1、枯藤老樹昏鴉,小橋流水人家,古道西風瘦馬.夕陽西下,斷腸人在天涯?數(shù)值計算方法?復習試題、填空題:1、,那么A的LU分解為答案:3、1,f(2)14 15 12, f(3)拉格朗日插值多項式為答案：-1,4115 40156 151 ,那么過這三點的二次插值多項式中11L2(x) (x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) (x 1)(x2)x2的系數(shù)為4、近似值x* 0.231關于真值x 0.229有2 位有效數(shù)字;5、設fx可微,求方程x fx的牛頓迭代格式是；xn 1 xn答案xn f(xn)1 f (xn)6、對 f(x)x3 x 1,差商 f0,1,2,3 (1),f0,1,2,3

2、,40)；7、計算方法主要研究 截斷誤差和舍入誤差；8、用二分法求非線性方程f x=0在區(qū)間a,b內的根時,二分n次后的誤差限為；10、 f(1) = 2, f(2) = 3,f(4)=5.9,那么二次 Newton 插值多項式中 x:2系數(shù)為0.15 ;11、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為A的各階順序主子式均12、不為零.為了使計算10,2x 1 (x 1)263x 1的乘除法次數(shù)盡量地少,應將該表達式改寫為x 1_,為了減少舍入誤差,應將表達式x20CT 1999 改寫為J2001 7199913、3用二分法求方程f(X) x X 1 0在區(qū)間0,1內的根,進行一步后

3、根的所在區(qū)間為0.5, 1,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5, 0.7514、3x1 5x2 1求解方程組0.2x1 4x2 0的高斯塞德爾迭代格式為(kXi(k1)1)(1 5x2 )/3v(k 1),x1/20 一該迭15、16、21、次.22、a=(23、n1代格式的迭代矩陣的譜半徑(M)=12 0設 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,那么 l1(x)1i(x) x(x 2)f(x)的二次牛頓插值多項式為求積公式a有(2n 1N2(x) 16x 7x(x 1)(x)dx如果用二分法求方程S(x)nAkf(Xk)k 0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高,)次代數(shù)精度.0在

4、區(qū)間1,2內的根精確到三位小數(shù),需對分(103),l0(x)J(x),3x2(xb=(1)3a(x,ln(x)是以整數(shù)點21)2 b(x 1) c 1x0,x1,3是三次樣條函數(shù),那么lk(x)k 024、(1 ),nxklj(xk) xk 0( j ),當 n1).,Xn為節(jié)點的n25、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù) S(x)在a,b26、變函數(shù)f(x) "X1Lagrange插值基函數(shù),貝U(x：x2 3)lk(x)0(上具有直到階的連續(xù)導數(shù).1 )的形式,使計算結果27、假設用二分法求方程 次.of x 0在區(qū)間1,2內的根,要求精確到第3位小數(shù),那么需要對分10x1 1.6x

5、2 128 、k 1Xik 乂2出：1.6x0.4xiX2的 Gauss-Seidel 迭代公式0.4x1,k0.1,1.631、設,那么A32、設矩陣33、假設 fx34、線性方程組3x436、設矩陣二、單項選擇題:2x1、2、,迭代矩陣為 0的A LU ,那么U,那么差商 f2,4,8,16,3213的最小二乘解為分解為A LU ,那么UJacobi迭代法解方程組Ax b的必要條件是A . A的各階順序主子式不為零C.A.aii0,i1,2,nB.B.0.64,此迭代法是否收斂收斂.(A)1103212D.那么川為C .C. 7D.4、求解線Tt方程組Ax=b的LU分解法中,A須滿足的條件

6、是B A.對稱陣 B.正定矩陣C.任意陣 D.各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是A 產生的誤差.A,只取有限位數(shù)B .模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C.觀察與測量D.數(shù)學模型準確值與實際值6、3.141580是冗的有(B )位有效數(shù)字的近似值.A. 6B. 5C. 4D. 77、用1+x近似表示ex所產生的誤差是( C)誤差.A,模型 B.觀測C,截斷D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A )A.限制舍入誤差B.減小方法誤差C.預防計算時溢出D,簡化計算x9、用1 + 3近似表示如廠皮所產生的誤差是(D )誤差.A.舍入 B.觀測 C.模型 D.截斷10、-324.

7、 7500是舍入得到的近似值,它有(C )位有效數(shù)字.A. 5B. 6 C. 7D. 811、設f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,那么拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A )A. -0. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C ).A. 3 B. 4 C. 5 D. 213、( D )的3位有效數(shù)字是 0.236X 102.(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-214、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根,把方程f(x)=0表示成x= (x),那

8、么f(x)=0的根是(B ).(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標15、用列主元消去法解線性方程組(A ) o3x1Xi4x1(B) y=x與y= (x)交點的橫坐標(D) y=x與y= (x)的交點x2 4x3 12x2 9x3 03X2 x31,第1次消元,選擇主元為(A) -4(B) 3(C) 416、拉格朗日插值多項式的余項是(B(D) 9),牛頓插值多項式的余項是(C ).X11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(D)27、由以下數(shù)表進行 Newton插值,所確定的插值多項式的最高次數(shù)是(C) 3；(D) 2.(C)

