1、2021/8/615-3 邊界層型對流傳熱問題的數學描寫邊界層概念：當粘性流體流過物體表面時，會形成速度梯度很大的流動邊界層；當壁面與流體間有溫差時，也會產生溫度梯度很大的溫度邊界層（或稱熱邊界層）一、流動邊界層一、流動邊界層（Velocity boundary layer）2021/8/62由于粘性作用，流體流速在靠近壁面處隨離壁面的距離的縮短而逐漸降低；在貼壁處被滯止，處于無滑移狀態從y =0、u = 0 開始，u 隨著 y 方向離壁面距離的增加而迅速增大；經過厚度為 的薄層，u 接近主流速度 uy = 薄層 速度邊界層 邊界層厚度定義：u/u=0.99 處離壁的距離為邊界層厚度2021/

2、8/63小：空氣外掠平板，u=10m/s：mm5 . 2 ;mm8 . 1200100mmxmmx邊界層內：平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大由牛頓粘性定律：yu速度梯度大，粘滯應力大邊界層外： u 在 y 方向不變化， u/y=0粘滯應力為零 主流區邊界層區：流體的粘性作用起主導作用，流體的運動可用粘性流體運動微分方程組描述（N-S方程）2021/8/64主流區：速度梯度為0， =0；可視為無粘性理想流體； 歐拉方程邊界層概念的基本思想2021/8/65流體外掠平板時流動邊界層有層流和紊流之分臨界距離：由層流邊界層開始向湍流邊界層過渡的距離，xc平板：湍流邊界層：臨界雷諾數：Reccc

3、cxuxu Re粘性力慣性力565105Re ;103103Recc取粘性底層（層流底層）：緊靠壁面處，粘滯力會占絕對優勢，使粘附于壁的一極薄層仍然會保持層流特征，具有最大的速度梯度uxccRe2021/8/66(5)邊界層內 對平板還有流動邊界層的幾個重要特性(1) 邊界層厚度與壁的定型尺寸L相比極小，L(2) 邊界層內存在較大的速度梯度(3) 邊界層流態分層流與湍流；湍流邊界層緊靠壁面處仍有層流特征，粘性底層（層流底層）(4) 流場可以劃分為邊界層區與主流區邊界層區：由粘性流體運動微分方程組描述主流區：由理想流體運動微分方程歐拉方程描述0py0px2021/8/67邊界層概念也可以用于分析

4、其他情況下的流動和換熱：如：流體在管內受迫流動、流體外掠圓管流動、流體在豎直壁面上的自然對流二、二、 熱邊界層熱邊界層（Thermal boundary layerThermal boundary layer）當壁面與流體間有溫差時，會產生溫度梯度很大的溫度邊界層（熱邊界層）Tw2021/8/68 Tw99. 0 ,0 , 0wtwwTTyTTyt 熱邊界層厚度定義:在y方向，當過余溫度為來流過余溫度99時所對應的厚度。2021/8/69 t把溫度場分成兩部分：主流區和熱邊界層區。在主流區，流體的溫度變化可看成零，僅考慮熱邊界層中溫度的變化。流動邊界層與熱邊界層的狀況決定了熱量傳遞過程和邊界層

5、內的溫度分布 t t與與 相似，隨著相似，隨著 x x 增加而增厚增加而增厚, ,它反映了流它反映了流體熱量傳遞的滲透深度。體熱量傳遞的滲透深度。2021/8/610層流：溫度呈拋物線分布故：湍流換熱比層流換熱強！故：湍流換熱比層流換熱強！湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層流湍流：溫度呈冪函數分布LwtwyTyT,2021/8/611 與 t 的關系：分別反映流體分子和流體微團的動量和熱量擴散的深度。兩者既有區別又有聯系：1）速度邊界層的厚度與溫度邊界層的厚度不一定相等。如圖txoy2021/8/6122）速度邊界層是從x=0處開始發展的，而溫度邊界層可從任意點開始，因為加熱可從任意點開始。

