1)*模式疊加而得。3.2.2布魯斯特棱鏡產(chǎn)生徑向偏振光的原理在這里，一個完整的錐形布魯斯特光學系統(tǒng)由兩個頂角相互契合的凸棱鏡和凹棱鏡組成。兩個棱鏡中的凸棱鏡，它的側(cè)面涂覆了七層交替的Ta2O5和SiO2薄層。另一個凹棱鏡用來補償凸棱鏡的側(cè)面產(chǎn)生的分歧。這兩個棱鏡的底部都涂覆了抗反射薄膜。兩個棱鏡的契合處留出了一段空白，這段空白被浸液填滿。兩個棱鏡的頂角的取值由入射光的布魯斯特角決定。圖3

34、.7展示了該棱鏡的結(jié)構(gòu)。一束Nd:YAG產(chǎn)生的光（波長為1064nm）對應的布魯斯特角和布魯斯特棱鏡頂角分別是55.8和68.4。因而，角向偏正光投射時將遭受重大的損耗，而徑向偏振光則可以順利地通過。在凸棱鏡側(cè)面上的多層涂覆薄膜可以加強偏振選擇特性。在布魯斯特條件下，運用菲涅爾積分計算出來的單次反射率約為0.136。當反射增加到八次的時候，反射率約為0.69。圖3-7 錐形布魯斯特棱鏡示意圖53.2.3基于熱透鏡效應的腔內(nèi)選擇原則17在各向同性介質(zhì)中，比如Nd：YAG，徑向偏振光和角向偏振光的聚焦特性是不一致的。橫向固體燈泵浦擁有很強的熱透鏡效應（溫度的變化導致了折射率的變化）以及熱致內(nèi)雙折射

35、效應。因為這些特殊的效應，徑向偏振光和角向偏振光有兩個不同的聚焦焦點。對于其他的偏振模式，這些效應可能引發(fā)極大的誤差。但對于徑向偏振光和角向偏振，經(jīng)由小孔選擇和熱致雙折射效應后，模式的區(qū)別和選擇卻顯得更為容易了。在Nd：YAG棒中，角向偏振光和徑向偏振光的聚焦深度之比維系在1.21.5之間。我們考慮如圖3-7所示的平凹腔。它有一個直徑為50cm的高反射率凸透鏡、熱效應透鏡棒、限制震蕩模式數(shù)的小孔光闌以及一個平面輸出鏡組成。此時，角向偏振光和徑向偏振光的聚焦深度分別為=23.8cm，=29.3cm。圖3-8 熱致雙折射產(chǎn)生徑向偏振光激光諧振腔示意圖 為了描述腔內(nèi)的的震蕩模式，我們需要解雙程傳輸方

36、程： （3.7）其中K為雙程傳輸因子，特征矢量Un是諧振腔內(nèi)各模式的場分布，n是單程損耗因子，每一次單程傳輸損耗的能量為1-|n|2雙程傳輸因子K是傳輸過程中所有自由空間和光學元件的傳輸變化矩陣作用之積。對K進行對角化變換，我們就可以得到特征矢量Un和n。最低雙程損耗對應的Un就是諧振腔中最終的震蕩模式。我們將所有的器件和效應都考慮具有徑向軸對稱性，以此簡化運算的復雜度。如圖3.7中所示的諧振腔中的K因子表述為： （3.8）其中，P1，P2，P3是對應于Z1，Z2，Z3的三個自由空間的傳輸矩陣；A是孔徑光闌的傳輸矩陣，TLr是熱透鏡的傳輸矩陣，BM反射鏡的傳輸矩陣。長距離自由空間傳輸矩陣可以通

