1、. 性質（閉區間上連續函數）性質（閉區間上連續函數） 函數函數 極限（數列極限、函數極限）極限（數列極限、函數極限） 連續（或間斷）連續（或間斷）內容內容.一、函數一、函數：:函數的分類函數的分類函數函數初等函數初等函數非初等函數非初等函數( (分段函數分段函數, ,有無窮多項等有無窮多項等函數函數) )代數函數代數函數超越函數超越函數有理函數有理函數無理函數無理函數有理整函數有理整函數( (多項式函數多項式函數) )有理分函數有理分函數( (分式函分式函數數) ).鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數是兩個實數與與設設a)(0aU,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫做這鄰域的半徑叫

2、做這鄰域的半徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. 0axx,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數集數集 aaxx ).(0aU 記記作作.絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運算性質運算性質:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式:.函數的特性：M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數的有界性函數的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數數Xxf.數列的有界性數列的有界性：定義:

3、 對數列nx, 若存在正數M, 使得一切正整數n, 恒有Mxn 成立, 則稱數列nx有界,否則, 稱為無界.補充內容補充內容：1.單調遞增且有上界數列必有極限。單調遞增且有上界數列必有極限。2.單調遞減且有下界數列必有極限單調遞減且有下界數列必有極限。.2函數的單調性函數的單調性:,)(DIDxf 區間區間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區區間間xxxxI ;)(上上是是單單調調增增加加的的在在區區間間則則稱稱函函數數Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(xfy )(1xf)(2xfx

4、yoI;)(上是單調減少的上是單調減少的在區間在區間則稱函數則稱函數Ixf,)(DIDxf 區間區間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區區間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有.3函數的奇偶性函數的奇偶性:偶函數偶函數有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為為偶偶函函數數稱稱xf.有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數數稱稱xf奇函數奇函數)( xf yx)(xfox-x)(xfy .函數的周期

5、性函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正通常說周期函數的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域為的定義域為設函數設函數如如果果存存在在一一個個不不為為零零的的)()(xflxf 且且為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數數.)(,的周期的周期稱為稱為期函數期函數xfl.恒成立恒成立. 典型例題典型例題例例.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數求函數xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即.例例.)3(,212101)(的的定定

6、義義域域求求函函數數設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故.思考題思考題設設0 x，函函數數值值21)1(xxxf ，求求函函數數)0()( xxfy的的解解析析表表達達式式.思考題解答思考題解答設設ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf.二、極限函數極限的統一定義函數極限的統一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim A

7、xfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表).過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(.思考題思考題試試問問函函數數 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？.思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0

8、xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理lim( )0lim( )0.fxfx補充結論：補充結論：lim( )lim( ).(0)fxafxaa.小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxP

9、xfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應用則商的法則不能應用若若 xQ.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx.解解例例.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim122

10、1 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法).例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法).結論結論: :為為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法:

11、 :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.00 . 00 .例例. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則 .nnnnn222121122nnn22nn且22limnnnn1lim1nn122limnnn211limnn1nnlimnnnn2221211

12、1由.)(1lim21nnnnneeen nnnnnnneneeeen11111lim)1(1)1(1lim 解解：原原式式. 1)1ln(lim)1()1ln(lim)1(100 eueuueuuu例：例：10d1xexe.1.求極限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求極限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左邊左邊= 右邊.故極限存在，例：例： 設設 )(211nnnxaxx),2,1(n,

13、0a,01x, 且求.limnnx解：解：設Axnnlim則由遞推公式有1()2aAAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數列單調遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx.思考與練習思考與練習1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim.例例.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時時當

14、當xx .sin 是是有有界界函函數數而而x. 0sinlim xxxxxysin .)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時時的的極極限限也也存存在在，且且當當則則復復合合函函數數，又又的的某某去去心心鄰鄰域域內內但但在在點點，即即時時的的極極限限存存在在且且等等于于當當運運算算法法則則）設設函函數數定定理理（復復合合函函數數的的極極限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：.定理定理:).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfau

15、faxxxxxxx 則則有有連連續續在在點點函函數數若若意義意義1.極限符號可以與函數符號互換極限符號可以與函數符號互換;.)(.2的的理理論論依依據據變變量量代代換換xu .定理定理:注意注意:.)(,)(,)(,)(00000也也連連續續在在點點則則復復合合函函數數連連續續在在點點而而函函數數且且連連續續在在點點設設函函數數xxxfyuuufyuxxxxu 該該定理是上個定理的特殊情況定理是上個定理的特殊情況.無窮小（量）：無窮小（量）：0sinlim1xxx無窮小的性質 ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 兩個重要極限：兩個重要極限： xsin;xxtan;xxcos1;221xxar

16、ctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x1lim(1)xxxe2.1.兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式.思考與練習思考與練習填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e.例例. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx2

17、1cos)1(21sin2xxxx無窮小有界.令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12.0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e則有)()(1lim0 xvxxxu復習復習: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1. ;0,0,12sin)(2xaxxexxfax._ a上連續，上連續，在在)( 則則-2填空題：填空題：1.

