1、蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模大作業(yè)學(xué)院：機(jī)電工程學(xué)院班級：車輛093 學(xué)號：200903812 姓名：劉鍵 學(xué)號：200903813 姓名：楊海斌 學(xué)號：200903814 姓名：彭福泰學(xué)號：200903815 姓名：程二永學(xué)號：200903816 姓名：屈輝高速公路問題1實(shí)驗案例11.1高速公路問題(簡化)11.1.1問題分析11.1.2變量說明21.1.3模型假設(shè)21.1.4模型建立21.1.5模型求解21.1.6求解模型的程序31 實(shí)驗案例1.1 高速公路問題(簡化)A城和B城之間準(zhǔn)備建一條高速公路，B城位于A城正南20公里和正東30公里交匯處，它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價與地形特

2、點(diǎn)有關(guān)，圖4.2.4給出了整個地區(qū)的大致地貌情況，顯示可分為三條沿東西方向的地形帶。你的任務(wù)是建立一個數(shù)學(xué)模型，在給定三種地形上每公里的建造費(fèi)用的情況下，確定最便宜的路線。圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜。而路徑ARSB過山地的路段最短，但是否是最好的路徑呢？ 平原 R · P 高地高山高地S 平原A B圖8.2 高速公路修建地段1.1.1 問題分析在建設(shè)高速公路時，總是希望建造費(fèi)用最小。如果要建造的起點(diǎn)、終點(diǎn)在同一地貌中，那么最佳路線則是兩點(diǎn)間連接的線段，這樣費(fèi)用則最省。因此本問題是一個典型的最優(yōu)化問題，以建造費(fèi)用最小為目標(biāo)，需要做出的決策則是確定在各個地貌交界處的匯合

3、點(diǎn)。1.1.2 變量說明：在第i個匯合點(diǎn)上的橫坐標(biāo)（以左下角為直角坐標(biāo)原點(diǎn)），i1，2，4；x530（指目的地B點(diǎn)的橫坐標(biāo)）x=x1，x2，x3，x4Tli ：第i段南北方向的長度（i1，2，5）Si：在第i段上地所建公路的長度（i1，2，5）由問題分析可知，C1：平原每公里的造價（單位：萬元/公里）C2：高地每公里的造價（單位：萬元/公里）C3：高山每公里的造價（單位：萬元/公里）1.1.3 模型假設(shè)1、 假設(shè)在相同地貌中修建高速公路，建造費(fèi)用與公路長度成正比；2、 假設(shè)在相同地貌中修建高速公路在一條直線上。在理論上，可以使得建造費(fèi)用最少，當(dāng)然實(shí)際中一般達(dá)不到。1.1.4 模型建立在A城與B

4、城之間建造一條高速公路的問題可以轉(zhuǎn)化為下面的非線性規(guī)劃模型。優(yōu)化目標(biāo)是在A城與B城之間建造高速公路的費(fèi)用。1.1.5 模型求解這里采用Matlab編程求解。模型求解時，分別取Ci(i=1,2,3)如下。平原每公里的造價C1400萬元/公里；高地每公里的造價C2800萬元/公里；高山每公里的造價C31200萬元/公里。輸入主程序model_p97.m，運(yùn)行結(jié)果如下：model_p97optans = 2.2584e+004len = 38.9350ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269求解程序見附錄。注：實(shí)際建模時必須查找資料來確定參數(shù)或者題目給定有數(shù)據(jù)）6.

5、模型結(jié)果及分析通過求解可知，為了使得建造費(fèi)用最小。建造地點(diǎn)的選擇宜采取下列結(jié)果。x1=12.1731，x2=14.3233，x3=15.6677，x4=17.8269建造總費(fèi)用為2.2584億元。總長度為38.9350公里1.1.6 求解模型的程序（1）求解主程序model_p97function x=model_p97 %數(shù)學(xué)建模教材 P97 高速公路clear allglobal C LC=400 800 1200;L=4 4 4 4 4;x=fmincon('objfun_97',1,1,1,1,zeros(1,4),ones(1,4)*30,'mycon_p97

6、');optans=objfun_97(x)C=ones(3,1);len = objfun_97(x)（2）模型中描述目標(biāo)函數(shù)的Matlab程序objfun_97.mfunction obj=objfun_97(x)global C Lobj=C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2) + C(2)*sqrt(L(2)2+(x(2)-x(1)2) + . C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2) C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3)2)+C(1)*sqrt(L(5)2+(.30-x(4)2);（3）模型中描述約束條件的Matlab函數(shù)mycon_p9

