1、一年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽題10 月 4 日上午 8：00 9：40）題號一二三合計加試總成績131415得分評卷人復核人學生注意： 1、本試卷共有三大題（ 15個小題），全卷滿分 150 分。2、用圓珠筆或鋼筆作答。3、解題書寫不要超過裝訂線。4、不能使用計算器。一、 選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6分）本題共有 6 個小是題，每題均給出（ A）（ B）（ C）（ D）四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。 請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)，每小題選對得 6 分；不選、選錯或選的代表字母超過一個 （不論是否寫在括號內(nèi)），一律得 0 分。1、已知 a 為給定的實數(shù)，那么集合 M=x|x

2、 2-3x-a 2+2=0,x R 的子集的個數(shù)為（A）1（B）2（C）4（ D）不確定2、命題 1：長方體中，必存在到各頂點距離相等的點；命題 2：長方體中，必存在到各棱距離相等的點；命題 3：長方體中，必存在到各面距離相等的點； 以上三個命題中正確的有（A）0 個（B）1個（C）2 個（D）3個3、在四個函數(shù) y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx| 中以 為周期、在（ 0 ， ）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是2（ A） y=sin|x|（ B） y=cos|x|（ C） y=|ctgx|（D） y=lg|sinx|4、如果滿足 ABC=60 ， AC=12

3、， BC=k 的ABC 恰有一個，那么 k 的取值范圍是（ A ） k=8 3（B）0k12（C）2（D）0 12或 k 8 35若（ 1 2）1000 的展開式為 20002000 ，則 3 6 9 1998 的值為（）（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016已知 6 枝玫瑰與3 枝康乃馨的價格之和大于24 ，而 4 枝攻瑰與5 枝康乃馨的價格之和小于 22 元，則2 枝玫瑰的價格和 3 枝康乃馨的價格比較，結(jié)果是（ ）（A）2 枝玫瑰價格高（B） 3 枝康乃馨價格高（C）價格相同（ D）不確定二、填空題（本題滿分 54分，每小題 9 分）7橢圓 1（ 2 ）的短軸長等于

4、 38、若復數(shù) z1,z 2滿足 |z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= -I, 則 z 1z2=。29、正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1 ，則直線 A1C1 與 BD1的距離是10、不等式1log 1 x2的解集為2211、函數(shù) y xx2 3x 2 的值域為 。12、在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物。 現(xiàn)有 4 種不同的植物可供選擇， 則有 種栽種 方案。二、 解答題（本題滿分 60 分，每小題 20分）13、設(shè) a n 為等差數(shù)列，b n為等比數(shù)列，且 b1a12， b2a2 ， b32a3 （a1

5、a2）, 又lim （b1 b2bn）2 1，試求 a n的首項與公差。n214、設(shè)曲線 C1: x2 y2 1（ a為正常數(shù) ）與 C2:y 2=2（x+m）在 x軸上方公有一個公共點 P a2（ 1） 求實數(shù) m的取值范圍（用 a 表示）；1（2） O為原點，若 C1與x軸的負半軸交于點 A，當 0aa2a3a4a5a6）的電阻組裝成一個如圖的組件，在組 裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小？證明你的結(jié)論。二一年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題（10月 4日上午 10：0012：00） 學生注意： 1 、本試卷共有三大題，全卷滿分150 分。2、用圓珠筆或鋼筆作答。3、解題書寫不要超過

6、裝訂線。4、不能使用計算器。一、（本題滿分50 分）如圖： ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線 ED和 AB交于點 M， FD和 AC交于點求證：（ 1）OBDF，OCDE；（ 2）OHMN。二、（本題滿分50 分）設(shè) xi0(I=1,2,3,n ,n) 且 xi 22k x x xkxjn1，求xi 的最大值與最小值。i11 k j njkji1三、（本題滿分50 分）將邊長為正整數(shù)m,n 的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長之和的最小值。2001 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準選擇題： CBDDC