37、過3.6式導出。短距離自由空間傳輸矩陣可以看做是長距離傳輸矩陣的一部分。在圖3-7的計算中，短距離傳輸矩陣可以忽略。 當我們使用圖3-8所示的諧振腔對1064nm光進行模式選擇時。我們可以得到如圖3-9所示的徑向偏振光和角向偏振光的損耗對比。從圖中我們可以看到對于這樣的一個裝置，有意義的徑向偏振光損耗比角向偏振光損耗要小。當我們設定適當?shù)目讖焦怅@的直徑時，我們就可以得到純的徑向偏振光輸出。圖3-9 計算了四種不同模式的損耗隨著小孔直接變化的變化情況。實心圓點代表了徑向偏振光。空心方形圈代表角向偏振光17。3.3 利用亞波長光柵產(chǎn)生徑向偏振光6光學領(lǐng)域中的奇異點通常都會引起很多關(guān)注。在這些以點狀

38、或者線狀出現(xiàn)的奇異點上，光波的位相和振幅會出現(xiàn)無法定義或者突然轉(zhuǎn)變兩種現(xiàn)象。在這些奇異點中，擁有螺旋形位相分布的漩渦奇異變化是很經(jīng)典的一種模式。漩渦是拓撲結(jié)構(gòu)的一種。徑向偏振光和角向偏振光的偏振模式就是一種典型的漩渦奇異變化模型。通過調(diào)節(jié)光柵的深度、方向和周期，我們可以匹配任意的光偏振模式。因而，在理論上，我們可以通過操作光柵的結(jié)構(gòu)調(diào)制出任意的光柵模式。如果光柵的狀態(tài)可以表述為： （3.9）其中，分別是極坐標下的角向單位矢量和徑向單位矢量，是光柵的空間變化頻率，代表了一個變化周期，是與光柵條紋垂直的矢量。當光柵周期小于入射波的波長時，傳輸因子只有零階是有效的，此時的光柵作用近似于一個光軸垂直或

39、者水平于光柵溝槽的單軸晶體。這樣的光柵的雙折射效應取決于它們的具體結(jié)構(gòu)。 假設我們希望可以利用一個空間變換1/4波片將一個右旋的圓偏振光轉(zhuǎn)換為一個徑向偏振光。此時。式子3.9滿足： （3.10）此時，是的光柵周期。整理上述定義可得在目標場的每一點都有： （3.11）我們假設光柵的結(jié)構(gòu)參數(shù)，。圖3-10（a）展示了我們預期的光柵結(jié)構(gòu)。3.10（b）則展示了我們需要的徑向偏振場分布。 圖3-10 亞波長光柵產(chǎn)生徑向示意圖。（a）光柵表面示意圖；（b）徑向偏振光；圖左下角，光柵邊緣圖像6。 我們進一步關(guān)注到光柵更為完整的偏振和位相變化。通過瓊斯矩陣變換我們可以確實地找到理論上將任意偏振模式轉(zhuǎn)換到任一

40、其他偏振模式的方法及其對應光柵結(jié)構(gòu)。對于一個空間變化的四分之一波片，變化光束可以表示為： （3.12）基于這個表述式，我們可以計算Pancharatnam位相（Pancharatnam提出的對比兩束不同偏振光位相的表述式）：。 （3.13）在這里。我們定義拓撲Pancharatnam變化為。式中的1是旋轉(zhuǎn)位移的一個奇異點，也就是方位角關(guān)于旋轉(zhuǎn)位移的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，同時也是旋轉(zhuǎn)位移不連續(xù)點個數(shù)的一半。式3.12中的Pancharatnam變化。這個變化可以被相位片修正為。其中嚴格地與光柵拓撲單元的數(shù)目相等。圖3-11展了不同的ld取值下得到的徑向偏振光模型。其中3.11（a）是僅僅通過光柵變化的輸出光

41、偏振模型，而圖3-11（b）(c)（d）(e)是進一步被相位片調(diào)制后的輸出偏振模型。圖3-13展示了各個輸出光模型的場分布側(cè)面輪廓。其中3-13（a）（d）輸出光的遠場中心是亮斑而其余的皆是暗斑。 圖3-11不同取值下輸出光偏振示意6 圖3-12 各個輸出光場分布側(cè)面輪廓64 徑向偏振光的應用前面我們提到，徑向偏振光兩個最顯著的特性是軸向中心對稱性和優(yōu)秀的緊聚焦特性。這兩個突出的特性已經(jīng)在實際中找到了合適的應用。比如，金屬切割中，如果我們采用徑向偏振光的，由于徑向偏振光始終是p分量的偏振光，所以其方向始終平行于金屬表面，因此其角度因素并不影響切割過程，同時切割效率提高為使用傳統(tǒng)模式的1.52倍