7、7.mfunction c,ceq=mycon_p97(x)c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=;綜合實(shí)驗：施肥效果分析【問題提出】施肥效果分析 （1992年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽題A） 某地區(qū)作物生長所需的營養(yǎng)素主要是氮（N）、鉀（K）、磷（P）。某作物研究所在某地區(qū)對土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗，實(shí)驗數(shù)據(jù)如下列表所示，其中ha表示公頃， t表示噸，kg表示公斤。當(dāng)一個營養(yǎng)素的施肥量變化時，總將另兩個營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個水平上，如對土豆產(chǎn)量關(guān)于 N的施肥量做實(shí)驗時， P與 K的施肥量分別取為 196

8、kgha與372kgha。試分析施肥量與產(chǎn)量之間關(guān)系，并對所得結(jié)果從應(yīng)用價值與如何改進(jìn)等方面做出估計。土豆： N P K施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614039.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.83

9、29440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜： N P K施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3314016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.075582

10、0.1139214.1168524.5365119.40數(shù)據(jù)擬合方法1在數(shù)學(xué)建模問題中常常有著重要的應(yīng)用。根據(jù)實(shí)驗數(shù)據(jù)來求出實(shí)際問題中變量之間的經(jīng)驗公式12,然后再根據(jù)經(jīng)驗公式來討論模型的最優(yōu)解,是許多數(shù)學(xué)建模問題中的一種重要方法。下面就利用這種方法來討論一個數(shù)學(xué)建模問題34。某地區(qū)作物生長所需的營養(yǎng)素主要是氮(N)、磷(P)、鉀(K)。某作物研究所在該地區(qū)對土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗,實(shí)驗數(shù)據(jù)可參見文獻(xiàn)3,其中ha表示公頃,t表示噸,kg表示公斤。當(dāng)一個營養(yǎng)素的施肥量變化時,總將另兩個營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個水平上,如對土豆產(chǎn)量關(guān)于N的施肥量做實(shí)驗時,P與K的施肥量分別取為196kg/h

11、a與372kg/ha。我們來分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系,并對所得結(jié)果從應(yīng)用價值與如何改進(jìn)等方面作出估價。 首先,將題中的數(shù)據(jù)用MATLAB軟件5作出圖形: 從圖上可看出,N、P、K的取值范圍不一樣,可以將它們的取值范圍轉(zhuǎn)化成區(qū)間0,1,這樣它們的變化范圍就都一樣了。轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)圖形如下: 1模型的建立及求解 要分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系,首先要建立施肥量與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系。可以用數(shù)據(jù)擬合的方法來建立這種函數(shù)關(guān)系。這又需要確定擬合的函數(shù)的形式,即所謂經(jīng)驗公式。施肥量與產(chǎn)量之間的函數(shù)可以是每一種肥料的施用量與產(chǎn)量的關(guān)系,也可以是三種肥料共同的施用量與產(chǎn)量的關(guān)系。按一般常識,N、P、K是作物生長的

12、三種基本肥料要素,它們用量的多少將直接影響農(nóng)作物的產(chǎn)量。這種對作物產(chǎn)量的“影響”通常是這三種肥料的共同影響,而不應(yīng)是單一某一種肥料對作物產(chǎn)量的“影響”。但每一種肥料的用量對于不同的作物產(chǎn)量的影響效果又有不同。例如,N肥的施用量對有些農(nóng)作物產(chǎn)量的影響是:當(dāng)N肥施用量較少時,隨著N肥用量的增加,農(nóng)作物的產(chǎn)量會增加,到一定用量后產(chǎn)量達(dá)到最大,然后,當(dāng)N肥用量繼續(xù)增加時,農(nóng)作物的產(chǎn)量反而會降低。這從上面的土豆和生菜產(chǎn)量與N肥用量的數(shù)據(jù)圖上也可以看到這樣的規(guī)律。而在一定的范圍內(nèi),P肥和K肥的用量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響將隨著其用量的增加而一直增加,只是當(dāng)P肥和K肥的用量較少時,隨著其用量的增加,農(nóng)作物產(chǎn)量增加

