1、2018-2019 學年江蘇省無錫市錫山高級中學高一（下）期末數學試卷一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.1（5 分）在等差數列an中，若 a24，a42，則 a6（）A1B0C1D62（5 分）如圖是 60 名學生參加數學競賽的成績（均為整數）的頻率分布直方圖，估計這次數學競賽的及格率是（）A75%B25%C15%D40%3（5 分）若直線 2mx+y+60 與直線（m3）xy+70 平行，則&#

2、160;m 的值為（）A1B1C1 或1D34（5 分）以邊長為 1 的正方形的一邊所在所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（）A2BC2D15（5 分）一艘海輪從 A 處出發，以每小時 40 海里的速度沿南偏東 40°的方向直線航行，30 分鐘后到達 B 處，在 C 處有一座燈塔，海輪在 A 處觀察燈塔，其方向是南偏東 70°，在 B 處觀察燈塔

3、，其方向是北偏東 65°，那么 B，C 兩點間的距離是（）海里A10B20C10D20（6 5 分）已知 ， 是兩個不重合的平面，下列四個條件中能推出 的個數是（）第 1 頁（共 21 頁）7 5 分）已知正數組成的等比數列an，若 a1a20100，那么 a7+a14 的最小值為（  ）存在一條直線 a，a，a；存在一個平面 ，；存在兩條平行直線 a，b，a，b，a

4、，b；存在兩條異面直線 a，b，a，b，a，b；A0B1C2D3（A20B25C50D不存在8（5 分）某公司 10 位員工的月工資（單位：元）為 x1，x2，x10，其均值和方差分別為 和 s2，若從下月起每位員工的月工資增加 100 元，則這 10 位員工下月工資的均值和方差分別為（）A ，s2+1002C ，s2B +100，s2+1002D +100，s29（5 分）若直線 axby+20（a0，b0）被圓 

5、x2+y2+2x4y+10 截得的弦長為 4，則的最小值為（）ABC +D +210（5 分）一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當 ab，bc 時稱為“凹數”（如 213，312 等），若 a，b，c1，2，3，4且 a，b，c 互不相同，則這個三位數是“凹數”的概率是（）ABCD11（5 分）在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，已知面角 EBDC 的平面角的大小為（）ABC，E 為&

6、#160;CC1 的中點，則二D12（5 分）ABC 中，ABC 所在平面內存在點 P 使得 PB2+PC23PA23，則ABC 面積最大值為（）ABCD二、填空題：本小題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13（5 分）若兩個球的表面積之比是 4：9，則它們的體積之比是14（5 分）某公司有 A、B 兩個部門，共有職工 300 人，其中 A 部門有職工

7、60;132 人，按部第 2 頁（共 21 頁）門職工數比例用分層抽樣的方法，從該公司的職工中抽取一個容量為25 的樣本，則從 B部門抽取的員工人數是（15 5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若，17 12 分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABAC，ACAA1，D 是棱 AB 的中點則角 C16（5 分）在平面直角坐標系 xOy

8、0;中，點 A（4，0），B（0，4），從直線 AB 上一點 P 向圓（x1）2+（y+1）24 引兩條切線 PC，PD，切點分別為 C，D，則直線 CD 過定點，定點坐標為三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1）求證：BC1平面 A1CD；（2）求證：BC1A1C18（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a3，b5，c7（1）求角

9、0;C 的大小；（2）求 sin（B+）的值19（12 分）已知函數 f（x）|2x1|+|2x+1|，g（x）|a1|a|x|（1）當 x0 時，求不等式 f（x）4 的解集；（2）設函數 f（x）的值域為 M，函數 g（x）的值域為 N，若滿足 MN ，求 a 的取值范圍20（12 分）如圖，矩形 ABCD 是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點 E 在 AB 上，在梯

