1、高中函數定義域和值域的求法總結一、常規型即給出函數的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式(或組)即得原函數的定義域。例1求函數y ='"2 -2X15的定義域。|x - 3| -8解：要使函數有意義，則必須滿足由解得 * =與或*之5。由解得 *¥5或*#11和求交集得x W 3且x # 11或x>5。故所求函數的定義域為X |X <與且X ¥ 11 Ux | X > 5。例2 求函數y =qSm-，1 的定義域。16 -x2解：要使函數有意義，則必須滿足由解得 2kirExEn+2kn,

2、 kwZ 由解得-4 <x <4由和求公共部分，得故函數的定義域為(-4, 一二(0,二評注：和怎樣求公共部分？你會嗎？二、抽象函數型抽象函數是指沒有給出解析式的函數，不能常規方法求解，一般表示為已知一個抽象函數的定義域求另一個抽象函數的解析式，一般有兩種情況。(1)已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2)其解法是：已知f(x)的定義域是a, b求fg(x)的定義域是解a <g(x) < b ,即為 所求的定義域。例3已知f(x)的定義域為2, 2,求f(x21)的定義域。解：令一2 <x2 -1 <2 ,得一1 <x2 <3, IP

3、0<x2 <3,因止匕 0日 x |WV3 ,從而-V3 <x <,3 ,故函數的定義域是x | -/3 <x < <3 0(2)已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a, b,求f(x)定義域的方法是：由aWxWb,求 g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4 已知f(2x+1)的定義域為1, 2,求f(x)的定義域。解：因為 1 Wx W2,2 <2x <4,3 <2x +1 <5o即函數f(x)的定義域是x |3 <x <5 o三、逆向型即已知所給函數的定義域求解析式

4、中參數的取值范圍。特別是對于已知定義域為R,求參數的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決。例5已知函數y =v'mx2 -6mx +m+8的定義域為R求實數m的取值范圍。分析：函數的定義域為 R,表明mx2 -6mx+8+m之0 ,使一切xGR都成立，由x2項的系 數是m,所以應分m=0或m*0進行討論。解：當m=0時，函數的定義域為 R;當m#0時，mx2 -6mx+m+8之0是二次不等式，其對一切實數x都成立的充要條件是綜上可知0 wm Ml。評注：不少學生容易忽略 m=0的情況，希望通過此例解決問題。例6已知函數f(x)= 尸,7的定義域是R,求實數k的取值范圍。kx 2 4kx

5、 3解：要使函數有意義，則必須kx2+4kx+3手0恒成立，因為f(x)的定義域為 R,即kx2 +4kx +3 =0 無實數當k乎0時，= 16k2 4x3k <0恒成立，解得0<k<3;4當k=0時，方程左邊=3手0恒成立。綜上k的取值范圍是0 wk <3。4四、實際問題型這里函數的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積 y關于一邊長x的函數的解析式，并求函 數的定義域。解：設矩形一邊為x,則另一邊長為1 (a2x)于是可得矩形面積。221=-x + ax o2由問題的實際意義，

6、知函數的定義域應滿足a=0 cx < o2故所求函數的解析式為y=-x2+1ax,定義域為(0, a)。22例8用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x,求此框架圍成的面積y與x的函數關系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。因為CD=AB=2x所以& ，所以AD ='二ABSCD =左-",222L - 2x _ - x ,i i-x故 y = 2x - '22根據實際問題的意義知故函數的解析式為y = -(2+gx2 +Lx ,定義域(0, ) o2二 2五、參數型對

7、于含參數的函數，求定義域時，必須對分母分類討論。例9 已知f(x)的定義域為0, 1,求函數F(x) =f (x+a)+f (x-a)的定義域。解：因為f(x)的定義域為0, 1,即0WxW1。故函數F(x)的定義域為下列不等式組的 解集：/0 Mx +a <1 即-a <x M1 -a10 Mx -a W1 '© Ex W1 + a即兩個區間a, 1-a與a, 1+a的交集，比較兩個區間左、右端點，知1(1)當jwaM。時，F (x)的定義域為x|-a WxM1+a;一 一 1(2)當 0waE一時，F (x)的te義域為x|awxwl_a;2(3)當a>