13、較快,而當(dāng)P肥和K肥的用量較多時,隨著其用量的增加,農(nóng)作物產(chǎn)量增加不大。從上面的土豆和生菜產(chǎn)量與P肥或K肥用量的數(shù)據(jù)圖上可以看到這樣的規(guī)律。具有這種特點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系在數(shù)學(xué)上用二次多項式就能較好地反映出來。當(dāng)然也可以考慮用分段函數(shù)來描述。為簡單起見,下面在擬合這些函數(shù)時都用二次多項式。在實(shí)驗數(shù)據(jù)中,K肥料施用量與生菜產(chǎn)量的實(shí)驗數(shù)據(jù)波動性較大,這種產(chǎn)量與肥料的施用量的關(guān)系在農(nóng)作物中是很少出現(xiàn)的現(xiàn)象。如果從數(shù)據(jù)圖形的整體來看,其實(shí)K肥料施用量與生菜產(chǎn)量的實(shí)驗數(shù)據(jù)的特點(diǎn)還是與上面所說的情況相似的,其波動性可看作是實(shí)驗誤差。要利用實(shí)驗數(shù)據(jù)來擬合出這些函數(shù)關(guān)系,顯然,如果實(shí)驗數(shù)據(jù)越多、數(shù)據(jù)分布越合理,則擬合

14、的效果就越好。這樣擬合出來的函數(shù),其所反映出來的規(guī)律就越符合實(shí)際情況。例如,應(yīng)當(dāng)給出充分多的數(shù)據(jù),且這些數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是在N、P、K三種肥料的不同用量下的產(chǎn)量數(shù)據(jù)。又比如,應(yīng)該有這樣的數(shù)據(jù):當(dāng)N、P、K三種肥料中某兩種肥料限制在不同的固定值時,相應(yīng)地,第三種肥料取不同值時的產(chǎn)量數(shù)據(jù),這樣才有可能反映出N、P、K三種肥料在對農(nóng)作物產(chǎn)量的共同影響時的相互影響的規(guī)律。但事實(shí)上,這里所給出的實(shí)驗數(shù)據(jù)非常有限,而且很不均勻,所以用現(xiàn)有的數(shù)據(jù)來擬合N、P、K的施用量與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系,并根據(jù)這些函數(shù)的性質(zhì)所推斷出的施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系,其可信性是有限的。 另外,擬合每一種肥料的施用量與產(chǎn)量的函數(shù)時,其余兩種

15、肥料的用量都是限制在一個數(shù)值上的,其結(jié)果通常也只能得到,當(dāng)相應(yīng)的另兩肥料的用量在所限制的數(shù)值下的情況。雖然我們得到的結(jié)果可能有一定的局限性,但這里所用到的方法卻是處理這類問題的常用方法,從建立模型的角度來說,還是值得討論的。如果要想得到更精確的結(jié)果,只需要有更多的產(chǎn)量施肥量實(shí)驗數(shù)據(jù),再用本文中給出的模型討論即可。 用這些函數(shù)來討論施肥效果產(chǎn)量與施肥量的函數(shù)關(guān)系,有兩種方式,一種是對三種肥料施用量與產(chǎn)量分別來擬合相應(yīng)的函數(shù),這需要擬合三個函數(shù),每個函數(shù)都是一元函數(shù),這種做法可以使擬合的效果較好。另一種是考慮三種肥料共同對產(chǎn)量的影響,這只需要擬合出一個函數(shù),這是一個三元函數(shù),且由于數(shù)據(jù)量偏少且不均

16、勻等的原因,擬合效果要差一些,但這是討論肥料施用量與產(chǎn)量的全局最優(yōu)解所必須的。下面分別來討論。 1.1模型1對三種肥料的用量與土豆和生菜產(chǎn)量分別擬合相應(yīng)的函數(shù)討論一種肥料的用量與產(chǎn)量的關(guān)系時,其它兩種肥料的用量都固定在第7種水平,三種肥料的用量分別是: 土豆n07=0.5499,p07=k07=0.5714; 生菜n17=0.57149,p17=0.5708,k17=0.5714。 先考慮土豆與每一種肥料用量的函數(shù)關(guān)系,我們利用所給數(shù)據(jù)來擬合這些函數(shù)關(guān)系。如果假設(shè)土豆產(chǎn)量與三種肥料:N、P、K的用量之間的函數(shù)關(guān)系分別是 w11=f1(n),w12=f2(p),w13=f3(k) 這些函數(shù)的形式