6、從物理意義上看：溫度邊界層反映了導溫系數a對熱量傳遞的影響,而速度邊界層反映了粘性系數對流動的影響。這兩系數對換熱的影響可用rPa普朗特數，反映流體物性對換熱的影響式中 、a 的單位都是 ，故故P Pr r數是無因次數。數是無因次數。2/ms2021/8/613)50Pr6 . 0 Pr31(層流、 t玻爾豪森在下面兩個假定下，將兩個邊界層厚度之間的關系得出：1）假定兩種邊界層都是從平板前緣形成的2）1t分析得出：2021/8/614三、三、P Pr r數數rPcacPr數反映了流體的物性參數對換熱的影響，故稱為物性相似準則數。反映了流體分子的動量擴散的能力參數，越大，粘性的影響傳遞越遠，越厚

7、。a反映了流體分子的熱量擴散的能力參數，a越大，熱擴散越快，t越厚。P Pr r數反映了動量和熱量在流動中擴散的相對程度，數反映了動量和熱量在流動中擴散的相對程度，兩者之比是熱邊界層與速度邊界層增厚的相對快慢。兩者之比是熱邊界層與速度邊界層增厚的相對快慢。2021/8/615當rP1ta（條件：平板、忽略重力場、應力梯度為零）r1P1tar1P1ta氣體對一般氣體和液體 聯立 可求出 rP0.7 Pr31tt對液態金屬 的量級 不能用上式求 rP0.01tt油類 在 的量級23rP10102021/8/616歸納得出;1)換熱與流動有關換熱與流動有關，即與Re數有關ReVd2)換熱與流體物性有

8、關換熱與流體物性有關，即與Pr數有關rPaRe數反映了速度邊界層對換熱的影響,Pr數反映了熱邊界層和速度邊界層的關系，故影響對流換熱的關系式一定是Re與Pr的函數，記為er(R ,P )uNfNu努塞爾數2021/8/617邊界層概念的引入可使換熱微分方程組得以簡化。數量級分析：比較方程中各量或各項的量級的相對大小；保留量級較大的量或項；舍去那些量級小的項，方程大大簡化四、四、 邊界層換熱微分方程組邊界層換熱微分方程組此時，將主流方向的數量級看為1，y方向的數量級看成小量用表示，基本量的數量級如下：主流速度： 數量級為1u溫度： 數量級為 1tX方向壁面特征長度： 數量級為1l例：二維、穩態、

9、層流、忽略重力邊界層厚度：數量級Y方向速度： 數量級為v導熱系數：數量級為2粘性系數：數量級為22021/8/6182222ytxtytvxtucp)()()22222222yvxvypFyvvxvuyuxuxpFyuvxuuyx（xu0yv二維對流換熱，其微分方程組已導出：將此方程組進行數量級比較2021/8/619(a) 0yvxu(b) )()2222yuxuxpyuvxuu（1 112211111 1 11（）（）)(a 0yvxu)(b )22yuxpyuvxuu（2021/8/620(d) )()2222ytxtytvxtucp（22211111 1 11（）（）(c) )()22

10、22yvxvypyvvxvu（222221 1 11（）（）)(c 00 22)( )ptttcuvdxyy（2021/8/621表明：邊界層內的壓力梯度僅沿 x 方向變化，而邊界層內法向的壓力梯度極小。邊界層內任一截面壓力與 y 無關而等于主流壓力dxdpxp dudpudxdx22)yuxpyuvxuu（py1px由B.r方程2021/8/622層流邊界層對流換熱微分方程組：3個方程、3個未知量：u、v、t，方程封閉如果配上相應的定解條件，則可以求解0yvxu221yudxdpyuvxuu22ytaytvxtudxduudxdp00dxdpdxdu，則若二維對流換熱微分方程組可簡化成：20

