1、機翼升力與伯努利方程 摘 要：本文首先介紹連續性方程和伯努利方程的基本原理， 然后對丁飛機靠機翼 能夠產生升力的原因進行理論分析，并使用一些物理方法和公式進行簡化和計 算，最后使用殲-10的相關數據進行驗證。另外還介紹了機翼升力的逆應用。 關鍵詞：機翼升力伯努利方程連續性方程 人類自古以來就夢想著能像鳥一樣在天空中飛翔。 作為二十世紀最重大的發 明之一，飛機使得人類的這個夢想得以實現。 而飛天成功與流體力學的發展有著 分不開的聯系。 流體力學，是研究流體的力學運動規律及其應用的學科。 其中的伯努利方程 從經典力學的能量守包出發，表述了流體定常運動下的流速、壓力、 管道高程之 間的關系，為如今的

2、固定翼飛機飛行提供了理論基礎。 一、伯努利方程 在介紹伯努利方程之前，不得不先說明一下連續性方程。 理想流體作穩定流動時，流體通過同一流管中任何截面的體積流量皆相等。 這就是理想流體的連續性原理。它表示流體在流動時，應遵守質量守包定律， 其 數學表小為 Sv = coscost (1)(1) 其中，v為流速，S為流管的截面面積。由此方程我們可以得到這樣一個結 論：對丁同一流管，截面積越小，流速越大；截面積越大，流速越小。 通過連續性原理和功能守包原理推導出的伯努利方程揭示了液體流動過程 中的能量變化規律。它表示理想流體作定常流動時，應遵守能量守包定律，其數 學表示為 1 r 1 r 2 p +

3、 2 Pv + Pgh = cost (2) 其中，p p 為此處流體的壓強，P P 為此處流體的密度，v v 為此處流體的流速， h為此處距基準面的高度，g g 為重力加速度。由此方程可以得到一個結論：同一 流管等高處兩點，流速大的地方壓強小，流速小的地方壓強大。 二、機翼升力 1. 理論分析 飛機飛行時候主要靠機翼提供升力。機翼的設計參照了大鳥滑翔飛行機理， 使得機翼在快速移動時候獲得升力，帶動飛機升天。 飛機的機翼橫截面一般前端圓鈍、后端尖銳，上表面拱起、下表面較平。氣 流在機翼前端被分成上、下兩股，在機翼后端再重新匯合。由丁機翼上表面凸出， 流管較細，由連續性方程(1)式可得流速加快，

4、再根據伯努利方程(2)式，機翼 上方的壓力低。類似的，而機翼 下表面比較平坦，流管變粗，由 丁機翼與水平面有一個迎角，氣 流受阻擋，流速減慢，壓力增大 丁是在機翼上、下表面出現了壓 力差，垂直丁氣流方向的壓力差 則產生機翼的升力。 除此之外，飛機飛行時還會 受到各種阻力，比如摩擦阻力、壓差阻力、誘導阻力等。而且，由丁尾翼的存在， 飛機飛行時升力的獲得不僅僅只靠機翼單方面作用，也受到尾翼的負升力以及飛 機外形影響。 2. 公式計算 為了是計算簡便，假設飛機是靜止的，空氣從遠處流來， 忽略機翼本身的厚 度所造成的高度差。此外，認為空氣是理想流體，并且作定常流動。 設機翼前方氣流的速度為 V V0，

5、壓強為 P P0 ,機翼上部氣流流速為 V Vi，壓強為p pi , 機翼下部流速為 V V2,壓強為 P P2,空氣密度為 P P。由伯努利方程(2)2)式得： P0 +1 Pv。2 = Pi +1 Pvi2 (3) 2 2 P。+1 Pv。2 = P2 + 1 PV22 (4) 2 2 (3) - (4),得到機翼上下的壓力差為: 1 2 2 p2 - pi = 2 ;(V i - v 2 ) 設機翼的面積為S ,獲得的升力為F，則有 一 、 1 2 2、 一、 F =&p2 -pi） = 2 P&V 1 V 2 ） （6） 另外，由連續性方程（1）式可以知道，分別在機翼的