8、1或a<1時，上述兩區間的交集為空集，此時 F (x)不能構成函數。22六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導致錯解，事實上定義域 隱含在問題中，例如函數的單調區間是其定義域的子集。因此，求函數的單調區間，必須 先求定義域。例10 求函數y =log 2(-x2 +2x+3)的單調區間。解：由x2 +2x+3 >0,即x2 -2x -3<0 ,解得-1 <x <3。即函數y的定義域為(1,3)。函數 y =log2(x2 +2x +3)是由函數 y =log2t, t = -x2 +2x +3復合而成的。t = -x2 +2x +3 =

9、 -(x -1)2 +4 ,對稱軸x=1,由二次函數的單調性，可知 t在區間(*,1上 是增函數；在區間1,十的)上是減函數，而y = log2 t在其定義域上單調增；(_1,3)n(y,1 =(1,1,(_1,3川1,+8)=1,3),所以函數 y =log2(x2+2x+3)在區間(1,1上是 增函數，在區間1,3)上是減函數。函數值域求法H一種1 .直接觀察法對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。1例1.求函數y=£的值域。解：:x=。1- 0 x顯然函數的值域是：(10)11。)例2.求函數y =3-4的值域。解：*/ Vx >0故函數的值域是：，32 .配方法

10、配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例3.求函數丫=*2-2*+5，*句.1,2的值域。2解：將函數配方得：y=(x-1) +4.x -1,2由二次函數的，性質可知：當x=1時，y- =4,當x=_1時，ymx =8故函數的值域是：4, 83 .判別式法,t 例4.求函數1+x 的值域。解：原函數化為關于x的一元二次方程(1)當y#1 時，xwr”口工3三0解得：22“ 一!，-當y=1時，x=o,而 12 2J1 3故函數的值域為!2'2例5.求函數y =x +4x(2 x)的值域。解：兩邊平方整理得：2x2 -2(y +1)x +y2.x R.=4(y 1)2 8y ,0解得：

11、1一也94+隹但此時的函數的定義域由x(2-x)M,得0WxE2由之0,僅保證關于x的方程：2x2 -2(y+1)x+y2=0在實數集R有實根，而不能確保其 實根在區間0, 2上，即不能確保方程(1)有實根，由之0求出的范圍可能比y的實際1 3范圍大，故不能確定此函數的值域為l2,2Jo可以采取如下方法進一步確定原函數的值域。< 0 <x <2-ymin =0,y=1+/代入方程(1)22 -24、2x =0,2解得： 衣即當x12.2 -24 . 22 時,原函數的值域為：0,1+收注：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的 定義域，將擴大

12、的部分剔除。4.反函數法直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。3x 4例6.求函數5x+6值域。4 -6yx =解：由原函數式可得：”-3_4-6y3則其反函數為：丫一最石，其定義域為：、飛.3故所求函數的值域為：I '55.函數有界性法直接求函數的值域困難時,可以利用已學過函數的有界性,反客為主來確定函數的值域。xe T.,» y =-例7.求函數 ex +1的值域。ex L解：由原函數式可得：y -1 x e 0j0y -1解得：-1<y<1故所求函數的值域為(-1,1)cos x例8.求函數y =1733的值域。解：由原函數式

13、可得：ysinx-cosx=3y ,可化為:sinx(x-)二即:x R3yy2 1sinx(x - -) -1,1-1 < . 3y<1即 y2 12 .二解得："Vy-T 匹亞故函數的值域為7,彳6.函數單調性法例9.求函數丫=27+嚙3#E(2功士0)的值域。解：令y1 =2x', y2 =log3 Jx-1則yy2在2, 10上都是增函數所以y=y1+y2在2, 10上是增函數31當 x=2 時，ymn 0g 3-8當 x=10時，ymax =25 +l0g3/9=331,33故所求函數的值域為：b 例10.求函數y=vx71-、C的值域。2y =解：原函

