1、課題：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一. 求函數(shù)的零點(diǎn)1 .函數(shù)f(x)=x 3-1的零點(diǎn).2 .函數(shù)f(x)二 口-2的零點(diǎn)93 .函數(shù) f(x)=lg2x-lgx2-3 的零點(diǎn).4 .函數(shù)f(x) = x2 4x+1的零點(diǎn)為()A、-1 +2B 、-1-6C 、-1±6D 、不存在5 .函數(shù)f(x)= log5(x 1)的零點(diǎn)是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 36 .已知函數(shù)f(x) = x21,則函數(shù)f(x 1)的零點(diǎn)是.7 .若函數(shù)f(x) = ax+ b只有一個(gè)零點(diǎn)2,那么函數(shù)g(x)= bx2ax的零點(diǎn)是()1 八一11A. 0,2 B. 0, 2 C. 0, 2 D. 2,28

2、 .函數(shù)f(x)=ax2+2ax+c(aw0)的一個(gè)零點(diǎn)為1,則它的另一個(gè)零點(diǎn)為 .9 .已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f( x) = f(x).若f(x)有2 009個(gè)零點(diǎn)，則這2 009個(gè)零 點(diǎn)之和為.二.判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c中ac<0,該函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)()A.1B.2C.0 D.無(wú)法確定2 .函數(shù)f(x)=2x+x2-2在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A. 0B. 1C. 2 D. 33 .函數(shù)f (x產(chǎn)lg x -cosx的零點(diǎn)有 ()A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)4 .若函數(shù)為f (x )= lgx -cosx ,則有 個(gè)零點(diǎn).5

3、.若函數(shù)為f (x )=lg x -cosx ,則有 個(gè)零點(diǎn).6 .函數(shù)y ='與y =2sin耿的圖像在1-2,4 有個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 x 一1 4x -4. x E1 7 .函數(shù)f(x)=2的圖象和函數(shù)g(x )= log2 x的圖象的父點(diǎn)個(gè)數(shù)是x 4x+3,x>1Zx -4,x 0 1,入8 .函數(shù)f(x)=« 2的圖象和函數(shù)g(x) = log2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(x -4x 3, x 1A. 4 B . 3 C . 2 D . 12.9.函數(shù)f(x)=x 2x-3,x0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(-2 ln x, x 0A. 0 B . 1 C . 2 D .

4、310.函數(shù) f(x)= 4 cosx 在0 , +00)內(nèi) (D)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)(A)沒(méi)有零點(diǎn)(B)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(C)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)方法規(guī)總結(jié)11-1511.方程2. +x2 =3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為12.A、0 B 、1 C 、2D、313.求證方程3x="x在(0,1)內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根.14.函數(shù)f(x)=)x 1 x2+2x-3, x< 0 、一2+lnx, x>0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(15.A. 0C. 2下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是(B.D. )16.17.占八、18.A . y=x-x B , y=、2x2x 1 C.y=x+ 1X 1(x<0)(x>0)D

5、.y=x+1 (x> 0)、x1 (x< 0)函數(shù)y=loga(x+ 1) + x22(0<a<1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. 0 B. 1 C. 2 D.無(wú)法確定新課標(biāo)第一網(wǎng)下列說(shuō)法正確的有:對(duì)于函數(shù)f(x) = x2+mx+ n,若f(a)>0, f(b)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)一定沒(méi)有零函數(shù)f(x)=2xx2有兩個(gè)零點(diǎn).若奇函數(shù)、偶函數(shù)有零點(diǎn)，具和為 0.當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x) = |x2 2x|a有三個(gè)零點(diǎn).方程2一x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .函數(shù)f (x) =x3 3x2+2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(13.證明：設(shè)函數(shù)f(x)=3x.由函數(shù)

6、的單調(diào)性定義，可以證出函數(shù)f(x)在(1，依)是x 1減函數(shù).而 f(0) =3°2 =-1 <0 , f(1) = 31_l=5>0 ,即 f(0)|_|f(1)<0 ,說(shuō)明函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有 2 2零點(diǎn)，且只有一個(gè).所以方程3x= 一在(0,1)內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根. x 1.此題可變式為研究方程為熟悉的問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程正是這樣一種逐步的轉(zhuǎn)化ex 2 -x3 二點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)解題中處理問(wèn)題的一種重要思想，它是將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化x+1的實(shí)根個(gè)數(shù).14、解析：由 f(x) = x21,得 y=f(x 1) = (x1)21=x22x,