18、20sin21lim1axxxex2.0_.極限的計算方法：極限的計算方法： 1、極限的四則運算法則及其推論；、極限的四則運算法則及其推論； 2、多項式與分式函數代入法求極限、多項式與分式函數代入法求極限; 3、消去零因子法求極限、消去零因子法求極限; 4、無窮小因子分出法、無窮小因子分出法(等價無窮小代換等價無窮小代換)求極限求極限; 5、利用無窮小運算性質求極限、利用無窮小運算性質求極限; 6、利用左右極限求分段函數極限、利用左右極限求分段函數極限; 7、復合函數極限運算法則、復合函數極限運算法則;(尤其利用復合函數連續性尤其利用復合函數連續性) 8、利用兩邊夾逼準則求極限、利用兩邊夾逼準

19、則求極限; 9、利用羅比達法則求極限利用羅比達法則求極限; 10、利用泰勒公式求極限、利用泰勒公式求極限; 11、利用定積分求極限、利用定積分求極限; 12、利用無窮級數的性質求極限、利用無窮級數的性質求極限; .思考題思考題: 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf ( )( )f xg x( )( )f xg x與與是否有極限？是否有極限？.思考題解答思考題解答:沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則

20、可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤.思考題思考題:任何兩個無窮小都可以比較嗎？任何兩個無窮小都可以比較嗎？.思考題解答思考題解答:不能不能例當例當 時時 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當故當 時時 x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.例例).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設設 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定

21、系系數數其其中中可可設設babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得32( )2p xxxx.xxxxxcossin1cos1lim0 )cos1)(cossin1(cossin1)cossin1)(cos1)(cos1(lim0 xxxxxxxxxxxxx ）（解：原式解：原式. 31sin2sin221limsin2sin22limcossin1cos1lim2202200 xxxxxxxxxxxxxxx例：例：.xxxnnx2sintan1tan1lim20 xxxnnx2sin1tan11tan1lim20）（）

22、（解解：原原式式 xxnx2sin1tan1lim0）（ xxnx2sin1tan1lim20）（ xxnx2sin)tan(1lim0 xxnx2sintan1lim20 .21n 例：例：.201tan1 sinlimln(1)xxxxxx思考題思考題：（如何做（如何做？）？）.) 1)(, 0)()()(xuxuxuxvbxvaxu)(lim, 0)(lim說明說明: 對于形如對于形如:的函數， 通常稱為冪指函數冪指函數如果如果那么有那么有bxvaxu)()(lim.31221222lim() ;lim();211xxxxxxxxxxx思考題思考題:.例例. 310lim(12 )?.(

23、1)xxx.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36ex2例例. 求求310lim(3sin )?xxx( )3lim ( )3v xbu xa.例例.)sin1tan1(lim310 xxxx求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln:xfxf 等等價價無無窮窮小小代代換換典型例題典型例題1 .310)1sin1tan1(1 limxxxx 原式原式310sin1sintan1 lim

24、xxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式.xxxx1)321(lim . 3)1)32(31(3lim1 xxxx解：原式解：原式. 1)321(lim1 xxxx例：例：., 0)21(lim332babaxxxx求求已已知知 0)121(lim33 xbaxxxx解：原式解：原式, 10)121(lim33 axbaxxx)21(lim332xxxbx )1121(lim33 xxxx)21(31lim3xxxx .32 例：例：.

25、三、 連續與間斷連續與間斷1. 函數連續的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有)()(0 xfxf2. 函數間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點.小結：1.函數在一點連續必須滿足的三個條件函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數區間上的連續函數;第一類間斷點第一類間斷點:（左右極限都存在的間斷點）左右極限都存在的間斷點）.第二類間斷點第二類間斷點:（左右極限至少有一個不存在的間斷點）左右極限至少有

26、一個不存在的間斷點）.間斷點間斷點(見下圖見下圖).可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x.閉區間連續函數的性質小結：閉區間連續函數的性質小結：則設, ,)(baCxf在2.( )f x上有最大值與最小值;上可取最大值與最小值之間的任何值;3. 若( ) ( )0,f a f b , ),(ba使( )0;f至少存在一個上有界;在1.( )f x,ba在4.( )f x,ba,ba.思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續續，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續續？又又若若|

27、 )(|xf、)(2xf在在0 x連連續續，)(xf在在0 x是是否否連連續續？.思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續續，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續續.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續續但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續續.例例.1,2cos1,1)(的的連連續續性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內連續內連續在在顯然顯然 xf.,1時時當當 x )(lim1xfx2)1(lim1 xx )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時時當當 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1