6、上下方各取一個小流 管，則有 VoSo =vS （7） VoSo=V1S （8） 由（7）和（8）式可以發現V1 m Vo, v 2 m Vo ,并且聯系（6）式可得出 2 2 . 2 F m V1 -V2 ,加以綜合可以得到F m Vo ,不妨假設這個系數為k ,則得到 在（6）式得基礎上得出的新方程 1 _ 2 F = PSkVo （9） 2 經過查閱資料（王家楣流體力學第十二章 機翼理論）可得到關丁升力 系數的相關介紹，其定義為 CL = （ 10） 1 2 -:SVo 比較（9）和（10）兩個式子很容易發現，CL即為所推導的系數k ,也證實 了我推導的過程。 3. 數據驗證 為了證實我

7、所推導的（9）式的正確性，選取實際數據加以驗證。經過查閱 資料，得到有關殲-1。的相關技術參數：(5) 技術參數 付虧表小 數值 備注 機翼面積 S 40 m2 估計值 升力系數 C CL 2.2 估計值 最小平飛速度 VO 145km/ h 官方證實約為0.3 m/ s 全機空重 m m 8840 kg 官方證實 此外，空氣密度取20攝氏度時的大小，即1.205 kg kg / m m3,重力加速度取 9.8 m m/ s s2,將上述數據代入（9）式可得 L 1 2 , F = - ；-SCLV 0 = 86109. 25N G = mg = 86632N 飛機在天空中穩定飛行時，應該認為

8、處丁平衡狀態，所以受到的重力和升力 應該相等。而將最小平飛速度和飛機空重作為數據代入也是合理的。 代入具體數 據后，經過比較可以發現，升力和重力在誤差允許的范圍內是相等的。 4. 誤差分析 盡管理論值和實際值符合得很好，但是 是有一些誤差，而且，實際過程中飛機的重 量不可能是完全空重，如果考慮到駕駛員的 重量和加入的燃油的重量，則理論值和實際 值的偏差不能忽略。產生誤差的原因主要有 兩個： 首先是原始數據并不精確，正如在表格中標注的一樣，機翼面積和升力系數 官方并未公布，機翼面積是專家和愛好者根據官方給出的機翼長寬數據和形狀估 算出來的，而升力系數是專家和愛好者根據殲-7,殲-8以及美國和俄羅

9、斯的一 些飛機類比估算出來的。 另外一個是考慮飛機升力的時候將問題簡化了， 很多地方并沒有考慮。首先, 空氣并不是理想氣體，所做的也不是定常流動；其次，各種阻力如摩擦阻力、壓 差阻力、誘導阻力并未加以考慮；最后，尾翼所提供的升力和負升力因為能力有 限，也都沒有考慮。 5. 機翼升力的逆應用 飛機能夠飛行考的是升力,而在在汽車中需要的是負升力。將機翼產生升力 的原理反向應用于跑車和賽車，在賽車車身上安裝擾流翼板，空氣會將汽車緊緊 壓在地面上，給汽車足夠的抓地力。 在一級方程式賽車世界錦標賽上， 有這么一 句話：“誰掌握了空氣，誰就掌握了 F1”。這足以證明伯努利方程為賽車行業作 出的重要貢獻。

10、三、結束語 其實，飛機升天是一代代人努力的結果， 機翼升力問題也不是一個伯努利方 程就能解釋活楚的，以上只是用伯努利方程和其他基礎知識對飛機能夠升天的現 象進行簡單的解釋和計算。 事實上，伯努利方程被應用到社會的各個領域。除了飛機機翼，噴霧器、汽 油發動機的汽化器、流量計都是伯努利方程的應用，而足球中“香蕉球” 、乒乓 球中“下旋球”、船吸現象也都可以用伯努利方程解釋。所以說，伯努利方程或 者說流體力學，作為科學技術，滲透到社會的各個角落。而我們，則應利用科學 技術，趨利避害，努力造福人類社會。 參考文獻 1 黃俊，吳文正，武哲，柯賢德.雙三角翼飛機氣動力工程計算研究.北京 航空航天大學學報.2000 2 王家楣,張志宏,馬乾初.流體力學.大連海事學院出版社，2002 3 郭守月.牛頓運動定律和機翼舉力.大學物理