1、求數列通項公式方法 （ 1） 公式法（定義法）根據等差數列、等比數列的定義求通項例： 1 已知等差數列an滿足：a3 7,a5 a7 26， 求 an；2. 已知數列an滿足a12,an an 1 1（n 1），求數列an的通項公式；3. 數列an 滿足a1 =8， a4 2，且an 2 2an 1 an 0 （ n N ） ，求數列an 的通項公式；4. 已知數列an滿足a1 2, 112，求數列an 的通項公式；an 1 an115. 設數列an滿足a10且 111 ，求 an的通項公式1 an 11 an6. 已知數列an滿足 an 12an ,a1 1 ，求數列an的通項公式。an 2

2、10. 已知數列an滿足a12，且an15n1 2(an 5n) ( n N ) ，求數列an的通項公11. 已知數列an 滿足a12，且an1 5 2n 1 23(an52n2) ( n N ) ，求數列an 的通項公式；112. 數列已知數列an 滿足 a1,an4an 1 1(n 1). 則數列 an 的通項公式=2) 累加法1、累加法適用于：an 1 af(n)若 an 1 an f (n) (n 2) ，則a2 a1a3 a2Lf(1)f(2)an 1anf (n)兩邊分別相加得an 1 a1f(n)例： 1. 已知數列an滿足a11 , an 1 an21，求數列an的通項公式。n

3、2 n n 4n2 1n2. 已知數列 an 滿足an 1 an 2n 1， a1 1 ，求數列an 的通項公式。3. 已知數列an滿足an 1 an 2 3n 1， a1 3，求數列an的通項公式。4. 設數列 an滿足a12， an 1 an 3 22n 1 ，求數列an的通項公式3)累乘法適用于：an 1 f (n)an若an 1anf (n) ，則 2f (1)， 3a1a2f(2)，LL， aann1f(n)n兩邊分別相乘得，an 4、比較系數求5、解得數列an 1 f (n) 的通項公式6、解得數列an 的通項公式例： 1. 已知數列an 中，a1 1,an 2an a1f (k)

4、a1k 1例： 1. 已知數列an滿足an 12(n1)5n an， a1 3，求數列an的通項公式。2. 已知數列an滿足 a123an 1nan ，求an。n13. 已知a13，3n 1an 1an3n 2(n1)，求 an。4)待定系數法適用于 an 1qanf(n)解題基本步驟：1、確定 f (n)2、設等比數列an1 f (n) ，公比為3、列出關系式an 11 f(n 1)2an1 f (n)1 1(n 2) ，求數列an 的通項公式。2. ( 2006，重慶, 文 ,14)在數列ana1 1,an 12an 3(n 1)，則該數列的通項an9. 已知數列an 滿足an 2 5an

5、 1 6an,a11,a2 2 ，求數列an 的通項公式。3.（ 2006. 福建 . 理 22. 本小題滿分14分） 已知數列an 滿足a1 1,an 1 2an 1（n N*）.求數列an 的通項公式；4. 已知數列an滿足an 12an 3 5n， a1 6，求數列an 的通項公式。解：設 an 1 x 5n 12(annx 5)5. 已知數列an滿足an 13an 5 2n 4， a1 1 ，求數列an 的通項公式。解：設an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)6. 已知數列an 中， a1511n1, a n 1an( ) ，求a n6327. 已知數列an 滿足an21

6、 2an 3n 4n 5， a1 1 ，求數列 an的通項公式。解：設an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)8. 已知數列an 滿足an遞推公式為an 2 pan 1 qanp， q 均為常數）。先把原遞推公式轉化為an 2san 1 t(an 1san )其中s，t 滿足 s t pst q10 . 已知數列an 滿足a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N ).( I )證明：數列an 1 an 是等比數列；( II )求數列an 的通項公式；2111 .已知數列an 中，a1 1,a2 2,an2 3an1 3an，求an( 5)遞推公式中

7、既有SnSn 1分析： 把已知關系通過an1,轉化為數列a 或 Sn的遞推關系，然后采用相nSn Sn 1, n 2n n應的方法求解。11 . ( 2005北京卷)數列an的前n項和為Sn，且a1=1，an11Sn，n=1，2，3，n 3n求 a2， a3， a4的值及數列 an的通項公式2 .(2005山東卷)已知數列an的首項 a1 5,前 n 項和為Sn，且Sn1Snn 5(n N*)，證明數列an 1 是等比數列13已知數列an 中， a1 3， 前 n 和 Sn (n 1)(an 1) 12求證：數列an 是等差數列求數列an 的通項公式14. 已知數列an 的各項均為正數，且前

8、n 項和Sn滿足Sn 1 (an 1)(an 2)， 且 a2,a4,a9成nnn6nn等比數列，求數列an的通項公式。6)根據條件找n 1 與 n 項關系151例 1. 已知數列an 中，a1 1,an 1 C 1 ，若 C 5 ,bn 1 ，求數列bn 的通項an2 an 2公式a 1 a (1 1 )a n 1ana1, an 1 ()ann中，n 2ban( I )設 n n ，求數列 bn 的通項公式( 7)倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項2a例： 1. 已知數列an滿足an 12an ,a1 1 ，求數列an的通項公式。an 2( 8) 對無窮遞推數列消項得到第n

9、1 與 n 項的關系例： 1. ( 2004年全國 I 第 15題，原題是填空題)已知數列an滿足a1 1，ana12a2 3a3L(n1)an 1(n2)，求 an的通項公式。2. 設數列an滿足a13a232 a33n 1ann ， a N* 求數列an的通項；nn3n( 8) 、迭代法例： 1. 已知數列an滿足an1a3n(n1)2n，a15，求數列an的通項公式。解：因為an 1an3(n 1)2n ，所以n(n 1)又 a1 5 ，所以數列 an 的通項公式為an 53n 1 n! 2 2 。9) 、變性轉化法1、對數變換法適用于指數關系的遞推公式例： 已知數列an滿足an1 23na5n，a17，求數列an的通項公式。解：因為an123nan5，a17 ，所以 an0，an10 。兩邊取常用對數得lg an 1 5lg an n lg3 lg 22、換元法適用于含根式的遞推關系1例： 已知數列an滿足an1(14an124an)，a11 ，求數列an的通項公式。nn 16nnn解：令 bn1 24an ，則 an1 (bn2 1)nnn 24 n27. 等比數列an 的各項均為正數，且2a1 3a2 1