10、形BCDE 區域內部展示文物，DE 是玻璃幕墻，游客只能在ADE 區域內參觀在 AE 上的點P 處安裝一可旋轉的監控攝像頭，MPN 為監控角，其中 M，N 在線段 D，E（含端點）上，且點 M 在點 N 的右下方，經測量得知：AD8 米，AE8 米，AP2 米，第 3 頁（共 21 頁）記EPM，監控攝像頭的可視區域PMN 的面積為 S 平方米（1）求

11、60;S 關于  的函數關系式，并寫出 cos 的取值范圍；（）求可視區域PMN 的面積的最小值21（12 分）已知點 A（2，2），B（2，6）C（6，6），其外接圓為圓 H（1）求圓 H 的方程；（2）若直線 l 過點 P（0，5），且被圓截得的弦長為，求直線 l 的方程；（3）對于線段 OA 上任意一點 P，若在以 B 為圓心的圓上都存在不同的兩點 M，N，使得點

12、0;M 是線段 PN 的中點，求圓 B 的半徑 r 的取值范圍22  （ 10分 ） 設 數 列 an 的 前n項 和 為（1）若，求 a1 的值；（2）若 a1，a2，a3 成等差數列，求數列an的通項公式Sn ， 且 滿 足 ：第 4 頁（共 21 頁）2018-2019&#

13、160;學年江蘇省無錫市錫山高級中學高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.1（5 分）在等差數列an中，若 a24，a42，則 a6（）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中項求解即可【解答】解：在等差數列an中，若 a24，a42，則 a4 （a2+a6）2，解得 a60故選：B【點評】本題考查等差數列的性質，等差中項個數的應用，考查計算能力2（5 分）如圖是 60 名

14、學生參加數學競賽的成績（均為整數）的頻率分布直方圖，估計這次數學競賽的及格率是（）A75%B25%C15%D40%【分析】先根據直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率求出 60 分及以上的頻率，從而估計總體中這次數學競賽的及格率【解答】解：大于或等于 60 分的共四組，它們是：59.5，69.5），69.5，79.5），79.5，89.5），89.5，99.5）分別計算出這四組的頻率，如79.5，89.5）這一組的矩形的高為 0.025直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，則79.5，89.5）這一組的頻率0.025×100.25同樣可得，

15、60 分及以上的頻率（0.015+0.03+0.025+0.005）×100.75估計這次數學競賽競賽的及格率（大于或等于 60 分為及格）為 75%，第 5 頁（共 21 頁）故選：A【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關知識，直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為 1，以及頻數樣本容量×頻率，屬于基礎題3（5 分）若直線 2mx+y+60 與直線（m3）xy+70 平行，則 m 的值為（）A1B1C1&#

16、160;或1D3【分析】直接利用兩條直線平行的充要條件，解答即可【解答】解：因為兩條直線平行，所以：解得 m1故選：B【點評】本題考查兩條直線平行的判定，容易疏忽截距問題，是基礎題4（5 分）以邊長為 1 的正方形的一邊所在所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于（）A2BC2D1【分析】邊長為 1 的正方形，繞其一邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體為圓柱，從而可求圓柱的側面積【解答】解：邊長為 1 的正方形，繞其一邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體為圓柱，則所得幾何體的側面積為：1×2

17、15;12，故選：A【點評】本題是基礎題，考查旋轉體的側面積的求法，考查計算能力5（5 分）一艘海輪從 A 處出發，以每小時 40 海里的速度沿南偏東 40°的方向直線航行，30 分鐘后到達 B 處，在 C 處有一座燈塔，海輪在 A 處觀察燈塔，其方向是南偏東 70°，在 B 處觀察燈塔，其方向是北偏東 65°，那么 B，C 兩點間的距離是（）海里A10B20C10D20【分析

18、】根據題意畫出圖象確定BAC、ABC 的值，進而可得到ACB 的值，根據正弦定理可得到 BC 的值第 6 頁（共 21 頁）【解答】解：如圖，由已知可得，BAC30°，ABC105°，AB20，從而ACB45°在ABC 中，由正弦定理可得 BC故選：A×sin30°10  【點評】本題主要考查正弦定理的應用，考查三角形的解法，屬于基本知識的考查（6 5 分）已知 ， 是兩個不重合的平面，

