1、類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtMBC 中，/C=90a.(1)已知 a=6 , c=10，求 b, (2)已知 a=40 , b=9 ,求 c； (3)已知 c=25 , b=15思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析:在 ZABC 中，/ C=90,a=6 , c=10,b= &=*(2)在ZABC 中，ZC=90,a=40 , b=9,c= 8十=41在ZABC 中，ZC=90,c=25 , b=15,a=【變式】：如圖/ B= ZACD =90【答案】. /ACD=90又/ABC=90且BC=3°, AD =13,

2、CD=12, BC=3,則 AB 的長是多少?AD =13, CD=12. AC2 =AD 2 CD2=13 2-122二25. AC=5由勾股定理可得AB2= AC2 BC2=5 2-32二16 AB= 4 .AB的長是4.類型二：勾股定理的構造應用2、如圖，已知：在上中,AZB = 60c .40 = 70 AB =30.求:BC的長.AD IBC于D,則有進而求出 BC思路點撥：由條件/口口，想到構造含3。口角的直角三角形，為此作N助4 .貪尸，2,再由勾股定理計算出 AD、DC的長,的長.解析：作A£)rBCZBAD = 90°- 60° = 30c (及

3、A的兩個銳角互余)BD = -AB = A5口2(在及A中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半） 根據勾股定理，在 和樨口中,AdSRBD： = J303 15、= 1 1回 .根據勾股定理，在 松上仃口中，C0三JQ-M =小心困乂3三65 . 土二二 S5 二二:二七一15二丁 .舉一反三變式1】如圖，已知："=90口，AM = CM ? AfP_LF于p.求證：月?？=幺/+7'3B解析：連結BM ,根據勾股定理，在 &A3MP1中，由二 RM4 - F/ .而在&44Mp中，則根據勾股定理有Mh=H婚AP2 .,一 .

4、，- - - I -又: 二 Z/ （已知），工 注一二: .在BlCM中，根據勾股定理有em2-cm = bc2?BPBC+AP2【變式2】已知：如圖，/ B=/D=90,zA=60,AB=4 , CD=2 。求：四邊形 ABCD的面積。分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、BC交于點E,根據本題給定的角應選后兩種，進一步根據本題給定的邊選第三種較為簡單。 解析：延長AD、BC交于E。 g /60 ° , zB=90 ° ,E=30 .AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , .BE2=AE 2-AB 2=8 2-4

5、2=48 , BE=必” =不后。 . DE2= CE 2-CD 2=4 2-2 2=12 , .1.DE= 巫=2吐>?6-f3 S 四邊形 ABCD =S 3BE-S ZCDE= & AB BE-工 CD DE=八類型三：勾股定理的實際應用北*(一)D A用勾股定理求兩點之間的距離問題/ '3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東 60 方向走了左5。0力m到達b點，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m到達目的地C點。'(1)求A、C兩點之間的距離。(2)確定目的地C在營地A的什么方向。解析：(1 )過B點作BE/ADZDAB= /A

6、BE=60 °,.30 + ZCBA+ ZABE=180 °JCBA=90 °即評BC為直角三角形由已知可得：BC=500m , AB=和07加由勾股定理可得：-'所以(2)在 RtMBC 中，,.BC=500m , AC=1000mJCAB=30 ° ZDAB=60 °ZDAC=30 °即點C在點A的北偏東30。的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過 該工廠白廠門？【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于

7、CH .如圖所示，點 D在離廠門中線 0.8米處，且CDXAB , 與地面交于 H .解：OC=1米（大門寬度一半），OD = 0.8米（卡車寬度一半）在Rt個CD中，由勾股定理得：CD=o.6 米,CH= 0 . 6 + 2 .3 = 2 . 9 （米） 2 . 5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分.請你幫助計算一下，哪種架設方案

8、最省電線.思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進 行比較，得出結論.解析：設正方形的邊長為 1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3圖（3）中，在RtAABC中七爐:版同理''圖（3）中的路線長為2七歷周2.828圖（4）中，延長 EF交BC于H,則FH± BC, BH = CH300,3ZZ -由/FBH=/及勾股定理得：史， FH二更ea=ed = fb = fc= 3；6在.EF= 1-2FH = 1- $此圖中總線路的長為4EA+EF = 1+/用2.732 3

9、>2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm ,高AB為4cm , B C是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點 C,試求出爬行的最短路程.解:cm ,根據勾股定理得如圖，在RtABC中，B (2=底面周長的一半=1 0(提問：勾股定理). ac=jW+M ="+© =2必 10. 77 ( cm )(勾股定理).答：最短路程約為10.77 cm .類型四：利用勾股定理作長為 赤 的線段5、作長為 血、4、五的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為 i的等腰直

10、角三角形，斜邊長就等于 忘，直角邊為0和i的直角三角形斜邊 長就是 痘,類似地可作 右。作法：如圖所示(1)作直角邊為1 (單位長)的等腰直角 ACB,使AB為斜邊；(2)以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角用胡。斜邊為"3 ;(3)順次這樣做下去，最后做到直角三角形”遇，這樣斜邊用Z、碼、月邑、帆的長度就是、 、 、 。舉一反三【變式】在數軸上表示 J10的點。解析：可以把師 看作是直角三角形的斜邊，=i。，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數，而10又是9和1這兩個完全平方數的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數軸上找到 A點，使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=

11、1 ,以OC為半徑，以O為圓心做弧，弧與數軸的交點 B即為J1。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 .原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等.（正確）思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2 .逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3 .逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4 .逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.（正確）總結升華：本題

12、是為了學習勾股定理的逆命題做準備。7、如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。思路點撥：要判斷A ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關系，而題目中只有條件a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,（a-3） 2+（b-4） 2+（c-5） 2=0。. （a-3） 2R, （b-4） 2 >0, （c-5） 2>0Oa=3 , b=4 , c=5。32+