7、A1.已知 a為給定的實數(shù)， 那么集合 3 20，的子集的個數(shù)為 （ ） 1 2 4 不確定講解： M 表示方程 3 20 在實數(shù)范圍內(nèi)的解集由于14 0 ，所以含有 2 個元素故集合有 24 個子集，選2命題 1：長方體中，必存在到各頂點距高相等的點命題 2：長方體中，必存在到各條棱距離相等的點；命題 3：長方體中，必存在到各個面距離相等的點 以上三個命題中正確的有（ ）0 個 1個2個3個講解： 由于長方體的中心到各頂點的距離相等，所以命題 1 正確對于命題 2 和命題 3，一般的 長方體（除正方體外）中不存在到各條棱距離相等的點，也不存在到各個面距離相等的點因此，本題 只有命題 1 正確

8、，選3在四個函數(shù)、 、 、 中，以 為周期、在（ 0， 2）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（）講解： 可考慮用排除法不是周期函數(shù)（可通過作圖判斷），排除； 的最小正周期為2，且在（ 0， 2）上是減函數(shù)，排除；在（0， 2）上是減函數(shù)，排除故應(yīng)選4如果滿足 60， 12，的 恰有一個，那么的取值范圍是 （ ） k 8 3 0 12 12 0 12或 k 8 3講解： 這是 “已知三角形的兩邊及其一邊的對角，解三角形 ”這類問題的一個逆向問題，由課本結(jié) 論知，應(yīng)選結(jié)論說明： 本題也可以通過畫圖直觀地判斷，還可以用特殊值法排除、5若（ 1 2） 1000的展開式為 2000 2000， 則 3 6 9 19

9、98 的值為（） 3333 3666 3999 32001講解： 由于要求的是展開式中每間降兩項系數(shù)的和，所以聯(lián)想到 1 的單位根，用特殊值法取 （ 1 2）（2），則 1， 10令 1，得31000 2000；令 ，得0 1 2 20002000 ；令 ，得0 2000 4000 三個式子相加得310003（ 1998） 1998 3999，選6已知 6枝玫瑰與 3枝康乃馨的價格之和大于 24，而 4枝攻瑰與 5枝康乃馨的價格之和小于 22 元， 則 2 枝玫瑰的價格和 3 枝康乃馨的價格比較，結(jié)果是（） 2 枝玫瑰價格高 3 枝康乃馨價格高價格相同不確定講解： 這是一個大小比較問題可先設(shè)玫

10、瑰與康乃馨的單價分別為元、元，則由題設(shè)得，問題轉(zhuǎn)化為在條件 、 的約束下，比較 2與 3的大小有以下兩種解法：解法 1：為了整體地使用條件 、，令 6 3， 4 5，聯(lián)立解得（ 5 3） 18，（ 3 2） 92 3 （ 11 12） 9 24， 22， 111211 2412 2202 3，選圖1解法 2：由不等式、及 0、 0組成的平面區(qū)域如圖 1 中的陰影部分（不含邊界）令 2 3 2，則表示直線： 2 3 2在軸上的截距顯然，當過點（3， 2）時， 2有最小值為 0故 2 3 0，即 2 3，選說明： （1）本題類似于下面的 1983 年一道全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題：已知函數(shù)（） 滿足：

11、4（ 1） 1， 1（ 2）5，那么（ 3）應(yīng)滿足 （ ） 7（ 3）26 4（ 3）15 1（ 3） 20 28 3（ 3） 35 3（ 2）如果由條件、先分別求出、的范圍，再由2的范圍得結(jié)論，容易出錯上面的解法 1 運用了整體的思想，解法2 則直觀可靠，詳見文 1填空題723330728i1313911 1, 32) 2, )12 732210 (0,1) (1,27 ) (4, )7橢圓 1（ 2 ）的短軸長等于講解：若注意到極點在橢圓的左焦點，可利用特殊值法； 若注意到離心率和焦參數(shù)（焦點到相應(yīng)準線的距離）的幾何意義，本題也可以直接求短半軸的長（0） a c 1解法 1：由（ ） a