11、21/8/623例如：對于主流場均速 、均溫 ，并給定恒定壁溫的情況下的流體縱掠平板換熱，即邊界條件為ttuuyttvuyw, 0, 00求解上述方程組(層流邊界層對流換熱微分方程組)可得局部表面傳熱系數 的表達式utxh3121332. 0axuxhx注意：層流3121332. 0axuxhx3121PrRe332. 0 xxNu2021/8/6243121332. 0axuxhx3121PrRe332. 0 xxNu式中：式中：xhNuxx努塞爾(Nusselt)數xuxRe雷諾(Reynolds)數aPr普朗特數一定要注意上面準則方程的適用條件：外掠等溫平板、無內熱源、層流特征數方程準則

12、方程關聯式2021/8/625對于外掠平板的層流流動:22ytaytvxtu此時動量方程與能量方程的形式完全一致:0 ,dxdpconstu22 yuyuvxuu 動量方程：表明：此情況下動量傳遞與熱量傳遞規律相似特別地：對于 = a 的流體（Pr=1），速度場與無量綱溫度場將完全相似，這是Pr的另一層物理意義：表示流動邊界層和溫度邊界層的厚度相同2021/8/6265-4 邊界層積分方程組及比擬理論 在上一節中是通過量級比較，簡化方程組，導出求解對流換熱系數hx的關系式，稱之為分析解。本節通過求解邊界層的積分方程求得hx的關系式稱之為近似解，簡單容易。用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思

13、想:1)針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內的有限大小的控制容積,建立邊界層積分方程；2) 對邊界層內的速度和溫度分布作出假設，常用的函數形式為多項式；3) 利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出 和 的計算式；t2021/8/6274) 根據求得的速度分布和溫度分布計算固體邊界上的00)(yyudyuuudxdNucytyufyy和及00動量積分方程：能量積分方程：00)(yytadyuttdxdt流體力學中已導出：2021/8/628兩個方程，4個未知量：u, t, , t 。要使方程組封閉，還必須補充兩個有關這4個未知量的方程。這就是關于u 和

14、t 的分布方程。32123yyuu假設速度分布：00)(yyudyuuudxd帶入動量積分方程：ux64. 4解得邊界層厚度：21Re646. 0 xfc摩擦系數：2021/8/629可以采用類似的過程，并假設求解能量積分方程，可得無量綱過余溫度分布：42dycybyat32123ttwwyyttttxt213131RePr52. 4026. 1Pr熱邊界層厚度：再次強調：以上結果都是在 Pr 1 的前提下得到的局部對流換熱系數：31210PrRe332. 023xtywxxyttth3121PrRe332. 0 xxxNuxh2021/8/6303121PrRe332. 0 xxxNuxh3

15、121PrRe664. 0lhNu計算時，注意五點：a a、Pr Pr 1 1 ；b b、 ，c、x 與L 的選取和計算 ；d d、e e、定性溫度：,NuNu與hhx與5105Re2wttt局部對流換熱系數和平均換熱系數平均努塞爾數：與前節導出的結果相同2021/8/6312021/8/632xfxcNuRe2實驗測定平板上湍流邊界層阻力系數為：51Re0592. 0 xfc)10(Re7x54Re0296. 0 xxNu 這就是有名的雷諾比擬，它成立的前提是Pr=1 流體外掠等溫平板的湍流如何計算？用紊流理論描述運動的方法來描述溫度及換熱量2 比擬理論求解湍流對流換熱方法簡介2021/8/633當 Pr 1時，需要對該比擬進行修正，于是有契爾頓柯爾本比擬（修正雷諾比擬）：式中， 稱為斯坦頓（Stanton）數，其定義為 稱為 因子，在制冷、低溫工業的換熱器設計中應用較廣。2 / 3Pr(0.6Pr60)2fcStjStRe PrNuStjj2021/8/634當平板長度L大于臨界長度xc 時，平板上的邊界層由層流段和湍流段組成。其 Nu 分別為：則平均對流換熱系數 hm 為:dxxudxxulhlxxmcc3154021210296. 0332. 03154542