1、必修5數(shù)列礎(chǔ)知識歸納一、數(shù)列的有關(guān)概念：1. 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(1) 數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項.記作務(wù)在數(shù)列第一個位置的項叫第1項(或首 項)，在第二個位置的叫第2項，序號為的項叫第力項辿叫通項)，記作(2) 數(shù)列的一般形式：第，亜，禺，為，簡記作跖.2. 通項公式的定義：如果數(shù)列爲的第力項與力之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這 個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.說明：研表示數(shù)列，礎(chǔ)表示數(shù)列中的第"項，附=«坊表示數(shù)列的通項公式；(2) 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一.例如5 = (1)“二"；2(展Q；(3) 不是每個數(shù)列都

2、有通項公式.例如，1, 1.4, 1.41, 1.414, 從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限于集)的函數(shù)他, 當自變量4從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值爪)，«2), «3),，他,.通 常用給來代替其圖象是一群孤立的點.3. 數(shù)列的分類：(1) 按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；(2) 按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(:遞増數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動 數(shù)列.4. 遞推公式的定義：如果已知數(shù)列綣的第1項(或前幾項)，且任一項心與它的前一項尙.(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞 推公

3、式.5. 數(shù)列仇的前力項和的定義：S“=孫+迪+碼+為=£勺稱為數(shù)列為的前力項和A-I要理解2與礙之間的關(guān)系.6. 等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么 這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母/表示. 即：為為等比數(shù)列 軸+1礎(chǔ)二 2為+| =為+逐+2 aa = kn + b Sa = Aif + Bn.7. 等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么 這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母g表示(</ (),即：礎(chǔ)為等比

4、數(shù)列 為+|：為=g(g 0)d”J=d”2.注意條件“從第2項起”、“常數(shù)” g.由定義可知：等比數(shù)列的公比和項都不為零.二、等差、尊比數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列等比數(shù)列(栩通項公式二箱 + 11)dan='(第 o, (J 0)前力項和S”=“2 1 2Sn =<A叫、q = L4(1一/)|、q h I.l-q性質(zhì)綣二為+ (nni)d訂a討“加 + n = s+ t,則 am+ aa= as +比 m + n = s + t,則 am an =比 ar為，Sm、S、m Sg成AP弘気 S”，九 £，成G (y1或加不為偶數(shù))畋，力女+> 成月P，d二 md禺，a

5、*、亦“成GP、</=屮注：1.等差(等比)數(shù)列亦的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差(等比)數(shù)列.2.三個數(shù)成等差的設(shè)法：a四個數(shù)成等差的設(shè)法：$ 3d, w d,心,a + 3；3. 三個數(shù)成等比的設(shè)法S叭鈴；四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：刃”g,叫,対(為 什么？)4. 仏為等差數(shù)列，則卜 (O0)是等比數(shù)列.5. 6(亠> ()是等比數(shù)列，則logA (c> 0且El)是等差數(shù)列.6. 公差為的等差數(shù)列仏中，若>0, 5W仇是遞增數(shù)列；若=(),則仏是常數(shù)列； 若dvO,則仇是遞減數(shù)列.7. 等比數(shù)列尬中，若公比為g,則(1)當綢>(),g>l或綢V(),

6、0<v< 1時為遞增數(shù)列； 當綢V(), g>l或坷>(), 0<9< 1時為遞減數(shù)列；當g V o時為擺動數(shù)列；(4)當g = 1時為常數(shù)列8. 等差數(shù)列前項和最值的求法：(1)禺>0, *0時,S.有最大值；角vo, >()時，£有最小值.Q最值的求法：若已知s“，可用二次函數(shù)最值的求法S N*）；若已知缶 則：取最值時的值（ NT可如下確定：£最大值或2最小 昭5 0值心）三、常見數(shù)列通項的求法：1定義法（利用月只GP的定義）.2.累加法(為+1+ + Q an= ca型)：綣=級+ (力22).絢）+ fe農(nóng)+ （為

7、殆1)二級 + QG3.公式法："”=、S(n = 1)亠一 S”wn2)4累乘法（也=（型）：玉二禺, 1 一 aGQ 5 2).%5.待定系數(shù)法：0+1 二例 + b (g(),g1, b0）型，轉(zhuǎn)化為軸“ +-Y=陰 + X).可以將其改寫變形成如下形式:附二a磚+£）,于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求岀其通項公式.q -1八g 16.間接法（例如：為I為=4磚+問 - = -4）.%】5四、數(shù)列的求和方法：除化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和外，還有以下一些常用方法：1 拆項求和法包=ba：將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列（如等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)數(shù)列等等），然后分別求和.女口

8、為=2力+3»2. 并項求和法：將數(shù)列的相鄰兩項（或若干項）并成一項（或一組）先求和，然后再求 如 a 5 = 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + *.-+（2«-1）2-（2«）2 的求和.3. 裂項相消法：將數(shù)列的每一項拆（裂開）成兩項之差，即綣=儉2+1）3,使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項.用裂項相消法求和，需要拿握一些常見的裂項, "°（An + B）（An + C） C - B An + B An + C ' n（n +1） n “ + 1、y/a + >Jb a_b“" 等.4.

9、 錯位相減法：將一個數(shù)列的每一項都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯動一個 位置與原數(shù)列的各項相減，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法.對一個由 等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項二積組成的數(shù)列的前"項和，常用錯位相減法.即錯位 相減法一般只要求解決下述數(shù)列的求和：若込二 仏 其中®是等差數(shù)列，° 是等比數(shù)列，則數(shù)列仇的求和運用錯位相減法.i己 $ =+ 色勺 + +貝I呱=bg+ 5心+ 4- ba xca+ bnca¥Xy 如 = （2n1）25. 倒序相加法：將一個數(shù)列的倒數(shù)第公項仗=1, 2, 3,，功變?yōu)轫様?shù)第2項，然后 將得到的新數(shù)列與原數(shù)列相加，這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法.注意：“數(shù)列求和”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，在中學髙考范圍內(nèi)，學習數(shù)列求和不需 要學習任何理論，上面所述求和方法只是將一些常用的數(shù)式變換技巧運用于數(shù)列求和 之中“錯位”與“倒序”求和的方法是比較特殊的方法數(shù)列求通項凡和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適的方法(4)重要公式： 1 + 2 + + n = i+ 1);卩 + 2? + + ir 二*如+ 1)(2+ 1); 1' + 2'