12、c 1/ 3 得 23，從而 3 ，故 2 2 333 3從而 2 2 333說明： 這是一道符合教學大綱而超出高考范圍的試題8若復數(shù) 、 滿足 2，3，32（32）， 則講解：參考答案給出的解法技巧性較強， 根據(jù)問題的特點， 用復數(shù)的三角形式似乎 更符合學生的思維特點，而且也不繁令 2（ ），3（ ），則由 3 2（32）及復數(shù)相等的充要條件，得即二式相除，得（ ） 2） 3 2由萬能公式，得 （ ） 12 13，（ ） 513故 6（ ）（ ）（ 3013）（ 7213）說明： 本題也可以利用復數(shù)的幾何意義解9正方體 1的棱長為 1，則直線 與 的距離是講解：這是一道求兩條異面直線距離的問

13、題， 解法較多，下面給出一種基本的解法圖2為了保證所作出的表示距離的線段與 和 都垂直，不妨先將其中一條直線置于另一條直線的垂面內(nèi)為此，作正方體的對角面 ，則 面，且 面 設(shè) 0，在面 內(nèi)作 ，垂足為，則線段的長為異面直線與 的距離在 中，等于斜邊 上高的一半，10不等式（ 1 12）232的解集為 講解： 從外形上看，這是一個絕對值不等式，先求得 12 2，或 27 12 0，或 12 0從而 4，或 1 227，或 0 111函數(shù)的值域為講解：先平方去掉根號由題設(shè)得（） 3 2，則（ 2）（ 2 3）由 ，得 （2）（23）解得 1 3 2，或 2由于2）2，）能達到下界 0，所以函數(shù)的值

14、域為 1，3說明： （1）參考答案在求得 132 或 2后，還用了較長的篇幅進行了 一番驗證，確無必要2）本題還可以用三角代換法和圖象法來解，不過較繁，讀者不妨一試圖312在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖3），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物現(xiàn)有 4 種不同的植物可供選擇，則有 種栽種方案講解： 為了敘述方便起見，我們給六塊區(qū)域依次標上字母、按間隔三 塊、種植植物的種數(shù)，分以下三類（ 1）若、種同一種植物，有三種植物中各選一種植物（允許重復），各有4 種種法當、種植后，、可從剩余的3 種方法此時共有 4333 108 種方法2）若、種二種植物，有2 種種法當、種好后，

15、若、種同一種，則有 3 種方法，、各有 2 種方法；若、或、種同一種，相同（只是次序不同）此時共有 3（322） 432 種方法（3）若、種三種植物，有222 192 種方法種種法這時、各有2 種種方法此時共有根據(jù)加法原理，總共有 108432192732 種栽種方案說明： 本題是一個環(huán)形排列問題三解答題13設(shè)所求公差為 d， a10由此得2 2 4a12 ( a1 2d) 2 (a1 d) 422化簡得： 2a12 4a1d d 2 0解得： d ( 22)a15分0，故a102)a1 ，則2a222a12(21)22)a1 ，則2a222 a11)210 分但 limn(b1b2bn)1存

16、在，故 | q |1，于是 q ( 2 1)2 不可能從而2a1( 2 1)22 a1(2 2 2)( 2 1) 2所以a12)a120 分14解： (1) 由2x2ay 2 2(x2y2m)設(shè) f (x)x2 2a2x消去 y 得： x2 2a2x 2a2m a2 0 2a2m a2 ，問題 (1)化為方程在 x(a，a)上有唯一解或等根只需討論以下三種情況：a2 11 0 得： m，此時 xp a2，當且僅當 aa2a，即 0a1 時適合；22 f (a)f ( a)0，當且僅當 a m a；3f (a)0得 m a，此時 xpa2a2，當且僅當 a a 2a2 a，即 0a1 時適合f

17、(a)0 得 m a，此時 xp a 2a 2，由于 a2a2 a，從而 ma綜上可知，當 0a1時， m a2 1或 a ma；10 分2當 a1 時， a m a1(2)OAP 的面積 S ayp0a 1 ，故 ama時，0 ap 取值最大， 此時a2 a a2 1 2m 0，從而 yp 1yp 2 a a2 ，2xpa2 S a a a2a 2 1 2當m a 2 1時， xp a2，yp 1 a2 ，此時2 1 2面比較 a a a 與 a 1 a 的大小：2令a a a2 12a 1 a2 ，得 a 13故當 0R22設(shè) 3 個電阻的組件 （如圖 1） 的總電阻為 RABR1R2RA

