1、第一章集合與函數的概念第一節集合（1） 集合的概念：集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這 一集合的元素（或簡稱為元）。（2） 集合的表示方法：1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在打括號內表示集合的方法 叫做列舉法2、描述法：一般形式為x I p （x） ,豎線前面的x表示集合中元素的一 般形式，叫代表元素，豎線后的 p （x）表示集合元素 x的公共屬性。在不 引起混淆的情況下，為了簡便，有些集合用描述法表示時，可省去豎線及 左邊的部分，例如由所有圓組成的集合，可表示為圓3、圖示法（

2、也叫 Venn圖法）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或 者說圓圈），用它的內部表示一個集合說明：（1）由列舉法可以看清集合的元素，由描述法可以看清集合的特征（2）列舉法和描述法中的“ ”都有“全體” “集合”的含義，因而，全體整 數中的“全體”二字重復，應為整數（三）元素與集合的關系元素與集合的關系有“屬于”與“不屬于”兩種。一般的，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構 成的集合（或集）。構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。（四）集合的三要素1、確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能 成為集合。例如 個子高

3、的同學”很小的數”都不能構成集合。2、互異性：也就是說，在一個集合中不會重復出現相同的元素。例如集合a,b,b,c,d,d的寫法是錯誤的，應為 a,b,c,d3、無序性：也就是說集合中的元素是沒有順序的，可以任意列出。例如：1 , 3, 2, 1 , 2, 3, 3, 1, 2等（五）集合的分類：1、并集： 以屬于A或屬于B的元素為元素的集合成為A與B的并（集）， 記作“AUB”2、交集： 以屬于A且屬于B的元素為元素的集合成為A與B的交（集）， 記作“ A AB”。3、補集： 對于一個集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為A相對于U的補集，記作“ CuA. ”注:空集屬于任何集合

4、，但它不屬于任何元素.（六）“且”和“或”兩個字的含義1、 “且”的含義：通常理解為“既”、“同時”，例如 AAB,即由A與B的 公共元素組成2、“或”的三層含義：例如 AUB, （1）屬于A的，不屬于B的：（2）屬于B的，不屬于A的：（3）既屬于A又屬于B的（七）子集與真子集1、子集：對于兩個非空集合 A與B ,如果集合A的任何一個元素都是集合B的型L我們就說 A ? B（讀作A包含于B）,或B ? A（讀作B包含A）,稱集合A是集合B的子集。規定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 .空集的子集是它本身2、真子集：如果A ? B,而集合B中至少有一個元素不屬于集合A,則稱集合A是

5、集合B的真子集。任何一個集合是它本身的子集.（八）怎樣求含有n個元素的集合的子集、真子集、非空子集與非空真子集的 個數？1、子集個數：2的n次方個2、真子集個數：2的n次方減1個3、非空子集個數：2的n次方減1個4、非空真子集：2的n次方減2個（九）德摩根律1 .Cu （A n B）= （CuA） U （CuB）2 .Cu（A UB）= （CuA） n （CuB）第二節函數及其表示一、函數的表示方法1、列表法：利用表格來表示兩個變量的函數關系的方法列表法有兩個意義， 第一，在已知函數部分性質的情況下，通過表中的數據比較函數的增減性；第二，通過數據進行函數的擬和或者求函數，一般來說，列表只能看到

6、函數的部分情況，而且不能判斷函數的性質，當然，在知道函數是什么函數的情況下，列表可以助于求出函數解析式或者是做出函數的圖像，列表法是對函數本身損失最大的，因為它丟失了大量的信息，但既然給出的數據列表法也是十分準確的；2、圖像法：利用圖像來表示兩個變量的函數關系的方法圖像法是最直觀的， 但是也是相對最不準確的， 對于連續的函數， 可以通過圖像看出增 減性、零點、頂點、對稱軸的大概位置（就是坐標的范圍），但是不能求出其具體位置。所有函數都有圖像，但并不是所有圖像都有函數，比如圓的方程，因為函數要滿足一一對應性。 在解決線性問題的時候，準確的函數圖像可能可以直接讓你看出答案。3、解析法：用數學等式表