17、,按照上面的討論,都用二次多項式。下面是利用實(shí)驗數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果。 當(dāng)P、K固定在第7種水平,即p07=k07=0.5714時,函數(shù)w11=f1(n)擬合的結(jié)果是: w11=f1(n)=-75.3222n2+92.8574n+14.7416, n0,1 當(dāng)N、K固定在第7種水平,即n07=0.5499,k07=0.5714時,函數(shù)w12=f2(p)擬合的結(jié)果是: w12=f2(p)=-16.1179p2+24.5678p+32.9241,p0,1 當(dāng)N、P固定在第7種水平,即n07=0.5499,p07=0.5714時,函數(shù)w13=f3(k)擬合的結(jié)果是: w13=f3(k)=-29.6463k

18、2+48.8088k+24.4144,k0,1 類似地,如果假設(shè)生菜與三種肥料N、P、K之間的函數(shù)關(guān)系分別是 w21=g1(n),w22=g2(p),w23=g3(k)這些函數(shù)利用原始數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如下。 當(dāng)P、K固定在第7種水平,即p17=0.5708,k17=0.5714時,函數(shù)w21=g1(n)擬合的結(jié)果是: w21=g1(n)=-36.5944n2+39.7175n+10.294,n0,1 當(dāng)N、K固定在第7種水平,即n17=0.57149,k17=0.5714時,函數(shù)w22=g2(p)擬合的結(jié)果是: w22=g2(p)=-25.6089p2+41.5218p+6.88196,p0,1

19、 當(dāng)N、P固定在第7種水平,即n17=0.57149,p17=0.5708時,函數(shù)w23=g3(k)擬合的結(jié)果是: w23=g3(k)=-0.304688k2+3.33018k+16.2329,k0,1 如果用上面求出的擬合函數(shù)來表示相應(yīng)的產(chǎn)量與施肥量的函數(shù)關(guān)系,從擬合曲線的圖形來看,只有產(chǎn)量與N肥的用量函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)。其它函數(shù)都不具有這一性質(zhì),其規(guī)律是:P、N的施用量越多,產(chǎn)量都會增加。如果只從增加產(chǎn)量的角度,就應(yīng)盡量多施這兩種肥料但多施肥的同時也會增加購買肥料的費(fèi)用,從經(jīng)濟(jì)的角度來看,并不一定合算。應(yīng)綜合考慮產(chǎn)量和施肥的成本因素,以單位面積上的收益(即農(nóng)作物的銷售收入與施肥的費(fèi)用之差)

20、為目函數(shù),以單位面積的收益最大為最優(yōu)準(zhǔn)則,來確定最優(yōu)解。1.1.1產(chǎn)量模型 考慮當(dāng)0n,p,k1時的產(chǎn)量模型。如果只是追求高產(chǎn),則只要求出上面擬合出來的函數(shù) w1i= fi()和w2i=g()(i=1,2,3)的最大值即可。產(chǎn)量模型的求解可以用微分法求解,也以用MATLAB軟件很容易求出, 且只要求N對產(chǎn)量的最大值,因為P和K的用量取最大值時,相應(yīng)地土豆和生菜的產(chǎn)量最大。利用MATLAB軟件求解的結(jié)果是:當(dāng)P、K固定在第7種水平,即p=k=p07=k07=0.5714,而N的用量為n1=0.6164,即N的施用量是290.3244(kg/ha)時,土豆的產(chǎn)量最大,最大值是43.3603(t/h

21、a);當(dāng)P、K固定在第7種水平,即p=p17=0.5708,k=k17=0.5714,而N的用量為n2=0.5427,即N的施用量是212.7384(kg/ha)時,生菜的產(chǎn)量最大,最大值是21.0062(t/ha)。 1.1.2效益模型當(dāng)施用肥料所帶來的收入比用于購買肥料的費(fèi)用多時,就應(yīng)該施肥,否則就不應(yīng)該多施肥。設(shè)土豆和生菜的售價分別是a1和a2(元/t),N、P和K的售價分別為b1,b2,b3(元/kg)。首先討論N肥施用量的效益模型。當(dāng)N肥的用量是n(kg/ha)時,土豆和生菜的產(chǎn)量分別是 w1=f1(n)和w2=g1(n),土豆施用肥料的費(fèi)用是h1=b1n+p07b2+k07b3(元

22、/ha),生菜施用肥料的費(fèi)用是h2=b1n+p17b2+k17b3(元/ha)。單位面積上的土豆和生菜因施N肥所增加的收益分別是:m1=a1f1(n)-f1(0)-h1=a1(-75.3222n2+92.8574n)-(b1n+p07b2+k07b3)m2=a2g1(n)-g1(0)-h2=a2(-36.5944n2+39.7175n)-(b1n+p17b2+k17b3)于是效益模型就歸結(jié)為要確定N肥的施用量n使得收益m1,m2達(dá)到最大。利用微分法不難求得最優(yōu)解是:當(dāng)n=n1=92.8574a1-b1150.6444a1時,土豆的最大收益是:m31=a1(-75.3222n21+92.8574

