1、 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT確定信號：隨時間做有規律的、知的變化。可以用確定的確定信號：隨時間做有規律的、知的變化?？梢杂么_定的 時間函數來描畫。如：方波、鋸齒波。人們可以準確地預測時間函數來描畫。如：方波、鋸齒波。人們可以準確地預測它未來的變化，即：這次測出的是這種波形，下次測出的還它未來的變化，即：這次測出的是這種波形，下次測出的還是這種波形。是這種波形。t確定信號確定信號隨機信號：隨時間做無規律的、未知的、隨機信號：隨時間做無規律的、未知的、“隨機的變化。無隨機的變化。無法用確定的時間函數來描畫，無法準確地預測它未來的變

2、化。法用確定的時間函數來描畫，無法準確地預測它未來的變化。這次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。這次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。隨機信號隨機信號t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT第第2章隨機信號概論章隨機信號概論本章要求：本章要求： Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT第第2章章 隨機信號概論隨機信號概論2.2 隨機過程的統計特性隨機過程的統計特性2.3 隨機序列及其統計特性隨機序列及其統計特性 2.1 隨機過程的概念及分類隨機過程的概念及分類 F

3、undamental Theory of Electrical EngineeringLUT2.1 隨機過程的概念及分類隨機過程的概念及分類隨機信號：隨時間做無規律的、未知的、隨機信號：隨時間做無規律的、未知的、“隨機的變化。無法隨機的變化。無法用確定的時間函數來描畫，無法準確地預測它未來的變化。這用確定的時間函數來描畫，無法準確地預測它未來的變化。這次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。次測出的是這種波形，下次測出的會是另一種波形。050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505接納機噪聲 ！隨機信號的統

4、計特性 是確定的。 因此，用統計學方法建立了隨機信號的數學模型隨機過程。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1km111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX tx t( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t例：在一樣條件下，對同一雷達接納機的內部噪聲電壓或電例：在一樣條件下，對同一雷達接納機的內部噪聲電壓或電流經過大量的反復測試后，設觀測到的一切的能夠結果有流經過大量的反復測試后，設觀測到的一切的能夠結果有m m種，記錄下種，記錄下m m個不一樣的波形。個不一樣的波形。

5、Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT特定實驗結果 一個確知的時間函數一.隨機過程的定義定義定義1 1：設隨機實驗：設隨機實驗E E的樣本空間的樣本空間S S,假設對每個元素假設對每個元素SS，總有確知的時間函數總有確知的時間函數X(t,),tTX(t,),tT與它相對應；這樣，對于所與它相對應；這樣，對于所有的有的SS，就可以得到一族時間，就可以得到一族時間t t的函數，將其稱為隨機過程。的函數，將其稱為隨機過程。族中的每一個函數稱為該過程的樣本函數。族中的每一個函數稱為該過程的樣本函數。( ,)iiX t適用于對隨機過程的實踐觀測適用

6、于對隨機過程的實踐觀測 用實驗方法觀測到各個樣本用實驗方法觀測到各個樣本樣本數目越多，越能掌握隨機過程的統計規律性樣本數目越多，越能掌握隨機過程的統計規律性 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT常用于實際分析常用于實際分析可以看成隨機變量的推行可以看成隨機變量的推行n n維維隨機變量的維數越大，越能掌握隨機過程的統計規律性隨機變量的維數越大，越能掌握隨機過程的統計規律性一個特定時間 一個取決于的隨機變量定義定義2 2：假設對于每個特定的時間：假設對于每個特定的時間 都是隨機都是隨機變量，那么稱變量，那么稱 為隨機過程。為隨機過程。(1,

7、2,) , ( , )iit iX t( , )X t( , )iitX t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 1 1 一個時間函數族一個時間函數族t t和和都是變量都是變量 2 2 一個確知的時間函數一個確知的時間函數t t是變量，而是變量，而固定固定 4 4一個確定值一個確定值t t和和都固定都固定 3 3一個隨機變量一個隨機變量t t固定，而固定，而是變量是變量隨機過程X(t)在四種不同情況下的含義 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT二.隨機過程的分類 按隨機過程按隨