9、 (4 2局；(A) 5 ;(B) 4 ；(A) 28 16依；(B)(4 26)2；的Newton迭代格式為()(A) f(x,x0,x1 ,x2,xn)(xx1)(x x2)(x xn 1)(x xn),Rn (x) f(x)(B)Pn(x) IT一(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f (x)(D),xn)x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(xxn),f (n 1) ()Pn(x) fn1(x)(n 1)!18、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A),那么它的解數(shù)列xnn=0,1,2,定收斂到方程f(x)=0的根.(A) f (x0)f

10、 (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x) 019、為求方程 x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內的一個根,把方程改寫成以下形式,并建立相應的迭代公式,迭代公式不收斂的是(A ).2 x(A)1,迭代公式:xk1x 1x(B)4,迭代公式：xk1 x1-2xk3(C)xx2,迭代公式：xk 1(12、1/3 xk)3 x(D),迭代公式：xk 12xkxk21、解方程組(1)(A)Ax1b的簡單迭代格式1,x(k 1)Bx(k)(A)g收斂的充要條件是1,(4)(B) 1x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.2523

11、、有以下數(shù)表所確定的插值多項式的次數(shù)是(O(4)五次)(1)二次;25、取芯(3)四次；1.732計算x (出1)4,以下方法中哪種最好？(16)1629、計算用Xk 3Xk 1-(A)2 XkXk 1；(B)XkXk 2(C)Xk 1-2Xk ; (D)XkXk 330、用二分法求方程 次數(shù)至少為()(A)10;(B)12;32x 4x10(C)8;0在區(qū)間1,2內的實根,要求誤差限為10 3 * 5 *,那么對分(D)9.32、設(A) x ；li(X)是以 Xk k(k(B)35、方程x 2xQ1L,9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù),那么(C) i ；(D) 1.2附近有根,以下迭

12、代格式中在X0kli(k)Xk 12不收斂的是(2x3xk3x2 2.X01234f(x)1243-5(B)確定的唯一插值多項式的次數(shù)為(A) 4；(B)2;(D)3.5；(D)()(C)1；253Xk ； (C)Xk 1Xk Xk(A) Xk 1 學4536、由以下數(shù)據(jù)三、是非題(認為正確的在后面的括弧中打,否那么打)1、觀察值(Xi,yi)(i .,12, m),用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時,Pn(x)的次數(shù)n可以任意取.2、用1- 2近似表示cos(產生舍入誤差.3、5、矩陣A=1、用高斯-塞德爾方法解方程組求按五位有效數(shù)字計算).4x12x2X311X14x22x3182x

13、1X25X322,取x(0)(0,0,0)T,迭代四次(要(x X0)(x X2)答案：迭代格式k(2X2<x1k<x321 -4(k1X121k(k)X1(k) X2x3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、Xi1345f(Xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求fx的三次插值多項式P3x,并求f2 的近似值保存四位小數(shù)L3(x) 2(X-3)(X-4)(X-5)- 6(X-1)(X-4)(X-5)答案:(1 3)(1 4)(1 5)(3

14、 1)(3 4)(3 5)5(x 1)(x 3)(x 5)4(x 1)(x 3)(x 4)(4 1)(4 3)(4 5)(5 1)(5 3)(5 4)差商表為XiYi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f (2)P3(2)5.55、xi-2-1012f (xi)42135求f(x)的二次擬合曲線P2(x),并求f (0)的近似值答案:解:ixiyi2 xi3 xi4 xixi y2xi yi0-244-8r 16r -816 11-121-11-222010000031311

15、r 1r 3342548161020015100343415ao 10a2 1510al 3正規(guī)方程組為10a0 34a2 41P2(x)10311 2x 一 x7 1014a.107,a1P2(x)3103一,a1011x7f (0)P2(0)31011146、sinx區(qū)間0.4, 0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似答案：解： 應選三個節(jié)點,使誤差M 3|R2(X)| 康 | 3(X)|盡量小,即應使1 3(x)|盡量小,最

16、靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求.即取節(jié)點0.5,0.6,0.7最好,實際計算結果sin0.63891 0.596274,Sin 0.638911(0.63891 3!0.5962740.5)(0.63891 90.6)(0.63891 0.7)0.55032 107、構造求解方程e10X 2 0的根的迭代格式xn 1(xn), n0,1,2,討論其收斂性,并將根求出來,104o答案：解：令f(x)10x2,f(0)2f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10f(x)0在(0,1)內有唯一實根.將方程f(x) 0變形為10 (2那么當x(0,1)時(x)110(2 ex)| (X) |

17、X e1010 1故迭代格式Xn 1 一 (2 eXn )10收斂.取X.0.5 ,計算結果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 0086且滿足 lx7 x6 | 0.000 000 95 10 所以 x 0.090 525 0088、利用矩陣的LU分解法解方程組11A LU 21答案：解：35 1x1 2x2 3x3 142x1 5x2 2x3 183x1 x2 5x3 20231424令 Ly b得 y (14

