1、.第五單元第五單元 基本初等函數基本初等函數知識體系知識體系.第八節第八節 正、余弦定理的應用正、余弦定理的應用基礎梳理基礎梳理1. 解三角形一般地，把三角形三個角A，B，C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.2. 解三角形的類型（1）已知三邊求三角，用 余弦 定理；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角， 用 余弦 定理；（3）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角，用 正弦 定理；（4）已知兩邊和一邊的對角，求第三邊和其他兩角，用 正弦 定理.題型一題型一 三角形與立體幾何的綜合問題三角形與立體幾何的綜合問題【例1】如圖，某人在高

2、出海面300 m的山上P處，測得海面上的航標A在正東，俯角為30，航標B在南偏東60,俯角為45，求這兩個航標間的距離.分析 將問題轉化為立體幾何問題，然后利用三角形知識求解.解由題意得PBC=45,PAC=30,ACB=30,PC=300，在RtPCB中，BC=PC=300.在RtPCA中，在ABC中,由余弦定理,得典例分析典例分析. 3300PC3AC.AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACBAB=300(m).學后反思本題涉及到測量的俯角、方向角等概念，在解題時應結合實際情況正確理解，并要作出合理轉化.,3002330033002-300)3(300222舉一反三舉一反三1. 某人

3、在山頂觀察地面上相距300 m的A與B兩個目標，測得目標B在南偏東5，俯角45，同時測得A在南偏東35，俯角30,求山高（設A、B與山底在同一平面上）.解析:畫圖，設山高MC=x,由題意可得MBC=45,MAC=30,ACB=30.在RtMCB中，BC=MC=x,在RtMCA中，在ABC中，由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即x=300.即山高為300 m.x.3MC3AC,2332-3300222xxxx.題型二題型二 構造三角形模型解應用題構造三角形模型解應用題 【例2】(14分)一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發現足

4、球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動.如圖所示，已知 dm,AD=17 dm,BAC=45.若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？24AB分析“最快截住”是指“機器人從點B沿直線運動時和足球在直線AD上的點C處相遇”，此時CD=2BC，將問題歸結到ABC中，用余弦定理解決.解 設該機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設BC=x dm,由題意知，CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x) dm.2在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,.4即x2=( )2+(17-2x)2-2 (17-2x)cos 45

5、,.7解得x1=5 dm,x2= dm,.10AC=17-2x=7 dm或 dm(不合題意，舍去).12所以該機器人最快可在線段AD上離點A 7 dm的點C處截住足球.,142424337323學后反思本題中機器人在從點B開始運動時必須選擇一個方向，在這個方向上沿直線運動恰好與足球在直線AD上的點C相遇，這樣才能達到“最快截住”的目的，否則就不是“最快截住”，這樣就可以把問題歸結到一個三角形中，用正、余弦定理來解決問題.舉一反三舉一反三2. 航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內，已知飛機的高度為海拔10 000 m,速度為180 km/h,飛機先看到山頂的俯角為15,經過420 s后又看

6、到山頂的俯角為45,求山頂的海拔高度(取21.4,31.7).解析：如圖，A=15,DBC=45,ACB=30,AB=180 km/h420 s=21 000m.在ABC中， ,BC= sin 15=10 500( ).CDAD,CD=BCsinCBD=BCsin 45=10 500( ) =10 500( -1)10 500(1.7-1)=7 350.山頂的海拔高度為10 000-7 350=2 650(m).sinBCABsinAACB21000126262223.題型三題型三 三角形與函數的綜合問題三角形與函數的綜合問題【例3】在ABC中，若AB=AC，則cos A+cos B+cos

7、C的取值范圍為_.分析 易用余弦定理把原式化成“邊”的形式，又AB=AC，即b=c,B=C,則可把cos A+cos B+cos C轉化為以 為自變量的二次函數. ba.解 由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理,得學后反思解決三角形中的有關問題時，主要通過正弦定理和余弦定理進行邊角互化，但也要注意一些隱含條件的利用，例如，在三角形中：兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、大邊對大角、最大內角的取值范圍是 ,最小內角的取值范圍是 等.23(1, 23231)-ba(21-12,ba0a,2ba,cb 23 1)-ba(21-1ba)ba(21-2acb-ca22bca-cbC cos

