1、內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xdydzdPQR方向性質(zhì)方向性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd兩類聯(lián)系兩類聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xdydzdPQR第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的

2、條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 三、通量與散度三、通量與散度 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高斯公式 通量與散度 第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側(cè), 則有 高斯 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 LD域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQ

3、xPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或回憶回憶: 格林公式格林公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd為XY型區(qū)域 , ),(:22yxzz 則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yx

4、z定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 任意小區(qū)域投影面積為0所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型區(qū)域 , 則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè) XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意:1 1. .RQP,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù); ;2.2.是否滿足高斯公式的條件是否滿足高斯公式的條件; ;3 3. .是是取取

5、閉閉曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .曲面應(yīng)是分片光滑的曲面應(yīng)是分片光滑的閉閉曲面曲面.P,Q,RP,Q,R在在 上上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第二類曲面積分計(jì)算時(shí)要看曲面各部分具體的方向第二類曲面積分計(jì)算時(shí)要看曲面各部分具體的方向xdydzdPQRzyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 例例1. 用Gauss 公式計(jì)算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐標(biāo))zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,

6、 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算? 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 利用Gauss 公式計(jì)算積分SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyxhozyx解解: 作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 1,記h1所圍區(qū)域?yàn)?則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxzyxIddd)(2利

7、用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林( Green )第一公式Sd例例3. 設(shè)函數(shù)uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整個(gè) 邊界面的外側(cè). uP xvuQ yvuR zv分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:令uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得22

8、2222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移項(xiàng)即得所證公式.(見 P171)xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高斯公式的物理解釋高斯公式的物理解釋機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddGauss 公式：分布在空間區(qū)域內(nèi)的流體分布在空間區(qū)域內(nèi)的流體源頭源頭單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體總量單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體總量=單位時(shí)間單位時(shí)間離開離開此區(qū)域的流體的總量此區(qū)域的流體的總量三、通量與散度三、通量與散度引例引例. 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 速度場為

9、kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意義可知, 設(shè) 為場中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd單位時(shí)間通過曲面 的流量為 則由對坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為SRQPdcoscoscosSnvd機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 為方向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd當(dāng) 0 時(shí), 說明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時(shí), 說明流入 的流體質(zhì)量多于流出的, 則單位時(shí)間通過 的流量為 當(dāng) = 0 時(shí), 說明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . n流出的, 表明 內(nèi)有源頭; 表明 內(nèi)有洞 ;根據(jù)高斯公式, 流量也可表為zyx

10、zRyQxPdddn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方向向外的任一閉曲面 , 記 所圍域?yàn)? 設(shè) 是包含點(diǎn) M 且為了揭示場內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性, M在式兩邊同除以 的體積 V, 并令 以任意方式縮小至點(diǎn) M 則有),(M記作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反應(yīng)了流速場在點(diǎn)M 的特點(diǎn): 其值為正,負(fù)或 0, 分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化. ),(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義: 設(shè)有向量場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場內(nèi)

11、的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, SnAd為向量場 A 通過有向曲面 的通量(流量) .在場中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱為向量場 A 在點(diǎn) M 的散度.記作AdivzRyQxP機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0divA表明該點(diǎn)處有正源, 0divA表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 0divA表明該點(diǎn)處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強(qiáng)度.0divA若向量場 A 處處有 , 則稱 A 為無源場. 例如例如, 勻速場 ),(),(為常數(shù)其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是無源場.P16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 由引例可知, 散度是通量對體積的變化率, 且內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) * 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 通量與散度 設(shè)向量場P, Q, R, 在域G內(nèi)有一階 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù), 則 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為 ),(RQPASnAdzRyQxPAdiv機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高斯高斯(1777 1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和