1、全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法 常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種： 1） 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變 換中的“對(duì)折” . 2） 遇到三角形的中線， 倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等， 構(gòu)造全等三角形，利用的 思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” . 3） 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線， 利用的思維模式是三角 形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理. 4） 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “平 移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 5） 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線

2、段上截取一條線段與特定線段相等， 或是將某條 線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明. 這種作法， 適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目. 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連 接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答. 一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等 例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB= AC=3則中線AD的取值范圍是 . 例2、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DN DF, D是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與EF的 大小. E 例3、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證: AD平分Z BA

3、E. 應(yīng)用: 1、(09崇文二模)以 ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt ACE , BAD CAE 90，連接DE, M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究:AM與DE 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. (1)如圖 當(dāng) ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 , 線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ; (2)將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) (0 AC, Z1 = Z 2, P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC PB-PC 應(yīng)用: 如虱在四邊形AlfCf)中，偵”M”點(diǎn)3是AB上一個(gè)勃點(diǎn).若匕8 =6(r,AB = EC, Fl 4 DEC =60* .判斷

4、4D + AE-H3C的關(guān)系井證明你的結(jié)論. 、平移變換 例1 AD ABC的角平分線，直線 M AD于A.E為MN崖一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為PA , EBC周長(zhǎng)記為PB .求證PB PA . (1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的長(zhǎng). 例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D E,且 BD=CE 求證：AB+ACAD+AE. 四、借助角平分線造全等 1、如圖，已知在 ABC中，/ B=60 ,A ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD 2、如圖， ABC中，AD平分Z BAC D( BC且平分 BC, Dd AB于 E, DFL AC于 F.

5、B 應(yīng)用： 1、如圖，OP是Z MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以 OP所在直線為對(duì)稱軸的全 等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題： (1) 如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60 , AD、CE 分別是 / BAC、/ BCA 的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系； (2) 如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你 在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 五、旋轉(zhuǎn) 例1正方形ABCW, E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn), 例2 D為等腰Rt ABC

6、斜邊AB的中點(diǎn)，D機(jī)DN,DM,DN別交BC,CA于點(diǎn)E,F。 (1) 當(dāng) MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證 DE=DF (2) 若AB=2,求四邊形 DECF勺面積。BE+DF=EF求EAF的度數(shù). A 例3如圖，ABC是邊長(zhǎng)為 3的等邊三角形， BDC是等腰三角形，且 BDC 120 , 以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角, 使其兩邊分別交 AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N,連接MN則 AMN 的周長(zhǎng)為 應(yīng)用: 1、已知四邊形ABCD中， AB AD AB BC , Z ABC ZMBN 6 , Z MBN 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長(zhǎng)線） 于 E, F 當(dāng)Z MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE

7、 CF時(shí) （如圖 當(dāng)Z MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE CF時(shí)，在圖 立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段 AE, 你的猜想，不需證明. AE CF EF . 1）,易證 3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成 EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出 2和圖 CF , （圖1） （圖2） rC （圖3） 2、(西城09年一模)已知:PA=72,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點(diǎn)落在 直線AB的兩側(cè). (1) 如圖，當(dāng)Z APB=45時(shí),求AB及PD的長(zhǎng)； (2) 當(dāng)Z APB變化,且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)/ APB的大小. 3、在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N , D為ABC外一點(diǎn)，且 MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：當(dāng) M、N分別在直線 AB、AC上移動(dòng)時(shí)， AMN的周長(zhǎng)Q與等邊 ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系. BM、 (II) 如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM DN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還 成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； (I