1、精選優質文檔-傾情為你奉上第五節偏導數的應用Application of Partial Derivative教學目的: 會利用偏導數求空間曲線在某點的切線方程和法平面方程,會利用偏導數求曲面在某點的切平面方程和法線方程;理解二元函數極值的概念,熟練掌握二元函數極值與最大值、最小值的求法,會利用拉格朗日乘數法求條件極值.課 題: 偏導數的幾何應用;多元函數極值;條件極值.教學重點: 二元函數的極值與多元函數的條件極值教學難點: 二元函數的極值教學方法: 精講:多元函數極值及拉格朗日乘數法;多練:二元函數求極值教學內容:一、偏導數的幾何應用1.空間曲線的切線和法平面設空間曲線的參數方程為假定均可

2、導,不同時為零,曲線上對應于及的點分別為和.割線的方程為當沿著曲線趨于時,割線的極限位置是在處的切線.上式分母同除以得當(即)時,對上式取極限,即得曲線在點的切線方程向量是切線的方向向量,稱為切線向量.切線向量的方向余弦即為切線的方向余弦.通過點與切線垂直的平面稱為曲線在點的法平面.它是通過點,以切線向量為法向量的平面.因此,法平面方程為【例1】求螺旋線在點的切線及法平面方程.解點對應的參數.因為,所以切線向量,因此,曲線在點處的切線方程為在點處的法平面方程為即【例2】求曲線上點處的切線和法平面方程.解把看作參數,此時曲線方程為在點處的切線方程為法平面方程為即2.曲面的切平面與法線設曲面的方程

3、為是曲面上的一點,假定函數的偏導數在該點連續且不同時為零,設是曲面上過點的任意一條曲線,的方程為,與點相對應的參數為,則曲線在處的切線向量為.因在上,故有此恒等式左端為復合函數,在時的全導數為記,則,即與互相垂直.由于曲線是曲面上過的任意一條曲線,所以在曲面上所有過點的曲線的切線都與同一向量垂直,故這些切線位于同一個平面上.這個平面稱為曲面在處的切平面.向量是切平面的法向量,稱為曲面在處的法向量.切平面方程為過點與切平面垂直的直線,稱為曲面在點處的法線,其方程為若曲面方程由給出,則可令于是這時曲面在處的切平面方程為法線方程為【例3】求橢球面在點處的切平面和法線方程.解設故在點處橢球面的切平面方

4、程為即法線方程為【例4】求旋轉拋物面在點處的切平面方程和法線方程.解由得切平面方程為即法線方程為二、多元函數極值1. 二元函數的極值【例5】曲面在點有極小值.【例6】曲面在點有極大值.與一元函數極值類似,多元函數的極值也是相對某個鄰域而言的,是一個局部概念.定義1設函數在點的某個鄰域內有定義,若對改鄰域內任一點都有(或)則稱函數在點有極大值(或極小值).而稱點為函數的極大(或極小)值點.極大值點與極小值點統稱極值點.2.極值的檢驗法(1)一階偏檢驗定理1(必要條件)設函數在點處有極大值,且在該點的偏導數存在,則必有.證明不妨設在點處有極大值,根據極值定義,對的某一鄰域內的任一點,有在點的鄰域內

5、,也有,這表明一元函數在處取得極大值.因此,有同理可證與一元函數類似,使一階偏導數的點稱為函數的駐點.由定理1及例5、例6可以看出：二元函數的極值點必然是駐點或一階偏導數不存在的點.(2)二階偏檢驗定理2(充分條件)設函數在定義域內的一點處有二階連續偏導數,且.記,則(1)當且時,函數在點處有極小值;當且時,函數在點處有極大值;(2)當時,函數在點處無極值;(3)當時,函數在點處可能有極值,也可能無極值.綜上可得,具有連續二階偏導數的函數,其極值求法如下:(1)先求出偏導數;(2)解方程組,求出定義域內全部駐點;(3)求出駐點處的二階偏導數值:,確定的符號,并判斷是否有極值,如果有,求出其極值

6、.【例7】求函數的極值.解先求偏導數解方程組,求得駐點為.在駐點處,于是不是函數的極值點.在駐點處,且,所以點是函數的極小值點,為函數的極小值.3.最大值與最小值如果函數在有界閉區域上連續,則函數在上一定取得最大值和最小值.如果函數的最大值或最小值在區域的內部取得,則最大值點或最小值點必為駐點.因此,求處駐點的函數值及邊界上函數的最大值和最小值,其中最大值便是函數在閉區域上的最大值,最小值便是函數在閉區域上的最小值.具體問題中,常常通過分析可知函數的最大值或最小值存在,且在定義域內部取得,又知在定義域內只有唯一駐點,于是可以肯定駐點處的函數值便是函數的最大值或最小值.【例8】求函數在上的最大值

7、.解在內(),由解得駐點為.在的邊界上()故函數在處有最大值.【例9】要做一容積為的無蓋長方體鐵皮容器,問如何設計最省材料?解所謂最省材料,即無蓋長方體表面積最小.該容器的長、寬、高分別為，表面積為，則有消去，得表面積函數其定義域為由，求得駐點為.由于為開區域,且該問題必有最小值存在,于是必為的最小值點,此時,即長方體長、寬、高分別為,時,容器所需鐵皮最少,其表面積為.【例10】某公司每周生產單位產品和單位產品,其成本為產品的單位售價分別為200元和300元.假設兩種產品均很暢銷,試求使公司獲得最大利潤的這兩種產品的生產水平及相應的最大利潤.解依題意,公司的收益函數為因此,公司的利潤函數為令,

8、得駐點.利用二階偏檢法,求二階偏導數，顯然二階偏導數在駐點的值為。由此可見，當產品的周產量均為50個單位時，公司可獲得最大利潤，其最大利潤為（元）三、條件極值如果函數的自變量除了限制在定義域內以外，再沒有其他限制，這種極值問題稱為無條件極值。但在實際問題中，自變量經常會受到某些條件的約束，這種對自變量有約束條件的極值問題稱為條件極值.條件極值問題的解法有兩種,一是將條件極值轉化為無條件極值,如例9就是求在自變量滿足約束條件時的條件極值.當我們從約束條件中解出代入中,得,就成了無條件極值,于是可以求解.但實際問題中的許多條件極值轉化為無條件極值時,時很復雜甚至是不可能的.下面介紹條件極值的另外一

9、種更一般的方法拉格朗日乘數法.設是函數在約束條件下的條件極值問題的極值點,如果函數,在點的鄰域內有連續偏導數(不妨設),則一元函數在點的導數.由復合函數微分法,有由于是由所確定的,所以代入上式,消去,得即令,則有(*)稱滿足方程組(*)的點為可能的極值點.我們構造一個函數則(*)等價于于是,用拉格朗日乘數法求解條件極值問題可歸納為以下步驟:(1)構造拉格朗日函數,稱為拉格朗日乘數;(2)解方程組得點,為可能極值點；(3)根據實際問題的性質,在可能極值點處求極值.【例11】求平面上點到直線的距離.解設點到直線上動點的距離為,則問題歸結為求距離函數在約束條件之下的極小值.構造拉格朗日函數解方程組得代入,得由于最短距離是存在的,所以所以 課堂練習:1. 求曲面在點處的切平面與法線方程.2. 求表面積為而體積為最大的長方體的體積.小結:學習了多元函數的幾何應用