42、；在金屬鉆孔中，徑向偏振光也比其他模式更為優(yōu)異，其鉆孔更均勻，鉆孔深度更深。根據(jù)前面的敘述，我們知道徑向偏振光在緊聚焦條件下可以產(chǎn)生超越衍射極限的光斑，而這樣的光斑在使用更特殊的衍射器件之后還可以進一步地減小，因而徑向偏振光可以進一步地提升捕捉金屬粒子、顯微鏡分辨率、存儲密度，研制新型干涉儀等技術(shù)的精密程度。下面我們就簡單地介紹一些徑向偏振光的實際應用。4.1 緊聚焦徑向偏振光產(chǎn)生三維光學鏈捕捉金屬粒子16光學捕捉，或者說光學鑷子，是一種利用緊聚焦光束的輻射光壓力操縱微觀粒子的非接觸捕捉技術(shù)。光學鑷子被證明可以應用在很多領(lǐng)域當中，這些領(lǐng)域涵蓋微加工技術(shù)和顯微技術(shù)。特別是在生物學中，這種技術(shù)可以

43、用于探索生物體在納微尺寸上的工作原理。比如，人們嘗試運用這種技術(shù)解開DNA的凝旋。在一般的技術(shù)中，光學鑷子只能用于捕捉單一的微粒子。為了拓展這種應用，人們已經(jīng)嘗試了很多種方法。但他們的方法都始終在使用具有傳統(tǒng)偏振模式的光束，這使得他們產(chǎn)生的光學鑷子缺乏足夠的靈活性和可操控性。據(jù)我們現(xiàn)有的知識，僅僅捕捉單一微粒子遠不能滿足人們探索微觀世界時的技術(shù)要求。因而這就需要一種可以同時地、靈活地操縱多個粒子的技術(shù)的出現(xiàn)。利用緊聚焦條件下的徑向偏振光我們就可以看到實現(xiàn)這項這項技術(shù)的希望。4.1.1緊聚焦徑向偏振光產(chǎn)生一個光學泡7 適當?shù)厥构鈱W衍射和干涉結(jié)合起來可以得到一些意想不到的現(xiàn)象（涵蓋橫向楊氏條紋和縱

44、向非衍射光）。這些現(xiàn)象可以通過光學衍射器件得到更多的應用。圖4-1就展示了這樣一個衍射器件。如圖所示，這個衍射器件被三個參數(shù)NA1，NA2，NA分割為三個區(qū)域。三個區(qū)域的透過率分別是T1=exp(j1)，T2=exp(j2)，T3=exp(j3)。圖4-2中展示的是一個用以聚焦徑向偏振光獲得一個三維光學泡的光學系統(tǒng)。高數(shù)值孔徑聚焦透鏡的作用是匯聚一個球面波到聚焦平面上。一個被分割為三個不同區(qū)域的衍射器件放置在高數(shù)值孔徑聚焦透鏡的前面，用以調(diào)制入射的徑向偏振光。 在產(chǎn)生一個光學泡的時我們設定了以下的取值，T1=1，T2=-1，T3=1。聚焦平面上的總場可以表示為：E=E1-E2+E3。以及NA1

45、=0.2,NA2=0.6,NA=0.8。圖4-1 被分割為三個區(qū)域的衍射器件徑向偏振光的聚焦分布已經(jīng)由式子（2.2）(2.3)(2.4)給出了。此時我們選擇的切趾函數(shù)表述式為4.1式，其中NA0=0.2。 （4.1）圖4-2 緊聚焦經(jīng)衍射器件調(diào)制后的徑向偏振光的光學體統(tǒng)7通過計算機模擬我們得到了光學泡的二維橫向光場分布、二維縱向場以及二維總場分布圖，并在圖4-3（a）、(b)、(c)中分別作了展示。從總場圖中，我們看到在傳播軸上的暗斑被光能量完整地包裹著。（a） (b) (c) (d) (e)圖4-3 光學泡二維橫向光場分布(a)、二維總向場(b)以及二維總場分布(c)橫向場一維分布（d），縱