14、數可化為：4 +1 +、，x -1令yi =& +1,y2，顯然yi”在1,8上為無上界的增函數所以y=yi, V2在1，上也為無上界的增函數所以當x=i時，丫=%+丫2有最小管石，原函數有最大值TT2 顯然y>0,故原函數的值域為(0,亞7.換元法通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數,其題型特征是函數解析式含有根式或三角函 數公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。例11.求函數y =x+J口的值域。解：令x1=t, (t>0)貝Ux 二t2 12/1、23.y =tt 1=(t 萬)4又tA0,由二次函數的性質可知當 t=0 時，y

15、mn =1當tT 0時，y->依故函數的值域為口，4例12.求函數y=X +2+J1-(x+1)2的值域。解：因1(x+1)2 之0即(x 1)2 <1故可令x 1 =cos -, - 0,二y =cosl； 1-1 -cos2 - -sin .-1 ； cos- ； 10 _ ： _ ,0 _ - - _5 二:4 4故所求函數的值域為0,1十/】3_ x -x例13.求函數y -x4 +2x2 +1的值域。_25-yj 4 K解：原函數可變形為：2 1+x2 1+x22八 ,二w一2 =sin2：, = cos2 :可令x=tgP,則有1+x21+x2-k?. /1當一一萬一8

16、時，yma =4二 k二二1當一金8時，ymn 3而此時tan P有意義。11故所求函數的值域為1 4'4x -,-例14.求函數y=sn x+1)(cs x+d,1 12 2的值域。解：y =(sn x +1)(es x+1)._ 12sn x cos x =一(t -1)令sin x+cosx =t ,貝f2,由 t =sinx cosx = 2sin(x - 7 4)逶2可得：222MM23,2.當t=應時,ymx =2，當F時,?+e,3+團故所求函數的值域為.4 2 2 Jo例15.求函數y =x+4+芯一x2的值域。解：由5x2之0,可得|x|w75故可令x = .5 co

17、s : 0,二0 _ ： _ 二當 P=n/4 時，ymax=4+而當P =幾日寸,y mn =4 t巧故所求函數的值域為：4-用,4+加8 .數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類 題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例16.求函數y =Qx -2)2 +x +8)2的值域。解：原函數可化簡得：y4x2i+|x+8上式可以看成數軸上點P (x)到定點A (2), B(8"用的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，ygx2| + |x+8HAB|=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y丑- 2|+|

18、x + 8|>AB go故所求函數的值域為：10,8例17.求函數y=*'x2 -改+13 +收2 +4x +5的值域。解：原函數可變形為：上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A©，2), b(-2，-1)的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，ymin 3 AB |；(3+2)2+(2+1)2=冰,故所求函數的值域為2瓦例18.求函數y = & -改+13 - V7 +4x +5的值域。解：將函數變形為：y=v'(x-3)2+(0-2)2 -J(x+2)2+(0T)2上式可看成定點A (3, 2)到點P (x, 0)的距離與定點b(-2，d

19、到點P(x,0)的距離之差。即：yAP|-|BP|由圖可知：(1)當點P在x軸上且不是直線A* x軸的交點時，如點P',則構成MBP', 根據三角形兩邊之差小于第三邊，有11Ap'| 一師'眄AB尸&3 +2)2 +(2 T)2即：-726 <y <v26(2)當點P恰好為直線ABx軸的交點時，有11Ap1MBp11TAB|=&6綜上所述，可知函數的值域為：而毋注：由例17, 18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A、B兩點在x軸的兩側, 而求兩距離之差時，則要使A, B兩點在x軸的同側。如：例17的A, B兩點坐標分別為：(3

20、, 2), (-2,-1),在x軸的同側；例18的A, B兩 點坐標分別為(3, 2),口，在x軸的同側。9 .不等式法利用基本不等式a+b2相,a+b+C3Vabc(a,b,cER+),求函數的最值，其題型特征解析 式是和式時要求積為定值，解析式是擲寸要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和 兩邊平方等技巧。,.1.2,1.2.例19.求函數y=sn x+s+皿x+c 一4的值域。解：原函數變形為：當且僅當tanx =cotx冗即當'二內=4時(口力，等號成立 故原函數的值域為：5，)例20.求函數y=2sn xsn 2x的值域。解. y =4sn xsn x(os x2-2當且僅當sin2x=2-2sin2x,即當sin x 3時，等號成立。2 . 648、. 3 . 8 3由y 方 可得：_9_y_98V3 遞 故原函數的值域