1、函數的最大函數的最大( (小小) )值與導數值與導數復習引入復習引入 如果在如果在x0 x0附近的左側附近的左側 f/f/（x x）0 ,0 ,右側右側f/(x)0 ,f/(x)0 ,那么那么,f(x0),f(x0)是極大值是極大值; ; 如果在如果在x0 x0附近的左側附近的左側 f/(x)0, f/(x)0 ,f/(x)0 ,那么那么,f(x0) ,f(x0) 是極小值是極小值. .2.導數為零的點是該點為極值點的必要條件導數為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充而不是充 分條件分條件.極值只能在函數的導數為零且在其附近左右極值只能在函數的導數為零且在其附近左右兩側的導數異號時取到兩側

2、的導數異號時取到.3.在某些問題中在某些問題中,往往關心的是函數在一個定義區間上往往關心的是函數在一個定義區間上, 哪個值最大哪個值最大,哪個值最小哪個值最小,而不是極值而不是極值.1.當函數當函數f(x)在在x0處連續時處連續時,判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的值的方法是方法是: 分析下圖一個定義在區間分析下圖一個定義在區間 上的函數上的函數 的極值的極值和最值和最值 ba,)(xf如何求如何求 在在 內的最大值與最小值呢？內的最大值與最小值呢？ )(xf ba ,函數的最值函數的最值x xX2X2o oa aX3X3b bx x1 1y y 觀察右邊一個定義觀察右邊一個定義在區間

3、在區間a,b上的函數上的函數y=f(x)的圖象，你能的圖象，你能找出函數找出函數y=fx在在區間區間a，b上的最大上的最大值、最小值嗎？值、最小值嗎？發現圖中發現圖中_是極小值，是極小值，_是極是極大值，在區間上的函數的最大值是大值，在區間上的函數的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎樣才能判斷出樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 在閉區間在閉區間a,ba,b上的函數上的函數y=f(x)y=f(x)的圖象是一的圖象是一

4、條連續不斷的曲線條連續不斷的曲線, ,則它必有最大值和最小值則它必有最大值和最小值. .x xy y0a ab bx1x1x2x2x3x3x4x4f(a)f(a)f(x3)f(x3)f(b)f(b)f(xf(x1)1)f(x2)f(x2)gg 一般地，求函數一般地，求函數y=f(x)在在a,b上的最大值與最小上的最大值與最小值的步驟如下：值的步驟如下：:求求y=f(x)在在(a，b)內的極值內的極值(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b) 比較比較,其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小的一個為

5、最最小的一個為最小值小值. 求函數的最值時求函數的最值時,應注意以下幾點應注意以下幾點:(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題函數的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概是一個局部概 念念,而函數的最值是對整個定義域而言而函數的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍是在整體范圍 內討論問題內討論問題,是一個整體性的概念是一個整體性的概念.(2)閉區間閉區間a,b上的連續函數一定有最值上的連續函數一定有最值.開區間開區間(a,b)內內 的可導函數不一定有最值的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極則此極 值必是函數的最值值必是函數的最值. (3)函數在其定義域上的最大值與

6、最小值至多各函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個有一個,而函數的極值則可能不止一個而函數的極值則可能不止一個,也可能沒有也可能沒有極值極值,并且極大值并且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端點外在區間內部的最大值但除端點外在區間內部的最大值(或最小值或最小值),則則一定是極大值一定是極大值(或極小值或極小值). (4)如果函數不在閉區間如果函數不在閉區間a,b上可導上可導,則在確定函數的最則在確定函數的最值時值時,不僅比較該函數各導數為零的點與端點處的值不僅比較該函數各導數為零的點與端點處的值,還要還要比較函數在定義域內各不可導的點處的值比較函

7、數在定義域內各不可導的點處的值.例例1 1、求函數、求函數 在在00，33上的最大值與最小上的最大值與最小值值. .4431)(3 xxxf解：解：)2)(2(42 xxxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , 令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y+04y2(0，2)0 xy (23)，34 極小值極小值31因此函數因此函數 在在00，33上的最大值為上的最大值為4 4，最，最小值為小值為 . .4431)(3 xxxf34 練習1、求函數、求函數y=x4-2x2+5在區間在區間-2,2上的最大上的最大值與最小值值與最小值.2、求函數、求函數 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最上的最大值與最小值大值與最小值最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.最大值為最大值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5求函數求函數 在在 內的極值；內的極值； )(xf),(ba1. 求求 在在 上的最大值與最小值的步驟上的最大值與最小值的步驟:)( xf,ba求函數求函數 在區間端點在區間端點 的值；的值； )(xf)()(bfaf、 將函數將函數 在各極值與在各極值與 比較，其中最大的一比較，其