8、機過程X(t)的時間和形狀是離散還是延續進展分類的時間和形狀是離散還是延續進展分類1 延續型隨機過程延續型隨機過程恣意的恣意的 都是延續型隨機變量；都是延續型隨機變量；2 離散型隨機過程離散型隨機過程恣意的恣意的 都是離散型隨機變量；都是離散型隨機變量；3 延續隨機序列延續隨機序列 恣意離散時辰的形狀是延續型隨機變量；恣意離散時辰的形狀是延續型隨機變量；4 離散隨機序列離散隨機序列 隨機過程的時間和形狀都是離散的。隨機過程的時間和形狀都是離散的。11 , ( )tTX t11 , ( )tTX t狀態時刻連續型隨機過程連續連續連續隨機序列連續離散離散型隨機過程離散連續離散隨機序列離散離散tXi

9、( t )+ 1- 1 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 按隨機過程的樣本函數的方式不同進展分類按隨機過程的樣本函數的方式不同進展分類不確定性隨機過程不確定性隨機過程樣本函數的未來值不能由過去的觀測樣本函數的未來值不能由過去的觀測值準確預測；值準確預測；確定性隨機過程確定性隨機過程 樣本函數的未來值可以由過去的觀測樣本函數的未來值可以由過去的觀測值預測。值預測。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 按隨機過程按隨機過程X(t)X(t)的的分布函數或概率密度的不同特性分類的的

10、分布函數或概率密度的不同特性分類正態過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程正態過程、馬爾可夫過程、獨立增量過程平穩性過程、遍歷性平穩性過程、遍歷性寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲寬帶過程、窄帶過程、白噪聲、有色噪聲EXIT Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2.2 隨機過程的統計特性隨機過程的統計特性 隨機過程是一族依賴于時間t的隨機變量。因此，可以借用對隨機變量的分析來“替代或“近似對隨機過程的分析研討。而隨機過程作為一族時間函數，在詳細某次實驗中出現哪個時間函數是服從某種概率分布的，這就要求分析隨機過程必需采用統計的方法來描畫。 統

11、計特性的描畫方法有兩種：一是經過分布函數或概率密度函數來描畫；另一種是利用數字特征來描畫。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT一.隨機過程的概率分布 時辰采樣，得到一族隨機變量 12, ,nt tt12( ),( ),( )nX tX tX t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1. 一維概率分布 隨機過程在任一特定時辰 取樣得到隨機變量 ，其概率分布為稱作隨機過程X(t)的一維分布函數。 求偏導數數可得稱作隨機過程X(t)的一維概率密度。 1tT1( )X t1111( ;

12、 )( )XFx tP X tx11111( ; )( ; )XXFx tfx tx Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 隨機過程的一維分布函數和一維概率密度具有一維隨機變量隨機過程的一維分布函數和一維概率密度具有一維隨機變量的一維分布函數和一維概率密度的各種性質；的一維分布函數和一維概率密度的各種性質； 隨機過程的一維分布函數和一維概率密度還是時間隨機過程的一維分布函數和一維概率密度還是時間t t的函數；的函數； 隨機過程的一維分布函數和一維概率密度描畫該隨機過程在隨機過程的一維分布函數和一維概率密度描畫該隨機過程在任一孤立時辰取值

13、的統計特性。任一孤立時辰取值的統計特性。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)二維概率分布二維概率分布 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2. 二維概率分布隨機過程X(t)的二維分布函數為隨機過程X(t)的二維概率密度為12121122( ,; , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx21212121212( ,; , )( ,; , )XXFx x t tfx x t tx x ！X(t1)X(t1)及及X(t2)X(t2)為同一隨機過程上的隨機變量。為同一隨機過程上的隨機變量。 Fundamental Theo

14、ry of Electrical EngineeringLUTX(t)tt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)隨機過程X(t)的n維分布函數為 隨機過程X(t)的n維概率密度為12121122( ,; , , ) ( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX tx1212121212( ,; , ,)( ,; , ,) XnnnXnnnfx xx t ttFx xx t ttx xx 3. n維概率分布 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 隨機過程X(t)的n維分布函數的主要性質：1、2、3、4、5

15、、6、假設 統計獨立，那么有1212( ,; , , )0Xnnfx xx t tt121212( ,; , ,)1Xnnnnfx xx t tt dx dxdx重121212()1212( ,; , ,)( ,; , ,)Xnnmmnn mXmmfx xx t tt dxdxdxfx xxt tt重12( ),( ),( )nX tX tX t12121122( ,; , ,)( ; )(; )(; )XmmXXXnnfx xxt ttfx tfx tfx t1212(,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , , )1XnFt tt Fundamental Theo

