1、會計學1隨機變量序列隨機變量序列(xli)的兩種收斂的兩種收斂第一頁，共17頁。 設 為一列(y li)隨機變量， 為一隨機變量，n,2101)(lim0)(limnnnnPP或 nPnnlim)( ,nPn定義(dngy)5.2由定義(dngy)可知， )( , 0nPnPn，或 則稱隨機變量序列 依概率收斂于 ，記作 如果 ，有 第2頁/共17頁第二頁，共17頁。隨機變量(su j bin lin)序列 n依概率(gil)收斂和數學分析中的序列收斂(shulin)有很大的不同當我們說隨機變量序列 n依概率收斂于,是指對，0如下事件n發生的概率，當n無限增大時，它無限接近于而當我們說序列n1

2、趨于0，是指當n無限增大時，無限接近于n1隨機變量序列依概率收斂與函數序列收斂也不一樣第3頁/共17頁第三頁，共17頁。 有了依概率收斂的概念，隨機變量序列(xli) 服從大數定律就可以表達為 n)(1111nEnnniiPniipnPn)(nanPnii11)(n伯努利大數(d sh)定律可以描述為 辛欽大數(d sh)定律描述為 特別地，111011)(lim,niiniinEnnP10)(lim,pnPnn1101)(lim,anPniinnPPnnn1)(lim, 0第4頁/共17頁第四頁，共17頁。例1、設 是獨立同分布(fnb)的隨機變量序列，且 n211,DaE試證： aknnP

3、nkk1) 1(2)(n證：()nkkEkn n121 ，由切比雪夫不等式0()()()()nknkkkDkn nPkan n12122101即)(0) 1(12326) 12)(1() 1(14222222nnnnnnnnn0) 1(2(lim1aknnPnkkn)() 1(21naknnPnkk故0) 1(2(lim1aknnPnkkn根據(gnj)定義即證2DEP)()()nnkkkkEakan nn n112211()nkkk Dn n22221141第5頁/共17頁第五頁，共17頁。2、性質、性質(xngzh)1）、若,PnPn1)(則P證：nn022nn與22nn)(0)2()2(

4、)(nPPPnn11, 0）（，從而）（有PP，由于是(ysh)則 中至少有一個(y )成立，即即 這表明，若將兩個以概率為1相等的隨機變量看作相等時，依概率收斂的極限是唯一的。第6頁/共17頁第六頁，共17頁。 nn,baPnPn,).(),(),(nbaggPnn2）、設 是兩個隨機變量(su j bin lin)序列， a，b為常數，若且在g(x,y)在點（a,b）處連續(linx)，證明(zhngmng)略，方法類似于1）則,PnPn)( ,nPnn3）、若)( ,nPnn則第7頁/共17頁第七頁，共17頁。二、依分布二、依分布(fnb)收斂收斂 上面(shng min)我們討論了隨機

5、序列依概率收斂的概念及有關性質，現在我們要問：那么(n me)它們相應的分布),(nPn如果已知函數)()(xFxFn與之間有什么關系呢？是否對Rx都有)()(nxFxFn成立。這個猜測對不對？第8頁/共17頁第八頁，共17頁。例2、設都是服從退化(tuhu)分布的隨機變量，且 n,10 P, 2 , 1, 11nnPn于是(ysh)對時有當1, 0n0)(nnPP所以(suy)( ,nPn成立。第9頁/共17頁第九頁，共17頁。 n,又設的分布(fnb)函數分別為),(),(xFxFn則0, 00, 1)(xxxFnxnxxFn1, 01, 1)(顯然(xinrn)，當0 x時，有)()(l

6、imxFxFnn成立(chngl)。0 x時，有)0(100lim)0(limFFnnn而當第10頁/共17頁第十頁，共17頁。 這個簡單的例子表明,一個隨機變量序列依概率(gil)收斂于某個隨機變量,相應的分布函數不一定在每一點上都收斂于這個隨機變量的分布函數的. 但是，如果再仔細觀察一下這個(zh ge)例子，就可以發現收斂關系不成立的點：x=0，恰好是F(x)的不連續點在F(x)的連續(linx)點)( ,nPn當時，它們的分布函數之間就有)()(limxFxFnn成立第11頁/共17頁第十一頁，共17頁。 ),(),(,21xFxFxF)()(limxFxFnn)(xFn).(),()

7、(nxFxFwn是一列(y li)分布函數，如果對成立(chngl)， 并記作1.定義定義(dngy) 設定義5.3F(x)的每一個連續點x， 都有則稱分布函數列弱收斂于分布函數F（x），)2 , 1(nn)(xFnn).( ,nLn若隨機變量序列的分布函數弱收斂于隨機變量的分布函數F（x）, 也稱按分布收斂于，并記作第12頁/共17頁第十二頁，共17頁。2.2.依概率依概率(gil)(gil)收斂與弱收斂之收斂與弱收斂之間的關系間的關系,21)(nPn)(),(21xFxF)()(nxFxFWn定理(dngl)4.若隨機變量列依概率收斂(shulin)于隨機變量，即則相對應的分布函數列弱收斂

8、于分布函數F（x）即證明 ：略。注意：這個定理的逆命題不一定成立，即不能從分布函注意：這個定理的逆命題不一定成立，即不能從分布函數列的弱收斂肯定相應的隨機變量序列依概率收斂，但數列的弱收斂肯定相應的隨機變量序列依概率收斂，但在特殊情況下，它卻是成立的。在特殊情況下，它卻是成立的。)(nPn)()(nxFxFWn即第13頁/共17頁第十三頁，共17頁。為常數）ccPn(cxF是)(cxcxxF, 0, 1)(定理5.6 隨機變量(su j bin lin)序列這里(zhl)的分布(fnb)函數，也就是退化分布(fnb)()(xFxFWn的充要條件為cPn)()(xFxFWn即證明 ：略。第14頁/共17頁第十四頁，共17頁。. .依概率收斂與按分布依概率收斂與按分布(fnb)(fnb)收斂間收斂間的關系的關系)(nPn)(nLn（）（）（）（） ncPnncLn第15頁/共17頁第十五頁，共17頁。)(xFn)(tn).(t定理5.7 分布(fnb)函數列弱收斂于分布(fnb)函數F(x)的特征函數充要條件是相應(xingyng)的特征函數