46、向場一維分布（e）4.1.2緊聚焦產(chǎn)生三維光學鏈16 在（1）中我們介紹了一個用以調(diào)制入射徑向偏振光的二元衍射器件，以及一個對已調(diào)制光束進行緊聚焦的光學系統(tǒng)。通過類似的參數(shù)設置，應用同樣方法我們就可以模擬出我們預期的三維光學鏈。 此時，我們設定T1=T3=1，T2=0。NA1=0.4，NA2=0.9，NA=1。針對（2.2）（2.3）（2.4）的切趾函數(shù)則與（2.5）式一致。 徑向偏振光沿著徑向的偏振是相干的。因為，在緊聚焦狀況下，不同部分的入射徑向偏振光在焦點附近的光軸上彼此干涉，形成了特殊的場分布。圖4-4展示這樣的一種類似于光學鏈的場分布。這個場的縱向分量從原點沿著光軸衰減，形成了一個有

47、限的光學鏈。這樣的類光學鏈可以看做是不同的光學泡沿著光軸以恒定的間隔連接起來的結(jié)果。 (a) (b) (c) (d)圖4-4 三維光學鏈的場分布，總場分布（a），縱向場分布（b），橫向場分布(c)，縱向一維場分布（d）4.1.3 光學鏈用于捕捉和操縱微粒子3光學鑷子是應用緊密的聚焦激光光束誘捕和操縱微小粒子的一種光學技術(shù)。微小粒子可以是原子、分子以及細胞。在很多不同的領(lǐng)域，這種技術(shù)都有廣泛運用前景，例如DNA排序，基因移植，微裝備以及精密加工。用于誘捕的力來自光場強度的梯度分布。一般地，這種梯度力可以描述為如下： （4.2）這里R是粒子的尺寸，c是真空中的光速，I為光強度的梯度，1是環(huán)境的電介

48、質(zhì)常數(shù)，2是粒子的電介質(zhì)常數(shù)。從這個等式中我們看到誘捕力的強弱依賴于1和2。如果1<2，那么梯度力會拉拽和誘捕粒子到聚焦光束場強度更高的區(qū)域。相反，如果1>2那么梯度力會使得粒子向聚焦光束場強度更弱的地方運動。大多數(shù)現(xiàn)有的光鑷子都在使用中心強度最大的高斯光束。這種方式只適用于誘捕和操縱粒子電介質(zhì)常數(shù)高于環(huán)境電介質(zhì)常數(shù)的狀況。對于很多特殊的情況下，粒子電介質(zhì)常數(shù)比環(huán)境電介質(zhì)常數(shù)小，這些狀況下就需要一種圓環(huán)狀的激光光束模式。如果運用聚焦裁剪的方式，通過調(diào)整操控半波片偏轉(zhuǎn)器時的旋轉(zhuǎn)角度來改變聚焦強度分布，我們可以輕易地實現(xiàn)環(huán)形模式和中心亮斑模式間的轉(zhuǎn)換，進而在同一個光學系統(tǒng)中我們可以誘捕

49、和操控更多種類的粒子。 操縱光學鏈運動的方法與傳統(tǒng)方法是相近的。通過改變3和1的差值： （4.3）我們可以使光學鏈在傳播方向上運動。利用諸如晶體光學位相變化等技術(shù)，實現(xiàn)的遞增或者遞減是可行的。當為的整數(shù)倍時，三維光學鏈的運動重現(xiàn)出=0時的情形。圖4-5中我們演示了光學鏈一個周期內(nèi)的運動過程。通過調(diào)制入射光的位相和振幅，我們可以使多種不同性質(zhì)的粒子向光學泡單元的中心運動；通過調(diào)節(jié)的值，我們可以使載有微粒子的光學鏈運動。適當?shù)貐f(xié)調(diào)這兩個操控，我們就能夠同時靈活地捕捉和操控大量的微粒子。 圖4-5 改變實現(xiàn)對光學鏈操縱的示意圖。從左上開始分別0,0.5,1.54.2 徑向偏振光在激光切割中的應用91

