1、高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題05 三角函數(shù)1關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+ 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整數(shù)倍；假設(shè)<x1,x2<，且2f(x1)=f(x1+x2+)，那么x1<x2；函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱函數(shù)y=f(-x)的單凋遞增區(qū)間可由不等式2k-2x+2k+(kz)求得 .2函數(shù)f(x)=2cos2x+ (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)方程f(x)+a=0有解時(shí)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)cos()=時(shí)，求f(x)的值難點(diǎn)2 運(yùn)用三角恒等變形求值 1假設(shè)關(guān)于x的方程x2-4x·sin+·ta

2、n=0(<<有兩個(gè)相同的實(shí)根 (1)求a的取值范圍； (2)當(dāng)a=時(shí)，求cos(+)的值 而2(0，)，sin-cos=,求的值難點(diǎn)3 向量與三角函數(shù)的綜合 1向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=a·b-1 (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間cos1=3a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，a·b=,a·c=求cos2(+)+tan·cot的值 【解析】 由b+c的坐標(biāo)求出c的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式轉(zhuǎn)化為三角

3、函數(shù)關(guān)系式，再借助三角函數(shù)的恒等變形可求出cos2(+)+tan· cot的值【答案】 設(shè)c=(x，y)，b+c=(2cos,0)x=cos,y=sin即c=(cos，-sin) 由a·b=，a·c=， f(x)= f(x)的值域?yàn)?0，3)，f(x)與y=k有交點(diǎn)， k0，3 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 上面解答求出k的范圍只能保證y= f(x)的圖像與y=k有交點(diǎn)，但不能保證y=f(x)的圖像與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，如k=1，兩圖像有三個(gè)交點(diǎn)因此，正確的解答要作出了y=f(x)的圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解 【正確解答】 填(1，3)f(x) 作出其圖像如圖從圖5-1中可看出

4、：當(dāng)1<k<3時(shí)，直線y=k與 yf(x)有兩個(gè)交點(diǎn) 3要得到函數(shù)y=cosx的圖像，只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點(diǎn)的 ( ) 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng) 個(gè)長度 b橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)長度 c橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)長度 d橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)長度【正確解答】 選c 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像；再向左平行移動(dòng)子個(gè)長度后便得y=sin(x+)= cosx的圖像應(yīng)選c 4設(shè)函數(shù)f(x)

5、=sin(2x+)(-<<0)，y=f(x)圖像的一條對(duì)稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間； 【錯(cuò)誤答案】 (1)x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸，sin(2×+)=±1， + =k+k z =k+ ，-<<0， =-的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間.【錯(cuò)誤答案】 【特別提醒】利用三角函數(shù)圖像研究三角函數(shù)性質(zhì)(周期性、單調(diào)性、最值)，應(yīng)以根本的三角函數(shù)圖像y= sinx，y=cosx，y=tanx為根底，在研究單調(diào)性要注意復(fù)合函數(shù)(如y=1-sin(x+)，y=sin(-2x)， y=log

6、 sin(2x+)的單調(diào)性，在解決這類問題時(shí)，不能簡單地把，x+， -2x，2x+,看作一個(gè)整體，還應(yīng)考慮函數(shù)的定義域等問題y=asin(x+)與y=sinx圖像間的關(guān)系：由y=sinx圖像可以先平移后伸縮，也可先伸縮后平移要注意順序不同，平移也不同 【變式探究】 1 函數(shù)y=tan 在(-,)內(nèi)是減函數(shù)，那么 ( ) a0<1 b-1<0 c.1 d -1 2 函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期為 ( ) a b. c d2 3 當(dāng)0<x<時(shí)，函數(shù)f(x)=的最小值為 ( ) a.2 b2 c4 d. 44 化簡f(x)=cos(+2x)+cos(-2x

7、)+ 2(xr，kz)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期易錯(cuò)點(diǎn)2 三角函數(shù)的恒等變形 1設(shè)為第四象限的角，假設(shè)，那么tan2= . 2-<x<0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值36sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 4假設(shè)函數(shù)f(x)=cos(- )的最大值為2，試確定常數(shù)a的值 【特別提醒】由于三角函數(shù)式中包含著各種角，不同的三角函數(shù)的種類，以及不同的式了結(jié)構(gòu)，所以三角函數(shù)配湊、降次與升冪、引入輔助角等.同時(shí)在三角恒等變形中應(yīng)多觀察，以便發(fā)現(xiàn)角、三角函數(shù)名稱及式子結(jié)構(gòu)差異，運(yùn)用公式，找出差異的內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)墓?/p>