19、下列四個條件中能推出 的個數是（）存在一條直線 a，a，a；存在一個平面 ，；存在兩條平行直線 a，b，a，b，a，b；存在兩條異面直線 a，b，a，b，a，b；A0B1C2D3【分析】在中，由面面平行的判定定理得 ；在中， 與  相交或平行；在中， 與  相交或平行；由面面平行的判定定理得 【解答】解：由 ， 是兩個不重合的平面，知：在中，存在一條直線 a，a，a，由面面平行的判定定理得 ，故正確；在中，存在一個平面

20、0;，則  與  相交或平行，故錯誤；在中，存在兩條平行直線 a，b，a，b，a，b，則  與  相交或平行，故錯誤；存在兩條異面直線 a，b，a，b，a，b，由面面平行的判定定理得 ，故正確故選：C第 7 頁（共 21 頁）7 5 分）已知正數組成的等比數列an，若 a1a20100，那么 a7+a14 的最小值為（  ）【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、

21、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題（A20B25C50D不存在【分析】根據等比數列的性質以及基本不等式得 a7+a1422       220【解答】解：正數組成的等比數列an，a1a20100，a1a20a7a14100，a7+a1422220當且僅當 a7a14 時，a7+a14 取最小值 20故選：A【點評】本題考查等比數列性質的應用，結合基本不等式是解決本題的關鍵注意均值定理的合理運用8（5 分）某公司 10 位員工的

22、月工資（單位：元）為 x1，x2，x10，其均值和方差分別為 和 s2，若從下月起每位員工的月工資增加 100 元，則這 10 位員工下月工資的均值和方差分別為（）A ，s2+1002C ，s2B +100，s2+1002D +100，s2【分析】根據變量之間均值和方差的關系和定義，直接代入即可得到結論【解答】解：由題意知 yixi+100，則 （x1+x2+x10+100×10）（x1+x2+x10） +100，方差 s2（x1+10

23、0（ +100）2+（x2+100（ +100）2+（x10+100（ +100）2（x1 ）2+（x2 ）2+（x10 ）2s2故選：D【點評】本題主要考查樣本數據的均值和方差之間的關系，利用均值和方差的定義是解決本題的關鍵，要求熟練掌握相應的計算公式9（5 分）若直線 axby+20（a0，b0）被圓 x2+y2+2x4y+10 截得的弦長為 4，則第 8 頁（共 21 頁）的最小值為（）ABC +   

24、;        D +2【分析】圓即 （x+1）2+（y2）24，表示以 M（1，2）為圓心，以 2 為半徑的圓，由題意可得 圓心在直線 axby+20 上，得到 a+2b2，故 + +  +1，利用基本不等式求得式子的最小值【解答】解：圓 x2+y2+2x4y+10 即（x+1）2+（y2）24，表示以 M（1，2）為圓心，以 2 為

25、半徑的圓，由題意可得 圓心在直線 axby+20（a0，b0）上，故1a2b+20，即 a+2b2，當且僅當     +      + +  +1 +2        ，時，等號成立，故選：C【點評】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，以及基本不等式的應用，得到 a+2b2，是解題的關鍵10（5

26、60;分）一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當 ab，bc 時稱為“凹數”（如 213，312 等），若 a，b，c1，2，3，4且 a，b，c 互不相同，則這個三位數是“凹數”的概率是（）ABCD【分析】根據題意，分析“凹數”的定義，可得要得到一個滿足 ac 的三位“凹數”，在1，2，3，4的 4 個整數中任取 3 個數字，組成三位數，再將最小的放在十位上，剩余的 2 個數字分別放在百、個位上即可，再利用古典概型概率