16、ry of Electrical EngineeringLUT例例 設隨機振幅信號設隨機振幅信號 ，其中，其中 是常數，是常數，Y Y是均值是均值為零，方差為為零，方差為1 1的正態隨機變量，求的正態隨機變量，求 時的概率密時的概率密度。度。tYtX0cos)(0002,32, 0t解2221)0 ,(xXexf由X(0)=Y可知YX21320)(2)()32,(0yfdxdyyfxfYYX2202)32,(xXexf可得：02cos20YX)(2,0 xxfX不論Y值的大小，當 時，X(t)=0，即PX(t)=0=1，這就是說X(t)的分布函數 ，因此其概率密度函數為沖激函數。02t)()(

17、xUxFX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT *雖然隨機過程的概率分布族可以完好地描畫其統計特性， 但在實踐運用中確定這些分布特性非常困難，甚至不可行*二.隨機過程的數字特征區別：隨機變量的數字特征通常是確定值；隨機過程的數字特征通常是確定性函數。 計算方法：先把時間t固定，然后用隨機變量的分析方法來計算。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 假設將過程X(t)中的 t 看成是固定的，那么 X(t)就是一個隨機變量。設它隨機的取值x，那么其在 t 時辰取x值的概率密度為 。

18、 因此，期望的定義： mx(t) 描畫了X(t)一切樣本函數在各個時辰擺動的中心X(t)在各個時辰的形狀(隨機變量)的數學期望。( , )Xfx t1、數學期望 1( )Xmtit)(0)(tmttXX1t( )Xim t)(),()(tmdxtxfxtXEXX物理意義：假設隨機過程表示接納機的輸出電壓，那么它的數學期望就是輸出電壓的瞬時統計平均值。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2、均方值與方差 隨機過程 在任一時辰t的取值是一個隨機變量 。稱其二階原點矩為隨機過程的均方值，把二階中心矩記作隨機過程的方差。即： )(tXdxtx

19、fxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222)()()(tmtXEtXX)(tX隨機過程 的均方差：)()()(2tttXDXX)(tX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 物理意義：假設 表示噪聲電壓，那么均方值 和方差 分別表示耗費在單位電阻上的瞬時功率統計平均值和瞬時交流功率統計平均值。 )(tX)(2tXE)(tXDX(t)Y(t)Z(t)X(t)Y(t)Z(t)*identical mean but different variance* Fundamental Theor

20、y of Electrical EngineeringLUT例例 設隨機振幅信號為設隨機振幅信號為 X(t) = Qsin(X(t) = Qsin(0t)0t)，其中，其中 0 0 為常數，為常數，Q Q 為規范正態隨機變量，求該隨機信號的均值和方差？為規范正態隨機變量，求該隨機信號的均值和方差？)(sin)(sin)(0)sin()(0202220ttQEtXEtQEtXE解：均值方差 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT3、自相關函數 自相關函數用來描畫隨機過程恣意兩個時辰形狀間的統計關聯程度，通常用 描畫。 ),(21ttRX)(

21、)(),(2121tXtXEttRX 21212121),;,(dxdxttxxfxxX假設t1=t2=t，那么有)()()()(),(),(2221ttXEtXtXEttRttRXXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例 假設隨機過程假設隨機過程X(t)X(t)為：為：X(t)=Vcos4tX(t)=Vcos4t，式中，式中V V是隨機變量，是隨機變量，數學期望為數學期望為5 5、方差為、方差為6 6，求隨機過程的均值和自相關函數，求隨機過程的均值和自相關函數. .解： 24cos14cos31)24)(cos14(cos)2,

22、 1(4cos5)4(cos)(2ttVEttttRtVEttmXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT4、自協方差函數 假設用隨機過程的兩個不同時辰之間的二階混合中心矩來定義相關函數，我們稱之為自協方差。用 表示，它反映了恣意兩個時辰的起伏值之間相關程度。 ),(21ttCX)()(),(2121tXtXEttCX)()()()(2211tmtXtmtXEXX2121212211),;,()()()()(dxdxttxxftmtXtmtXXXX 自協方差和自相關函數的關系 )()(),()()()()()()(),(21212121

23、2121tmtmttRtmtmtXtXEtXtXEttCXXXXXX。自協方差和方差的關系: 假設t1=t2=t，那么有)()()(),(),(221tXDtmtXEttCttCXXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT5、相互關函數 自相關函數是描畫一個隨機過程本身內在聯絡的數字特征，而相互關函數那么是描畫兩個隨機過程間統計關聯特性的數字特征。dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY ),;,()()(),(212121中心化相互關函數，也稱互協方差函數為)()(),()()(),(21212121tmtmttRtYtXEtt