8、促使差異的轉(zhuǎn)化.另外，由于公式記錯(cuò)而在考試中失分是很常風(fēng)的，應(yīng)該熟練掌握各種要求記的公式及其使用范圍.【變式探究】 1 ( )atan btan2c1 d答案： b 解析：原式=tan 2.2 假設(shè)sin(-)=，那么cos(+2)= ( )4 函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)設(shè)(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin>0，那么sin=5.函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)為正值的x的集合 易錯(cuò)點(diǎn)3 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用1在直徑為1的圓o中，作一

9、關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0()將十字形的面積表示為的函數(shù)；()為何值時(shí)，十字形的面積最大?最大面積是多少?3設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx(xr)(1)證明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kz；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)證明f(x0)2=； (3)設(shè)f(x)在(0，+)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，an，證明：<an+1-an<f(x0)2=(3)證明：設(shè)x0>0是f(x)=0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，那么存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使【特別提醒】處理與角度有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，可優(yōu)先考慮三角方法，其一般步驟是：具體設(shè)角、

10、構(gòu)造三角函數(shù)模型，通過三角變換來解決另外，有些代數(shù)問題，可通過三角代換，運(yùn)用三角知識(shí)來求解有些三角問題，也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù)，利用代數(shù)知識(shí)來求解如前面第2、3題 【變式探究】 1將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，所得方程是 3 某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場的邊角地建一個(gè)矩形的健身室如下圖， abcd是一塊邊長為50米的正方形地皮，扇形cef是運(yùn)動(dòng)場的一局部，其半徑為40米，矩形aghm就是擬建的健身室，其中c、m分別在ab和ad上，h在ef上，設(shè)矩形aghm的面積為 s，hcf=，請(qǐng)將s表示為的函數(shù)，并指出當(dāng)點(diǎn)h在ef的何處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是多少? 4 函數(shù)f(x)=sin(1)將f(x)

11、寫成asin(x+)+k的形式并求其圖像對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)； (2)如果abc的三邊。a，b,c成等比數(shù)列，且邊 b所對(duì)的角為x，試求x的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域答案：解析：(2)由b2=ac，cosx= 0<xcos(-)=3 設(shè)，那么有 ( ) ao>b>c bo<b<c co<c<6 d6<c<o 答案： c 解析：由于a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin 24°，b=sin 26°，c=sin 25°，a<c<b 4

12、 函數(shù)y=4sin(wx+)w(wx-)(w>0)的圖像與直線y=3在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為p1，p2，p3，且|p3p5|=，那么w等于( ) a4 b1 c2 d.5 f()=,那么f()取得最大值時(shí)的值是 ( ) a bc d7的值是 . 答案：解析：1+tan10°= 原式=8 函數(shù)y=(sin-2x)的單調(diào)減區(qū)間是 . 9 求函數(shù)f(x)=的最小正周期、最大值和最小值 10 函數(shù)y=asin(w+)(xr)(其中a>o,w>0)的圖像在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為m(2，2)，與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為n(0,0) (1)求這個(gè)函數(shù)的解析式

13、；y=2sin()11 三點(diǎn)a，b，c的坐標(biāo)分別為a(3，0)，b(0，3)c(cos，sin)，kz，假設(shè)=-1，求的值 12 向量a= (1)假設(shè)f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；13 為第二象限的角，sin=，為第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 答案：解：為第二象限的角，sin=，cos=-.tan=-，又 為第一象限的角，cos=，sin14如下圖，有一農(nóng)民在自留地建造一個(gè)長10 m，深05 m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽側(cè)面材料每平方米造價(jià)50元，頂蓋材料每平方米造價(jià)10元 (1)把建立引水槽的費(fèi)用y(元)表示為引水槽的側(cè)面與地面所成的角dae=的函數(shù)；答案：作ahcd，垂足為h，那么ah=,adh=ah(ab+