13、4 2=5 2,a2+b 2=c2o由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形。總結升華：勾股定理的逆定理是通過數量關系來研究圖形的位置關系的，在證明中也常要用到。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，ZB=90 ° ,AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 ,求四邊形 ABCD的面積。【答案】：連結AC ZB=90 ° , AB=3 , BC=4. AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理）.AC=5. AC2+CD 2=169 , AD 2=169.AC2+CD 2=AD 2"CD=90 ° （勾股定理逆定理）S四且皿口 = $癡亡

14、十 $皿=3&.眈* g前B =加【變式2】已知：MBC的三邊分別為 m2 n2,2mn,m 2+n 2（m,n為正整數，且m >n）,判斷AABC是否為直角三角形分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+ b2= c2即可證明:（附"-w3）3 + （2加即=/ - 2族6 +/ +4加,3所以4ABC是直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD , £為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且 BF= 4 AB。請問FE與DE是否垂直？請說明。【答案】答：DELEF。證明：設 BF=a ,貝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a,EF2=BF 2

15、+BE 2=a 2+4a 2=5a 2;DE2=CE2+CD 2=4a 2+16a 2=20a 2。連接DF （如圖）DF2=AF2+AD 2=9a 2+16a 2=25a 2。DF2=EF2+DE2,FE± DE。經典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設未知數，再根據勾股定理 列出方程，求出未知數的值進而求面積。解析：設此直角三角形兩直角邊分別是 3x, 4x,根據題意得：(3x) 2+ (4x) 2 = 202化簡得x2

16、 = 16;2，直角三角形的面積= 之X3x X4x = 6x2= 96總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為 2,求它的面積。【答案】如圖，等邊 ABC ,作AD LBC于D2則：bd=2bc (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合). AB = AC = BC = 2 (等邊三角形各邊都相等).BD= 1在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2=4-1 =3.AD = CJSzabc = B BC AD =電_注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a,則其面

17、積為 a a。【變式2】直角三角形周長為12cm ,斜邊長為5cm ,求直角三角形的面積。【答案】設此直角三角形兩直角邊長分別是x, y,根據題意得：<十"(2)由(1)得：x+y =7,(x+y ) 2 = 49, x2+2xy+y 2 = 49 (3)(3) (2),得：xy= 12，直角三角形的面積是 £xy = 2><12=6 (cm2)【變式3 若直角三角形的三邊長分別是n+1 , n+2 , n+3，求n。思路點撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長 n+3 ,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為n+3 ,由勾股定理可得：(n+1

18、) 2+ (n+2 )2=( n+3 ) 2化簡彳導:n2 = 4，n=±2,但當 n = 2 時，n+1 =1<0 ,，n = 2總結升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜 邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17B、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷,對數據較大的可以用 c2 = a，b2的變形：b2 = c2 a2= ( c a) 例如：對于選擇 D,82w (40+39

19、) X (40 39 ),.以8, 39 , 40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項。【答案】：A【變式 5】四邊形 ABCD 中，ZB=90 ° ,AB=3 , BC=4 , CD=12 ,解：連結AC zB=90 ° ,AB=3 , BC=4. AC2=AB 2+BC 2=25 （勾股定理）. AC=51. AC2+CD 2=169 , AD 2=169.AC2+CD 2=AD 2zACD=90 ° （勾股定理逆定理）.S 四邊形 ABCD =S mbc+Szacd=2 AB BC+ 2 AC CD=36(c+a )來判斷。AD=13 ,求四邊形

20、ABCD的面積。類型二：勾股定理的應用2、如圖，公路 MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN =30° ,點A處有一所中學，AP = 160m 。假設拖拉機行駛時，周圍100m 以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h ,那么學校受影響的時間為多少秒？思路點撥：(1 )要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A,實質上是看 A到公路的距離是否小于 100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。(2)要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行

21、駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。解析：作AB XMN ,垂足為Bo在 RtAABP 中，. ZABP =90° , zAPB = 30 ° , AP=160,2AB=AP = 80。(在直角三角形中，30 °所對的直角邊等于斜邊的一半)點A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么 AC = 100(m),由勾股定理得：BC2 = 100 2-80 2 = 3600, BC = 60。同理，拖拉機行駛到點 D處學校開始脫離影響，那么，

22、 AD=100(m) , BD=60(m), .CD = 120(m)。拖拉機行駛的速度為：18km/h = 5m/st = 120m +5m/s = 24s 。答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。總結升華：勾股定理是求線段的長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法 ，構造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式1】如圖學校有一塊長方形花園, 他們僅僅少走了有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條 “路”。,卻踩傷了花草。解析：他們原來走的路為 3+4 =7(m)設走“捷徑”的路長為xm ,則“行十

23、4' =5故少走的路長為 75 = 2(m)又因為2步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為 角形稱為單位正三角形。1的正三角形，這樣的三(2)(3)直接寫出單位正三角形的高與面積。圖中的平行四邊形 ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD的面積是多少? 求出圖中線段 AC的長(可作輔助線)。【答案】(1)單位正三角形的高為,面積是2I4。£4 乂坐=動(2)如圖可直接得出平行四邊形 ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積4(3)過A作AKXBC于點K (如圖所示)，則在Rt

24、MCK中，叱T1_5AC = Jak*十布1 2 ,故類型三：數學思想方法(一)轉化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且 DE ，DF,若BE=12 , CF=5 .求線段 EF的長。,根據直角三角形思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化 的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接 AD .解：連接AD .因為/BAC=90 ° ,AB=AC . 又因為 AD為祥BC的中線， 所以 AD=DC=DB . AD ±BC.且/BAD= /C=45 °