27、計算公式即可得到所求概率【解答】解：根據題意，要得到一個滿足 ac 的三位“凹數”，在1，2，3，4的 4 個整數中任取 3 個不同的數組成三位數，有 C43×24 種取法，在1，2，3，4的 4 個整數中任取 3 個不同的數，將最小的放在十位上，剩余的 2 個數字分別放在百、個位上，有 C43×28 種情況，第 9 頁（共 21 頁）則這個三位數是“凹數”的概率是；故選：C【

28、點評】本題考查組合數公式的運用，關鍵在于根據題干中所給的“凹數”的定義，再利用古典概型概率計算公式即得答案11（5 分）在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，已知，E 為 CC1 的中點，則二面角 EBDC 的平面角的大小為（）ABCD【分析】由題意畫出圖形，找出二面角 EBDC 的平面角，求解三角形得答案【解答】解：如圖，連接 AC，BD，相交于點 O，ABBC，OC，而BCEDCE，BEDE，則 OEBD，EOC 為二面角 EBDC

29、0;的平面角，設 ABBC2，則 OC  ，則 CEEOC即二面角 EBDC 的平面角的大小為故選：B【點評】本題考查二面角的平面角的求法，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題12（5 分）ABC 中，ABC 所在平面內存在點 P 使得 PB2+PC23PA23，則ABC 面積最大值為（）第 10 頁（共 21 頁）ABCD【分析】以 BC 的中點為坐標原點，BC 所在直線為 

30、x 軸，建立直角坐標系，設 B（a，0），C（a，0），（a0），則 A（0，），設 P（x，y），運用兩點距離公式可得 P在兩圓上，由圓與圓的位置關系的等價條件，解不等式可得 a 的范圍，再由三角形的面積公式，結合二次函數的最值求法，可得最大值【解答】解：以 BC 的中點為坐標原點，BC 所在直線為 x 軸，建立直角坐標系，設 B（a，0），C（a，0），（a0），則 A（0，），設 P（x，y），由 PB2+PC23PA23，可得（

31、x+a）2+y2+（xa）2+y23x2+（y）23，可得 x2+y2 a2，x2+（y）21，即有點 P 既在（0，0）為圓心，半徑為的圓上，也在（0，）為圓心，1 為半徑的圓上，可得|1|1+，由兩邊平方化簡可得 a2，則ABC 的面積為 S 2aa               ，由 a2，可得 a2，S 取得最大值，且為故

32、選：B【點評】本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運用坐標法和圓與圓有公共點的條第 11 頁（共 21 頁）件，考查化簡整理的運算能力，屬于難題二、填空題：本小題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13（5 分）若兩個球的表面積之比是 4：9，則它們的體積之比是8：27【分析】設出兩個球的半徑分別不是球的表面積和體積，由題意求出半徑的比，體積比是半徑比的立方【解答】解：設兩個球的半徑分別為 R，r，則表面積之比是 4R2：4r24：9，所以

33、60;R：r2：3，球的體積之比為8：27；故答案為：8：27【點評】本題考查了球的表面積告訴和體積公式的運用，兩個球的表面積之比等于半徑的平方比，體積之比等于半徑的立方比，屬于基礎題14（5 分）某公司有 A、B 兩個部門，共有職工 300 人，其中 A 部門有職工 132 人，按部門職工數比例用分層抽樣的方法，從該公司的職工中抽取一個容量為25 的樣本，則從 B部門抽取的員工人數是14【分析】根據分層抽樣方法的特點，求出 B 部門的員工以及應從 B&#

34、160;部門中應抽取的人數即可【解答】解：B 部門的員工有 300132168（人），從 B 部門中應抽取的人數為 25×14故答案為：14【點評】本題考查了分層抽樣方法的應用問題，是基礎題目（15 5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，若則角 C【分析】由余弦定理可得 c2a2+b22abcosC，再結合條件可得 tanC【解答】解：由余弦定理，有 c2a2+b22abcosC，然后求出 C，則，C