50、0激光加工已經(jīng)被廣泛地應用在切割、打孔、融敷中，是加工業(yè)中增長速度最快的眾多模塊之一。對比于其他傳統(tǒng)的加工技術(shù)，激光加工為制造業(yè)提供了更為優(yōu)秀的精度、質(zhì)量和加工彈性。激光加工中，聚焦光能量被目標區(qū)域內(nèi)的材料吸收轉(zhuǎn)化為熱能，這些材料會很快地被破壞和移除。一束可以被聚焦整形為平頂光束的激光表現(xiàn)出了更快、更優(yōu)質(zhì)的加工效果。值得注意的是，激光加工的效率極依賴于光束的偏振模式。人們發(fā)現(xiàn)，偏振模式具有沿軸向中心對稱的徑向偏振光在激光加工中有著其他偏振模式光束無法比擬的潛力。4.2.1激光加工速率的數(shù)學基礎(chǔ)我們定義激光加工速率：有效移除目標材料所需的能量與輸入能量的比值。材料的厚度（h）與加工尺寸（d）的比

51、例影響著加工速率。此時我們考慮h/d >=10。如果我們想要提高加工的速度，那么對輸入光束進行整形是有必要的，同時光束的偏振模式對此也有重要的影響。我們不考慮激光切割中的氣流、水流、熱傳導作用，僅僅考慮幾何光學的影響：光的反射只被考慮一次。激光切割是一個敞開的過程，在此過程中，光的散射和反射直接從切割內(nèi)壁向外消散，因而這兩個因素將不影響材料的破壞和熱導作用下材料的消散。當h/d=10時，光輻射和材料之間的相互作用時的角度都接近P波最佳吸收角。在激光吸收中，P波的吸收曲線有著極其重要的意義。圖4-6展示了運動的激光光束作用與材料的示意圖。當激光光束以速度在運動時，沿著運動方向（x軸）的光強

52、分布滿足9： （4.4）其中:，r0是光束的光斑半徑，zf是激光聚焦平面到樣品表面的距離。切割平面上任意有恒態(tài)能量的點都滿足以下形式： （4.5）其中，是在運動方向上被去除材料的速度，P是被吸收的能量密度。 （4.6）這里是能量吸收系數(shù)，（是激光入射到切割表面時的入射角，（是激光入射平面和激光運動方向的夾角。對于平面偏振光，0是電場矢量和速度矢量的夾角(0是一個常數(shù))。此時，有以下的形式： （4.7）其中Fs(），F(xiàn)p()分別是S波和P波的菲涅爾吸收公式。（4.5）式中的k有以下形式： （4.8）其中c,u分別是比熱容、材料密度、融化材料時的熱量，T1和T0分別是初始溫度和材料融化時的溫度。

53、圖4-6 直角坐標系中描繪激光切割中激光光束與加工物件相互作用的示意圖94.2.2定性討論徑向偏振模式在激光切割中的效率 諸多的研究表明徑向偏振光有著最優(yōu)異的激光切割效率，支持這一結(jié)論最有力的兩個證據(jù)：(a)能量吸收獨立于方位角（這一點可立即將線偏振光排除掉）（b）能量吸收應是最高的（正是徑向偏振光的特點）。 在式4.6我們給出了能量吸收密度的公式，與式中的F(,-0)成正比，而F(,-0)又由4-7式定義，從中我們看到P波和S波的吸收率直接影響到P的大小，也就是：PFp+Fs。因而不難得出結(jié)論，一個在S波或者P波上都有很高吸收率的光束的能量吸收密度將是很高的。從圖4-6中我們觀察到，如果入射光是徑向偏振光，那么在切割面的任一點上，入射光都是屬于波，也就是說徑向偏振光的偏振方向始終