23、n1)-(b1n1+p07b2+k07b3)(元/ha)。當(dāng)n=n2=39.7475a2-b73.1888a2時,生菜的最大收益是:m32=a2(-36.5944n22+39.7175n2)-(b1n2+p17b2+k17b3)(元/ha)。同樣,對于單位面積上的土豆和生菜因施P肥或K肥所增加的收益也可以類似地討論,此處就只對于單位面積上的土豆和生菜因施P肥所增加的收益進(jìn)行討論。收益函數(shù)分別是:m1=a1f2(p)-f2(0)-h1=a1(-16.1179p2+24.5678p)-(n07b1+pb2+k07b3)m2=a2g2(p)-g2(0)-h2=a2(-25.6089p2+41.521

24、8p)-(n17b1+pb2+k17b3)利用微分法不難求得最優(yōu)解是:當(dāng)p=p1=24.5678a1-b232.2358a1時,土豆的最大收益是m31=a1f2(p1)-f2(0)-h1=a1(-16.1179p21+24.5678p1)-(n07b1+p1b2+k07b3)(元/ha)。當(dāng)p=p2=39.7175a2-b273.1888a2時,生菜的最大收益是m32=a2g2(p2)-g2(0)-h2=a2(-25.6089p22+41.5218p2)-(n17b1+p2b2+k17b3)(元/ha)。1.2模型2將土豆和生菜的產(chǎn)量都看成是N、P和K的三元函數(shù)設(shè)w1=f(n,p,k)和w2=

25、g(n,p,k)分別是土豆和生菜的產(chǎn)量與三種肥料的施肥量之間的函數(shù),這里用2次多項式來擬合這兩個函數(shù)下面是用MATLAB軟件求得的結(jié)果,利用實(shí)驗數(shù)據(jù)在求擬合函數(shù)w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k)時,發(fā)現(xiàn)只出現(xiàn)n,p,k及其乘冪項,而沒有n,p,k交叉相乘的項。w1=f(n,p,k)=-12.82+89.60n+28.79p+47.82k-72.26n2-20.04p2-28.73k2w2=g(n,p,k)=-7.496+36.57n+31.24p+16.78k-33.67n2-16.06p2-12.79k2其中0n,p,k1。擬合效果如下圖所示。1.2.1產(chǎn)量模型易知,產(chǎn)量模型可歸

26、結(jié)為求函數(shù)w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k)的最大值。用微分法或用MATLAB軟件可以求出結(jié)果是:當(dāng)N、P和K的取值分別是n=0.62,p=0.72,k=0.83時,土豆的產(chǎn)量最大,最大值是45.1938(t/ha);當(dāng)N、P和K的取值分別是n=0.54,p=0.97,k=0.66時,生菜的產(chǎn)量最大,最大值是23.1291(t/ha)。1.2.2效益模型同模型1,當(dāng)施用肥料所帶來的收入比用于購買肥料的費(fèi)用多時,就應(yīng)該施肥。否則就不應(yīng)該多施肥。設(shè)土豆和生菜的售價分別是a1和a2(元/t),N、P和K的售價分別中b1,b2,b3(元/kg)。當(dāng)N、P和K的用量分別是n,p,k(kg/h

27、a)時,土豆和生菜的產(chǎn)量分別是w1=f(n,p,k)和w2=g(n,p,k),而購買肥料的費(fèi)用是h=b1n+b2p+b3k(元/ha),于是單位面積上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分別是:m1=f(n,p,k)-f(0,0,0)×a1-h=f(n,p,k)-f(0,0,0)×a1-(b1n+b2p+b3k)m2=g(n,p,k)-g(0,0,0)×a2-h=g(n,p,k)-g(0,0,0)×a2-(b1n+b2p+b3k)模型歸結(jié)為:確定n,p,k的值,使上面兩個函數(shù)分別達(dá)到最大值。用微分法可求得最優(yōu)解分別是:當(dāng)N、P和K的取值分別是n1=89.60a