18、, 10, 72)t, Ux y 得 x (1,2,3)T9、對方程組3x1 2x2 10x3 1510x1 4x2 x3 52xi 10x2 4x3 81試建立一種收斂的Seidel迭代公式,說明理由;2取初值x00,0,0T ,利用1中建立的迭代公式求解,要求|x(k 1)x(k)|10 3解：調整方程組的位置,使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10x1 4x2x3 52x1 10x2 4x3 83x1 2x2 10x3 15故對應的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為(k x11)110 (k x21)1 10(2x1(k1)(kx31)103x(k1)4xgk)x3k)5)4x3k) 8)2x2k 1

19、)15)取x0 a0.：經(jīng)7步迭代可得:x* x (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)t10、以下實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)1Ri(n)(f)2104解：當0<x<1時,f(x)ex,那么f (x) e,且oedx有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字,只須誤差由R1(n)(f) gf(),只要_. (n) , x. ee 144Ri( )(e ) 2 2 1012n2M 2即可,解得A 10267.30877所以 n 68,因此至少需將0,1

20、68等份.11、用列主元素消元法求解方程組解:1114 r r54 31212211115r154312八1280一一一55513179055511 1 x1454 3 x2122 11 x311o54 312111421111431213179555128555431213179555551313回代得12、取節(jié)點X0 0,x1x3136,x130.5, x2 1,求函數(shù)f(x) e 在區(qū)間0,1上的二次插值多項式B(x),并估計誤差.解:B(x) e(x 0.5)(x 1)0.5e(0 0.5)(0 1)(x 0)( x2(x15、(x 0)(x 1)(0.5 0)(0.50.5)(1 0

21、)(1 0.5).0 50.5)(x 1) 4e . x(x 1)1)_1 ,_2e x(x 0.5)f(x) e x,f故截斷誤差(x) ex,M3北xjf (x)l 1|R2(x)| |e x1已(x)| 3!|x(x 0.5)( x1)1用牛頓(切線)法求 廄的近似值.取x0=1.7,計算三次,保存五位小數(shù).解：依是f(x) x2 30的正根,f (x) 2x,牛頓迭代公式為xn 1 xnx2 3xn32xnxn 1'''2 2xn(n 0,1,2,)n123xn1.732351.732051.73205取x0=1.7,列表如下:16、f (-1)=2, f (1

22、)=3, f (2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)Sf (1, 5)的近似值,取五位小數(shù).解:L2(x) 2(x 1)(x 2)(1 1)( 1 2)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1) 34(1 1)(1 2)(2 1)(21)|(x 1)(x 2)342(x 1)(x 2) 3(x 相1)f(1.5)L2(1.5)240.041673118、用Gauss-Seide迭代法求解線性方程組1取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次,保存三位小數(shù).解：Gauss-Seidel迭代格式為：x1x2x3系數(shù)矩陣1取 X(0)=(0,0,0)T,20、解:atx1)3(x3k)

23、5)(k x21)3 xUx3k)1)X(k x31)1( x(k 1)：x2k 1)8)嚴格對角占優(yōu),故Gauss-Seidel迭代收斂.ky(k) x1x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359 -2.526列表計算如下：8分用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):xi19253038yi19.032.3 49.073.32span1, x 1192解方程組111252 312 382ATAC ATy19.032.3 49.0 73.3其中T 4 ata33913391 3529603ATy173.617998

24、0.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577, b 0.0501025322、15分方程x對應迭彳t格式Xn 1%人 1 ； (2)xn 1x對應迭代格式113% ; (3) x x3 1 對應3迭代格式4 1 xn精確到小數(shù)點后第三位.判斷迭代格式在X. 1.5的收斂性,選一種收斂格式計算 x 1.5附近的根,1608 1,故收斂;(2)(3)(x)(x)2X2 '1 1/、2W x,|(1.5)|.7 1,故收斂;3x2(163田1,故發(fā)散.選擇(1)：Xo1.5Xi1.3572X21.3309X31.3259X4x5 1.32476X6 1.3247

25、223、(8分)方程組 AX f ,其中1.32494324A 341 f 301424(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式.(2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑.x1(k1)1(24 3x2k)4x2k 1)1(30 3或 x3k)4x3k1)1(24 x2k)4解：Jacobi 迭代法：k 0,1,2,3,Gauss-Seidel 迭代法:_ 1BjD (L U)X1(k1)-(24 3x2k)4x2k 1)1 (30 3x1(k1) x3k)4x3k1)1( 24 x2k1)4k0,1,2,3,0340303/0%04(Bj)屬或日)0.79056

26、931、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點,用插值法計算,115的近似值,并利用余項估計誤差.用Newton插值方法：差分表:=10.72275553 5f''' X -X 281001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)f'''R 115 100 115 121 115 14431 35100 2 15 6 29 0.001636833、10分用Gauss列主元消去法解方程組:X

27、1 4x2 2x3243x1 X2 5 X3342x1 6x2 x3 273.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875x 2.0000,3.0000,5.0000 T34、8分求方程組xix2的最小二乘解.3 6 x1AT A x ATb6 14 x2假設用Householder變換,那么：81.3333一 x202.0000A,b1.73205003.46410 4.618800.366031.52073