35、（0，），C第 12 頁（共 21 頁）故答案為：【點評】本題考查了余弦定理和同角三角函數的基本關系，屬基礎題16（5 分）在平面直角坐標系 xOy 中，點 A（4，0），B（0，4），從直線 AB 上一點 P 向圓（x1）2+（y+1）24 引兩條切線 PC，PD，切點分別為 C，D，則直線 CD 過定點，定點坐標為（0，2）【分析】由題意可得 AB 所在直線方程，設 P（x0，y0），則

36、60;y0x0+4，求出 CD 所在直線方程，可得 CD 所在直線方程方程含有 x0，且 x0 在直線 AB 上，可取特殊值算定點【解答】解：如圖，直線 AB 的方程為 xy+40，設 P（x0，y0），則 y0x0+4，當 CD 的直線的斜率存在，（x1）2+（y+1）24，圓心為（1，1），則：圓心到 P 點的中點坐標為：（圓心到 P 點的距離為 d；所以以 d 

37、為直徑的圓的方程為：（x）2+（y，     ），）2 將 d 代 入  ，由    可得 CD 的直 線 系方 程 ：（ x0  1 ） x+ （ y0+1 ） y  2 +0；因為 x0R ，可取兩值 x0 代入得兩直線；則兩

38、直線的交點即為 CD 過的定點，定點坐標為：（ ， ）；故答案為：（ ， ）；第 13 頁（共 21 頁）17 12 分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABAC，ACAA1，D 是棱 AB 的中點【點評】本題考查圓的切線方程，考查直線與圓位置關系的應用，體現了數學轉化思想方法，屬中檔題三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1）求證：BC1平面 A1CD；（2）求證：B

39、C1A1C（【分析】 1）連接 AC1，設 AC1A1CO，連接 OD，可求 O 為 AC1 的中點，D 是棱 AB的中點，利用中位線的性質可證 ODBC1，根據線面平行的判斷定理即可證明 BC1平面 A1CD（2）由（1）可證平行四邊形 ACC1A1 是棱形，由其性質可得 AC1A1C，利用線面垂直的性質可證 ABAA1，根據 ABAC，利用線面垂直的判斷定理可證 AB平面 ACC1A1，利用線

40、面垂直的性質可證 ABA1C，又 AC1A1C，根據線面垂直的判斷定理可證 A1C平面 ABC1，利用線面垂直的性質即可證明 BC1A1C第 14 頁（共 21 頁）【解答】證明：（1）連接 AC1，設 AC1A1CO，連接 OD，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，側面 ACC1A1 是平行四邊形，所以：O 為 AC1 的中點，又因為：D 是棱 AB 的中點，所以：ODBC1

41、，又因為：BC1平面 A1CD，OD平面 A1CD，所以：BC1平面 A1CD（2）由（1）可知：側面 ACC1A1 是平行四邊形，因為：ACAA1，所以：平行四邊形 ACC1A1 是棱形，所以：AC1A1C，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1平面 ABC，因為：AB平面 ABC，所以：ABAA1，又因為：ABAC，ACAA1A，AC平面 ACC1A1，AA1平面 ACC1A1，所以：AB平面 ACC1A1，因為：A1C平面 ACC1A1

42、，所以：ABA1C，又因為：AC1A1C，ABAC1A，AB平面 ABC1，AC1平面 ABC1，所以：A1C平面 ABC1，因為：BC1平面 ABC1，所以：BC1A1C【點評】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質，線面垂直的判定，考查了第 15 頁（共 21 頁）空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題18（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 a3，b5，c7（1）求角 C 的大小；（2）求

43、 sin（B+）的值（【分析】 ）在ABC 中，由余弦定理可得 cosC 的值，即可求得 C 的值（2）由條件利用正弦定理求得 sinB 的值，利用同角三角函數的基本關系可得 cosB 的值，再利用兩角和差的正弦公式求得 sin（B+）的值（【解答】解： ）在ABC 中，由余弦定理可得 cosC         ，C，即（2）由正弦定理可得，sinB再由&#