28、1-b1144.52a1,p1=28.79a1-b240.08a1,k1=47.82a-b357.46a1時,土豆的產(chǎn)量最大,最大值是m31=f(n1,p1,k1)-f(0,0,0)×a1-(b1n1+b2p1+b3k1)(t/ha);當(dāng)N、P和K的取值分別是n2=36.57a2-b167.34a2,p2=31.24a2-b232.12a2, k2=16.78a2-b325.58a2時,生菜的產(chǎn)量最大,最大值是m32=g(n2,p2,k2)-g(0,0,0)×a2-(b1n2+b2p2+b3k2)(t/ha)。2模型的檢驗與改進(jìn)為了檢驗效益模型的求解結(jié)果,需要知道土豆和生菜

29、的銷售價,還要知道肥料N、P、K的銷售價。不同的N肥價格相差較大,例如,按照當(dāng)前的市場價格,碳酸氫銨平均價格為540(元/噸),尿素價格為1760(元/噸),鉀肥的價格也有1700(元/噸)至2420(元/噸)不等的情況,而P肥的價格大致為400(元/噸)。在以下討論中,我們假設(shè)N肥價格為b1=1.76(元/kg);P肥的價格為b2=0.4(元/kg);K肥的價格為b3=2.42(元/kg)。又設(shè)土豆和生菜的批發(fā)價分別為800(元/噸)和400(元/噸)。對于模型1的效益模型,利用上面的數(shù)據(jù),可求得單位面積上的土豆和生菜施N肥的最優(yōu)解結(jié)果分別是:n1=0.6164,m31=2.2892

30、5;104(元)和n2=0.5426,m32=4.3081×103(元)。同樣,可求得單位面積上的土豆和生菜施P肥的最優(yōu)解結(jié)果分別是:p1=0.7621,m31=7.4869×103(元)和p2=0.8107,m32=6.7296×103(元)。從求解的結(jié)果上可以看到,對于施N肥的效益模型求解的結(jié)果與產(chǎn)量模型的求解結(jié)果差別不大,這是因為,在現(xiàn)有的實(shí)驗數(shù)據(jù)范圍內(nèi),肥料的成本相對于總收益來說很小。例如每公頃面積施用N肥的成本最多為471×1.76<1000元,相對于總收益來說可忽略不計。因此,可以認(rèn)為效益模型的結(jié)果與產(chǎn)量模型的結(jié)果相同。這個求解的結(jié)果與

31、農(nóng)民對農(nóng)作物施肥時的作法是相符合的。事實(shí)上,農(nóng)民在對農(nóng)作物施肥時,都是從考慮如何使農(nóng)作物的產(chǎn)量達(dá)到最大來確定施肥量的。在模型1中,討論一種肥料的用量與產(chǎn)量的關(guān)系時,其它兩種肥料的用量都固定在第7種水平,模型求解的結(jié)果較合理,但這只是當(dāng)固定其中某兩種肥料的用量時,考慮施用第三種肥料的施用量的最優(yōu)解。而產(chǎn)量與肥料的施用量的全局最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)是模型2的解。通常,對于用擬合方法得到的函數(shù),只有當(dāng)自變量在包含實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)(這里指自變量部分)的某個范圍(例如,以實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有多面體的并集)內(nèi)變化時,擬合函數(shù)才可能是較合理的,而對于自變量在這個實(shí)驗數(shù)據(jù)點(diǎn)的范圍外變化時的函數(shù)值則不一定合理。例如,模型2在擬

32、合所得到的函數(shù)w1=f(n,p,k)=-12.82+89.60n+28.79p+47.82k-72.26n2-20.04p2-28.73k2w2=g(n,p,k)=-7.496+36.57n+31.24p+16.78k-33.67n2-16.06p2-12.79k2中,常數(shù)項的值為負(fù),這是不合理的,因為f(0,0,0)和g(0,0,0)表示不施肥時的產(chǎn)量,這些值都應(yīng)當(dāng)是非負(fù)才合理。但因為原點(diǎn)(0,0,0)并不在實(shí)驗數(shù)據(jù)的范圍內(nèi),因此擬合函數(shù)的這種情況是可以出現(xiàn)的。這時模型2中的效益模型就需要改進(jìn)一下。這可以用兩種方法來處理。第一種方法,就是直接將函數(shù)f(n,p,k)和g(n,p,k)在原點(diǎn)(0,0,0)的某個小的鄰域內(nèi)的值改為0即可。也就是分別用f1(n,p,k)=maxf(n,p,k),0g1(n,p,k)=maxg(n,p,k),0代替原來的函數(shù)f(n,p,k)和g(