8、B cosA cos222222222所求值的范圍是于是所以即由于3(0,),3.舉一反三舉一反三3. （2010興化模擬）如圖，A、B是單位圓O上的動點，C是圓與x軸正半軸的交點，設COA=.（1）當點A的坐標為 時，求sin 的值；(2)當0 ，且當點A、B在圓上沿逆時針方向移動時，總有AOB= ，試求BC的取值范圍.3 4,5 523解析：解析： （1）A點的坐標為 ，根據三角函數定義可知x= ，y= ,r=1，sin = .(2)AOB= ,COA=,COB=+ .由余弦定理得 -2OCOBcosBOC=1+1-2cos（+ ）=2-2cos（+ ）.0 ， + ， .12-2cos（

9、+ ）2+ ,即1 2+ ,亦即1BC .BC的取值范圍是1, .3 4,5 5354545yr33222BCOCOB33335631cos232332BC32323.【例例】(2008廣州)在ABC中，3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,則C=_.易錯警示易錯警示2166521錯解分析 在解三角形的問題中,三角形解的個數是一個很容易忽視的問題.上述錯解在于考生缺少解題經驗，沒有去進一步挖掘隱含條件而致錯.正解關于3cos A+4sin B=1.由于sin B0,故cos A 由于cos A ,故A 因此若C= ,則A+C,故C= 應舍去,即C= 312131365

10、656錯解 由已知等式整理得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=37,整理得25+24sin(A+B)=37,即sin(A+B)= ,又A+B+C=,所以sinC=sin(A+B)= ,解得C= 或 .考點演練考點演練10. (2009遼寧改編)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75和30,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60,AC=0.1 km,求BD的長.解析：在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=0.1.又因為BCD=180-60-

11、60=60,故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA.在ABC中， ，即AB= (km),因此，BD= km.sinsinABACBCAABCsin603 26sin1520AC3 2620.11. (2008上海)如圖，某住宅小區的平面圖呈扇形AOC，小區的兩個出入口設置在點A和點C處.小區里有兩條筆直的小路AD、DC,且拐彎處的轉角為120.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50 m，求該扇形的半徑OA的長(結果精確到1 m).解析：方法一：設該扇形的半徑為r m，由題意得CD=500 m，DA=300 m，CDO=60.在CD

12、O中，CD2+OD2-2CDODcos 60=OC2，即,解得故該扇形的半徑OA的長約為445 m.222r 21300)-(r5002-300)-(r500445(m).11900 4r方法二：如圖，連接AC，作OHAC,交AC于H.由題意得CD=500 m,AD=300 m，CDA=120,在ACD中，,700 213005002300500120 cosAD2CD-ADCDAC222222.故該扇形的半徑OA的長約為445 m.445(m).11900 4HAOcosAHOA1411HAOcosm 350AHOHAR.1411ADAC2CD-ADACCADcos,m 700ACt222，

13、中，在12. （2008湖南）在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45且與A相距 海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45+(其中 ,090)且與點A相距 海里的位置C.(1)求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；(2)若該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.240 2626sin1310.解析:(1)如圖，AB= ,AC= ,BAC=, .由于090,由余弦定理,得BC=AB2+AC2-2ABACcos = 所以船的行駛速度為 (海里/小

14、時).1310240 2626sin.26265)2626(-1cos2所以51532510510.（2）方法一：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是B(x1,y1)、C(x2,y2)，BC與x軸的交點為D.由題設,有所以過點B、C的直線l的斜率直線l的方程為y=2x-40.又點E(0,-55)到直線l的距離所以船會進入警戒水域.20.)-sin(451310CADACsiny30,)-cos(451310CAD ACcosx40,AB 22yx22112,1020k75341|40-550|d.方法二：如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q，在ABC中，由余弦定理,得在ABQ中,由正弦定理,得 1010109-1ABCco