7、示兩個變量的函數關系的方法并不是所有函數都有解析式，對于類似氣溫隨時間變化的函數是沒有解析式的，解析式是為了方便進行數學研究，當然，我們可以通過數學手段對一些東西進行簡單的函數擬和， 從微積分的角度上來看，任何一小段（小到趨于0）的連續圖像都是線性的二、函數的概念1、函數的定義：設A, B是非空數集，如果按照某個確定的對應關系 f,對于集合A中任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f (x)和它對應，那么就稱f: A - B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f (x), xCA,其中x叫做自變量。x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函 數值，函數值的集合f (x)

8、I xC A叫做函數的值域。2、映射的定義：一般地，設 A, B是非空集合，如果按照某個確定的對應關系f,對于集合A中任意一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應(包括集合A、B ,以及集合A到集合B的對應關系f)叫做集合A 到集合B的映射，記作f: A - B注意：只有“多對一”或“一對一”的對應關系才是映射3、函數與映射的關系與區別：相同點：(1)函數與映射都是兩個非空集合中元素的對應關系；(2)函數與映射的對應都具有方向性；(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性；區別：函數是一種特殊的映射， 它要求兩個集合中的元素必須是數，而映射中兩個集合的元素是任意的數學對

9、象。注意：有時函數和映射的對應法則可以用含有兩個變量的等式來表示，在函數中這個式子叫解析式4、兩個函數相同的判斷：當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時。這兩個函數才是同一個函數三、函數的三要素1、定義域：自變量的取值范圍2、對應關系：自變量與因變量的對應關系式3、值域：因變量的取值范圍四、區間：區間是數集的一種表示形式，因此，區間的表示形式與集合的表示形式相同。具體如下：1、有限區間開區間例如:xa<x<b=(a,b) 閉區間 例如:xa < x< b=a,b半開半閉區間 例如:xa<x < b=(a,b x|a <x<b=a,b)b-

10、a成為區間長有限區間在數學幾何上的意義表現為：一條有限長度的線段。注：這里假設a<b2、無限區間 例如： x | a < x = a, +00 ) x | aax = 00 ) x | x < a =(-°°, a x | x<a = ( -°°, a ) x | x R = ( -oo, + oo )無限區間在數學幾何上的意義表現為：一條直線。注：這里假設a<b五、分段函數：對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數.它是一個函數，而不是幾個函數：分段函數的定義域是各段函數定義 域的并集，

11、值域也是各段函數值域的并集.六、函數定義域問題1、抽象函數的定義域(利用整體思想理解)(1)已知函數的定義域，求復合函數的定義域舉例：已知f (x)的定義域為a,b,求f (g (x)的定義域方法：令aW g (x) W b,解得x的范圍即為所求(2)已知復合函數的定義域，求函數的定義域舉例：已知f (g (x)的定義域為a,b,求f (x)的定義域方法：由f (g (x)中aW x W b,求得g (x)的范圍即f (x)中x的范圍理解方法：可以通過換元思想來理解，設 g (x) =t, t相當于f (x)中的x(3)與定義域有關的參數范圍問題考查類型：定義域為R,求參數范圍思想：分類討論，

12、特別是二次項系數為零的討論，易被忽略2、具體函數的定義域(就是使解析式有意義的自變量的取值范圍)(1)如果解析式是整式或奇次根式，則定義域為 R(2)如果解析式是分式，則定義域是使分母不為零的實數的集合(3)如果解析式是偶次根式，則定義域是使根號內的式子大于等于零的實數的 集合(4)對數函數的真數必須大于零；對數函數和指數函數的底數必須大于零且不(5)正切函數y=tanx的定義域是x I 乂*二分之九+卜兀，k C z(6)如果解析式是由幾個部分的數學式子構成的，則定義域是使各部分式子都有意義的實數集合(即求各部分集合的交集)(7)實際問題中函數的定義域是使變量都有意義且符合實際的實數集合七、函數的解析式問題1、已知函數f (x)的解析式，求復合函數f (g (x)的解析式方法：代入法，將g (x)代替f (x)中的x2、已知復合函數f (g (x)的解析式，求函數f (x)的解析式方法;(1)配湊法：在解析式中湊g (x)這個整體(2)換元法，令g (x) =t,解出x,代入解析式例如：已知 f (1/x) =x/1-x ,求 f(x)解：令 1/x=t,x=1/tx/(1-x)=1/t/(1-1/t)=1/(t-1)f(t)=1/(t-1)f(x)=1/(x-1)(3)待定系數法：用待定系數法確定一次函數y=kx+b的解析式的一般步驟是：一代：將從已知條件中得到的