24、CYXXYXY。兩個隨機過程的相互關函數定義為 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT6、統計獨立、不相關和正交1)、隨機過程X(t)和Y(t)相互統計獨立假設對恣意的mntttttt,;,2121),;,(),;,(),;,(2121212121212121mmYnnXmnmnXYtttyyyftttxxxfttttttyyyxxxf那么稱X(t)和Y(t)之間是相互統計獨立。對二維概率密度那么有：);();(),;,(2121tyftxfttyxfYXXY Fundamental Theory of Electrical Engine

25、eringLUT)()()()();();()()(),(21212121tmtmtYEtXEdytyyfdxtxxftYtXEttRYXYXXY)()()()(),(221121tmtYtmtXEttCYXXY互協方差函數相互關函數0)()(),()()()()(21212211tmtmttRtmtYEtmtXEYXXYYX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2). 假設兩個隨機過程X(t)和Y(t)的互協方差函數為零,即 ,那么稱X(t)和Y(t)之間互不相關。0),(21ttCXY0)()(),(2121tYtXEttRXY!

26、兩個過程相互獨立，那么必不相關，反之那么不一定成立； 兩過程正交不一定不相關，除非它們至少有一個零均值。3). 假設兩個隨機過程X(t)和Y(t)之間的相互關函數等于零，即對 恣意t1，t2有：那么兩過程正交。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例 設隨機過程設隨機過程X(t)=UtX(t)=Ut，U U在在(0,1)(0,1)上均勻分布，求上均勻分布，求EX(t)EX(t)，DX(t)DX(t)，Rx(t1,t2)Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)Cx(t1,t2)。 解：解：1021212121212212121201212

27、1212101( )0( ) ( )2( , )( )( )( )3( , )( , )( )( )3UUXUXXufutE X tE U tt E Utufu dutuduRt tE X t X tE U t U tt tE Ut tt tufu dut tu dut ttCt tRt tm tm t ，其它121222 212( )( , )12Xtt ttD X tCt t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例2.3 2.3 假設一隨機過程由以下圖所示的四條樣本函數組成，而且假設一隨機過程由以下圖所示的四條樣本函數組成，而且每

28、條樣本函數出現的概率相等，求每條樣本函數出現的概率相等，求RX (t1, t2) RX (t1, t2) 。 解：由題意可知，隨機過程解：由題意可知，隨機過程X(t)X(t)在在 t1, t2 t1, t2 兩個時辰為兩個離散兩個時辰為兩個離散隨機變量。所以可列出結合分布率如下：隨機變量。所以可列出結合分布率如下：X(t1) X(t2) Pi1 151/42 241/43621/44311/4 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1212( , )1(1 52 46 23 1)74iXiRt tkkP 1212112212( , )(

29、),( ),XXRt tk kP X tk X tkk k Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT三.隨機過程的特征函數 對某一固定t時辰的形狀, 那么隨機變量X(t)的一維特征函數：);(),()(tjuXXjuxXeEdxtxfetu將t看成變量， 就是隨機過程X(t)的特征函數。),(tuX其逆變換：duetutxfjuxXX);(21),(n階原點矩：0),()()(uutujtXEnXnnn1. 一維特征函數 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2. 二維特征函數 隨機過

30、程X(t)在恣意兩個時辰t1,t2的形狀構成二維隨機變量 X(t1), X(t2) ，它們的結合特征函數為： 稱作隨機過程X(t)的二維特征函數。 2121212211)()(2121),;,()exp(),;,(2211dxdxttxxfxjuxjueEttuuXtXjutXjuX其逆變換： 21)(2121221212211),;,()2(1),;,(duduettuuttxxfxuxujXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT因此，隨機過程X(t)的相關函數為： 上式兩邊對變量u1，u2各求一次偏導數，0, 0212121222121|),;,()(),(uuXXuuttuujttR),(),;,(),;,(),;,(21212121210212121)(2120212121221221121ttRdxdxttxxfxxdxdxttxxfexxjuuttuuXXuuXxuxujuuX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT3. n維特征函數nnnXxjuxjutXjutXjunnXdxdxttxxfeeEttuunnnn.),.,;,.,(.),.,;,.,(111).()(.)(111111nxuxujnnXnnnXduduettuuttxxfnn.),