7、由 x22x=0.解得 xi 0,2=2,因此，函數(shù)f(x 1)的零點(diǎn)是0和2.答案：0和215、解析：選C.令loga(x+ 1) + x2 2 = 0,方程解的個(gè)數(shù)即為所求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).即考查圖象y1 = loga(x+ 1)與y2= x2 + 2的交點(diǎn)個(gè)數(shù).一.Q 1 v 916、解析：選 B.設(shè) f(x) = x3(2)x 2,111n則 f(0) = 0(2) 2V0; f(1)=1 (2) 1V0； f(2) = 23(2)0>0. .函數(shù) f(x)的零點(diǎn)在(1,2)上.17、解析：錯(cuò)，如圖.錯(cuò)，應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn).對(duì)，奇、偶數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其和為 0.設(shè)u(x)

8、=|x2 2x|=|(x1)21,如圖向下平移1個(gè)單位，頂點(diǎn)與x軸相切，圖象與x 軸有三個(gè)交點(diǎn).一. a=1.答案：18、【解析】分別作出函數(shù)f(x)=3-2-x與函數(shù)g(x)=x2的圖象，如圖所示.f(0)=2, g(0)=0, .從圖象上可以看出它們有2個(gè)交點(diǎn).【答案】25、解析：選 C.log5(x 1) = 0,解得 x = 2,函數(shù)f(x)=log5(x1)的零點(diǎn)是x= 2,故選C.6、解析：選B.由題意知2a+ b= 0, . b= - 2a, . g(x) = 2aW ax= ax(2x+1), 1使 g(x) = 0,則 x= 0 或一2.7、解析：選B.由題意知，A= 4 4

9、a<0, . . a>1.8解析：設(shè)方程f(x) = 0的另一根為x,由根與系數(shù)的關(guān)系，得1 + x= 2a= -2, a故乂= 3,即另一個(gè)零點(diǎn)為一3.答案：39【解析】設(shè)x0為其中一根，即f(x0) = 0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f( x) = f(x),所以f(xo)= f(x 0)= 0,即一x0也為方程一根，又因?yàn)榉匠蘤(x)=0有2 009個(gè)實(shí)數(shù)解，所以其中必有一根xi,滿 足xi= xi,即xi = 0,所以這2 009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為0.【答案】0三.已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍1 .已知f(x)=2ax+4在(-2 ,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.2 .若關(guān)于x的

10、方程mx2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。(3)若關(guān)于x的方程a2 x =x + a (a A0 )有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.探究：f (x) =x3-6x2+9x + a在xw R上有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.變式1:方程x3-6x2+9x+a =0在24上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.變式2: x3 -ax2 +9x=0在12,41上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.變式3:若不等式x3 -ax2 +9x之0在12,41上包成立，求a的取值范圍.13.設(shè)m, k為整數(shù)，方程mx2 -kx+2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，則 m+k的最小值 為(A) -8(B) 8

11、(C)12(D) 1314、若函數(shù)f(x)=ax_x-a ( a > 0H a 1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是15、方程9x -63x -7 =0的解是.2.一 .x -217.已知函數(shù)f(x)=4x右關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的頭根，則數(shù) k的取3(x-1)3,x 2值范圍是19 .若函數(shù)f (x ) = ax _x _a (a >0.a =1府兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。20 .直線y = 1與曲線y =x2 一 x+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是。22 .已知x =3是函數(shù)f (x) =aln(1+x)+x2-10x的一個(gè)極值點(diǎn).(I)求a; ( H )求函

12、數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(田)若直線y=b與函數(shù)y = f(x)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.5 . (1)若方程2ax2 1 =0在(0,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .(2)已知函數(shù)f(x)=3mx_4 ,若在20上存在x° ,使f(x0 O，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6 .已知關(guān)于x的方程x2+2m桿2m3=0的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間(0, 2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取 值范圍.7 .已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|-a分別滿足下列條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.(1)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；(3)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)斗8 .已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx + d有