18、B R1 R2R1R2 R1R3 R2R3R3R1 R2顯然 R1 R2越大， RAB越小，所以為使 RAB最小必須取 R3 為所取三個電阻中阻值最小的個3設(shè) 4 個電阻的組件 (如圖 2) 的總電阻為 RCD若記 S1Ri Rj ,S2Ri Rj Rk ，則 S1、S2 為定值，于是1i j 4 1 i j k 4S2 R1R2 R3RCDS1 R3 R4只有當 R3R4 最小， R1R2R3最大時， RCD 最小，故應(yīng)取 R4R3，R3R2，R3Rl，即得總電阻的 阻值最小 15 分4對于圖 3 把由 R1、R2、R3組成的組件用等效電阻 RAB代替要使 RFG最小， 由 3必需使 R6

19、R5； 且由 1應(yīng)使 RCE 最小由 2知要使 RCE 最小，必需使 R5 R4，且應(yīng)使 RCD 最小而由 3，要使 RCD最小，應(yīng)使 R4R3R2且 R4R3R1，這就說明，要證結(jié)論成立 20 分2001 年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試參考答案及評分標準一證明： (1) A、C、D、F 四點共圓 BDF BAC1又 OBC (180 BOC) 90 BAC2OB DF(2)CF MAMC 2MH 2AC2AH 2BE NANB2NH2AB2AH 2DABCBN 2BD 2ON 2OD 2OCDE CM 2 CD 2OM 2 OD 230 分，得NH 2MH 2ON2OM 2 MO 2MH 2NO

20、 2 NH 2OH MN50 分另證：以 BC 所在直線為 x 軸，D 為原點建立直角坐標系，設(shè) A（0，a），B（b，0）， C（c，0），則 kACca , kABc直線AC 的方程為a(x cc） ，直線BE 的方程為y ca (x b)ca (x b)a (x c) cE 點坐標為 E（2ac2abc2 c22ac2aabc2)c22a2b b2c同理可得 F（ 2 2abab2 abc2 2 )ab2直線 AC 的垂直平分線方程為直線 BC 的垂直平分線方程為ac(x2a bc2c2)O( bc(x abc2abc a22abcb2bca2ac abkDFab2 abca2b b2c

21、aba2 bcackOB k DFOBDFbc) a同理可證 OCDE 在直線 BE的方程 y c(x b)中令 x0得 H(0， a kOHbc a2 bc2a abca2 3bcab ac直線 DF同理可得 kMN的方程為 yab aca2 bc xac (x c)ab2aacx bc得N (b2c M ( a2 2bc b2a2ba 2c bc2a2 2bc c2abc ab22a 2bc2 2 2a(b2 c2 )(a222(c b)(a2 bc)(a2bc)3bc)abc ac2 a 2 2bcb2 )ab ac3bcc2 )kOH kMN 1， OH MNn二解：先求最小值，因為

22、( xi )2i1n2xi2i121knnxi 1i1等號成立當且僅當存在 i 使得 xi 1，xj0，jinxi 最小值為 1 10 分 i1再求最大值，令xkk yknkyk22kyk yj 1k11kjny1 y2yn a1n設(shè)Mxknk yk ，令y2yn a2k1k1則 ?a122 a2an2 1 30 分n令 an 10 ，則 Mk (ak ak 1)k1nkak 1k1nkak1k 1ak1n( k k 1)ak k1由柯西不等式得：nM ( kk11)22(1ak2)2k11k 1)2 22a1 等號成立 ? 112ak22an2( k k 1)2( n n 1)2k k 1akn(k=1， 2， n)n1 ( k k 1)2 2k1由于 a1 a2 an，從而 yk ak ak 12 k ( k 1 k 1)0， n 2 1 ， (