44、160;B 為銳角，可得 cosB  ，sin（B+  ）sinBcos  +cosBsin+【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦定理以及余弦定理的應用，屬于中檔題19（12 分）已知函數 f（x）|2x1|+|2x+1|，g（x）|a1|a|x|（1）當 x0 時，求不等式 f（x）4 的解集；（2）設函數 f（x）的值域為 M，函數 g（x）的值域為 N，若滿足 MN，求

45、 a 的取值范圍（【分析】 1）利用零點分段法，分兩種情況解不等式，然后求這兩個不等式解集的交集；（2）利用絕對值不等式求出 f（x）的值域，利用函數的單調性求出g（x）的值域，根據MN建立不等式求解，然后分兩種情況討論【解答】解：（1）f（x）|2x1|+|2x+1|，x0，f（x）4，當當時，有 12x2x14，時，12x+2x+14，         ，；當 x0 時不等式的解集為x|1x0；（2）f（x）|2x1|+|2x+1|

46、（2x1）（2x+1）|2，f（x）的值域為 M2，+第 16 頁（共 21 頁）；當 a0 時，|x|0，g（x）的值域（，|a1|，若 MN則|a1|2，1a3，又 a0，0a3；當 a0 時，|x|0，g（x）的值域為|a1|，+），此時一定滿足 MN，a0 不符合條件，綜上，a 的取值范圍為0，3）【點評】本題考查了絕對值不等式的解法和函數的值域，考查了轉化思想和分類討論思想，屬中檔題20（12 分）如圖，矩形 ABCD

47、0;是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點 E 在 AB 上，在梯形BCDE 區域內部展示文物，DE 是玻璃幕墻，游客只能在ADE 區域內參觀在 AE 上的點P 處安裝一可旋轉的監控攝像頭，MPN 為監控角，其中 M，N 在線段 D，E（含端點）上，且點 M 在點 N 的右下方，經測量得知：AD8 米，AE8 米，AP2 米，EPM，監控攝像頭的可視區域PMN 的面積為 S

48、 平方米（1）求 S 關于  的函數關系式，并寫出 cos 的取值范圍；（）求可視區域PMN 的面積的最小值記（【分析】 1）利用正弦定理，求出 PM，PN，即可求 S 關于  的函數關系式，當 M 與 E重合時，0，N 與 D 重合時，cosAPD，求出 ，即可寫出 cos 的取值范圍；（2）當 2+，即 時，求出 S 取得最

49、小值【解答】解：（）在PME 中，EPM，PE826（米），PEM，由正弦定理可得 PM，PME第 17 頁（共 21 頁）同理，在PNE 中，PNPMN 的面積為S PMPNsinMPN      ，當 M 與 E 重合時，0，N 與 D 重合時，cosAPD    ，即 arccos，0arccos，cos1；綜上所述，S（

50、2）當 2+S 取得最小值為  ，即 18（，cos    ，1；時，1）平方米【點評】本題考查正弦定理的應用問題，也考查了三角形面積的計算問題，考查了三角函數知識的運用問題，是中檔題21（12 分）已知點 A（2，2），B（2，6）C（6，6），其外接圓為圓 H（1）求圓 H 的方程；（2）若直線 l 過點 P（0，5），且被圓截得的弦長為，求直線 l 的方程；（3）對于線段 OA 上

51、任意一點 P，若在以 B 為圓心的圓上都存在不同的兩點 M，N，使得點 M 是線段 PN 的中點，求圓 B 的半徑 r 的取值范圍（【分析】 1）設出圓的一般方程，代入 A，B，C 的坐標解方程組可得圓的一般方程；（2）按照直線 l 的斜率是否存在分兩種情況討論，利用點到直線的距離和勾股定理可得；（3）設出 P（m，n），N（x，y），根據中點公式求得 M 的坐標，將 M，N 的坐標代入圓第 18 頁（共 21 頁）B 的方程，得到兩個圓的方程，根據兩