13、三個(gè)零點(diǎn)，分別是0、1、2,如圖所示， 2 -求證：b<0.9 .解：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=2ax21,由題意可知，函數(shù) f (x)在(0,1)內(nèi)恰有 一/一個(gè)零點(diǎn).f(0)|_|f(1)=1m3 1)<0,解得 a；/；、一" 工(2) .在-2,0上存在 x0,使 f (x0) =0,則 f (-2)Uf (0) <0,/ -I (-6m4)x(M) W0,解得 m £_232所以， 實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-巴-2.3點(diǎn)評(píng)：根的分布問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的討論，需要逆用零點(diǎn)存在性定理，轉(zhuǎn)化得到有關(guān)參數(shù)的不等式26.解：令f (x) -x 2mx

14、2m 3有圖像特征可知方程f (x) =0的兩根都在(0,2)內(nèi)需滿足的條件f（0）0, f（2）0,-m27.因?yàn)楹瘮?shù) |x2-2x-3|-a=0化為函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|與函數(shù)f(x)=a交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.35 d一一二 m :二-1解得 4。f(x)=| x2-2x-3卜a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不易討論，根的個(gè)數(shù)來(lái)討論，即轉(zhuǎn)化為方程|x2-2x-3|二a解：設(shè) f(x)=|x2-2x-3| 和2f(x)=|x -2x-3|-a 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則f(x)=a分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖3-1-1-5),它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù)a=0 或 a>4

15、.a=4.函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則0<a<4.8.證：因?yàn)?f(0)= f(1)=f(2)=0，所以 d=0,a + b+c=0,4a+2b+c=0.所以 a= - ,c= 一2札所以 f(x)= _ x(x2-3x+2)= - - x(x-1)(x-2).3333當(dāng) x<0 時(shí)，f(x)<0,所以 b<0.證法二：因?yàn)?f(0)=f(1)=f(2)=0，所以 f(x)=ax(x-1)(x-2).當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,所以a>0.比較同次項(xiàng)系數(shù)，得 b=-3a.所以b<0.6,若函數(shù)f(x) = x2 + 2x+ a沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

16、圍是()A. a< 1C. a<1B. a> 1D. a>16、解析：選 B.f(2)=ln21<0, f(3)= ln3 2>0, 3 .f(2) f(3)<0, . .f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).12 .若函數(shù)f(x)=3ax 2a+1在區(qū)間 1,1上存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.11、解析：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) = 3ax2a+1在區(qū)間1,1上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以有f(所以a-1>0 或,a+1>0.1 ,、答案：a> 5或a<- 1.<5a-1<0,1VO 解得a>5或a0 -1.1) f(1)<

17、0, gP(-5a+1) (a+1)<0, (5a-1)(a+1)>0,16.若方程x22ax+ a= 0在(0,1)恰有一個(gè)解，求a的取值范圍.13、解：設(shè) f(x) = x22ax+a.故分為兩種情況.為什么?由題意知：f(0)f(1)<0,a>0,二 c 或,L.1 a< 0,a< 0 或 a>1.即a(1a)<0,根據(jù)兩數(shù)之積小于0,那么必然一正一負(fù).a< 0,w w w .x k b 1.c o ml.1 a> 0,17.判斷方程log2x+ x2=0在區(qū)間2, 1內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)根?16、解：設(shè) f(x) = log2x+x2

18、,f(1)= log22+ (1)2 = -1+1=-4<0,x2的圖象在區(qū)間2, 1上是連續(xù)一一 1 一f(1)=log21+1 = 1>0, . f(2)f(1)<0,函數(shù) f(x) = log2x+的，因此，f(x)在區(qū)間2, 1內(nèi)有零點(diǎn)，即方程log2x+x2=0在區(qū)間成，1內(nèi)有實(shí)根.18.已知關(guān)于x的方程ax22(a+1)x+ a1 = 0,探究a為何值時(shí)，(1)方程有一正一負(fù)兩根；(2)方程的兩根都大于1;(3)方程的一根大于1, 一根小于1.17、解：(1)因?yàn)榉匠逃幸徽回?fù)兩根，a 1一 一 <0所以由根與系數(shù)的關(guān)系得S a,A= 12a+4> 0

19、(2)法一：當(dāng)方程兩根都大于 所示，新課標(biāo)第一網(wǎng)1時(shí)，函數(shù)y= ax22(a+1)x+a1的大致圖象如圖(1)(2)所以必須滿足所以不存在實(shí)數(shù)a>0A> 0a+1 .>1 af(1 )> 00)-a<0A> 0，或 a a+ 1>1 ar(1)< 0,不等式組無(wú)解.a,使方程的兩根都大于1.18、解得0<a<1.即當(dāng)0<a<1時(shí)，方程有一正一負(fù)兩根.法二：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2,由方程的兩根都大于1 ,得乂1一1>0, 乂21>0,(x1 1 jx2 - 1 )> 0金1 - 1 )+ (x2 一

20、1 戶 0x1x2 一 (x1 + x2 )+ 1 > 0?一X1 + x2 >2所以ra-1 2(a+1 )七一+ 1>02a+1 >2 aa<0-i-,不等式組無(wú)解.a>0即不論a為何值，方程的兩根不可能都大于 1.(3)因?yàn)榉匠逃幸桓笥?所示，1,一根小于1,函數(shù)y= ax2-2(a+1)x+ a1的大致圖象如圖 (4),解得a>0.所以必須滿足,a>0f(1 )< 0或a< 0f(1 岸 0a>0時(shí)，方程的一個(gè)根大于1, 一個(gè)根小于1.19、定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在(一8, 0上遞增，函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為-

21、2,求滿足f(log_. . _1 一19、【解析】一1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，31、 C- f( 2)= 0.y= f(x)是偶函數(shù)，且在 1,0上遞增，一 1 一11當(dāng) 喻9乂00,即 x> 1 時(shí)，loggx一2，斛得 x03.即 Kx< 3.由對(duì)稱性可知，當(dāng)log1x>0時(shí)，1<x<1. 93綜上所述，x的取值范圍為1, 3. 3四.判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間1 .函數(shù)f(x)=2x+3x的零點(diǎn)所在的區(qū)間()A. ( -2,-1)B.( -1,0)C.( 0,1)D.( 1,2)2 .函數(shù)f(x)=e，x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間()A. ( -2,-1)B.( -1,0)C

22、.( 0,1)D.( 1,2)(1) .函數(shù)f (x ) = ex+x2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是().a. -2,-1B.-1,0C. 0,1 D. 1,22、函數(shù)f(x) = log2x+2x-1的零點(diǎn)必落在區(qū)間()A. 1,-B. 1,-C. -JD.(1,2)8 44 221 14 .若%是方程(1)x =x3的解，則屬于區(qū)間()2a 2 '(12 )1 1 ': 1 1A1 . B. CD0<3' Jl2'3j<3' 2)3 '3；5 .若凡是方程式lg x+x =2的解，則Xo屬于區(qū)間()A. (0, 1) . B . (1,

23、 1.25) . C . (1.25, 1.75) D . (1.75, 2)A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)7 .函數(shù)f(x) = ex+x2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)8 .設(shè)函數(shù)f (x) =4sin(2x+1)x,則在下列區(qū)間中函數(shù)f (x)不存在零點(diǎn)的是A.L4,-2B.1-2,0C.0,21D.2,4】3.函數(shù)f(x) =lnx+2x6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間().A. (1,2) B. (2,3)C. (3, 4)D. (4, 5)2.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程ex-x2 = 0必有一個(gè)根在區(qū)

24、間()x10123x e0.3712.787.3920.09x+ 2r 12345A.( 1,0)B. (0,1)C.(1,2)D. (2,3)2、解析：選 C.設(shè) f(x) = S x 2, . f(1) = 2.78 3= 0.22<0, f(2) = 7.39 4=3.39>0. .f(1)f(2)<0,由根的存在性定理知，方程ex-x 2 = 0必有一個(gè)根在區(qū)間(1,2).故選C.7.函數(shù)f(x) = lnx2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()xA. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (e,3)17解析：選口.令丫= 0,得A和C中函數(shù)的零點(diǎn)均為1, 1; B中函數(shù)的零點(diǎn)為一5，1； 只有D中函數(shù)無(wú)零點(diǎn).10.設(shè)函數(shù)丫 = 乂3與丫= (212的圖象的交點(diǎn)為(xo, y0),則xo所在的區(qū)間是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)19、解析：選 B.設(shè) f(x) = x3(J 2,11q1c則 f(0) = 0(2) 2<0; f(1)=1 (2) 1<0； f(2) = 23(2)0>0.函數(shù) f(x)的零點(diǎn)在(1,2)上.四、課堂小結(jié)解決函數(shù)零點(diǎn)存在的區(qū)間或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的主要方法有函數(shù)零點(diǎn)定理和應(yīng)用函數(shù)圖像進(jìn)行判斷；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍主要有分類(lèi)討