1、課時提升作業(十三)一、選擇題1.函數y=x5·ax(a>0且a1)的導數是()(a)y=5x4·axlna(b)y=5x4·ax+x5·axlna(c)y=5x4·ax+x5·ax(d)y=5x4·ax+x5·axlogax2.(·合肥模擬)假設拋物線y=x2在點(a,a2)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為16,那么a=()(a)4 (b)±4 (c)8 (d)±83.(·寶雞模擬)假設函數f(x)=excosx,那么此函數圖像在點(1,f(1)處的切線的傾斜角

2、為()(a)0 (b)銳角 (c)直角 (d)鈍角4.(·贛州模擬)設函數f(x)是定義在r上周期為2的可導函數,假設f(2)=2,且limx0f(x+2)-22x=-2,那么曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程是()(a)y=-2x+2 (b)y=-4x+2(c)y=4x+2 (d)y=-12x+25.如圖,其中有一個是函數f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(ar,a0)的導函數f(x)的圖像,那么f(-1)為()(a)2(b)-13(c)3(d)-126.(·安慶模擬)假設存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+154x-9都相切,那么

3、a等于()(a)-1或-2564(b)-1或214(c)-74或-2564(d)-74或7二、填空題7.函數f(x)的導函數為f(x),且滿足f(x)=3x2+2xf(2),那么f(5)=.8.(·宜春模擬)假設過原點作曲線y=ex的切線,那么切點的坐標為,切線的斜率為.9.(能力挑戰題)假設曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,那么實數a的取值范圍是.三、解答題10.求以下各函數的導數:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=.11.(·宿州模擬)設函數f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=

4、0.(1)求f(x)的解析式.(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.12.(能力挑戰題)設函數y=x2-2x+2的圖像為c1,函數y=-x2+ax+b的圖像為c2,過c1與c2的一個交點的兩條切線互相垂直.(1)求a,b之間的關系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】=(x5)·ax+x5·(ax)=5x4ax+x5·axlna.2.【解析】=2x,所以在點(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=12a,所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面

5、積s=12×|-a2|×|12a|=14|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選d.由得:f(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),f(1)=e(cos1-sin1).2>1>4,而由正、余弦函數性質可得cos 1<sin 1.f(1)<0,即f(x)在(1,f(1)處的切線的斜率k<0,切線的傾斜角是鈍角.4.【解析】選b.因為f(x)的周期為2,所以f(0)=f(2)=2.由limx0f(x+2)-22x=-2得12limx0f(x)-f(0)x=-2,即12f(0)=-2,得f(0)=-4,故曲線y=

6、f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=-4x+2.5.【解析】選b.f(x)=x2+2ax+(a2-1),導函數f(x)的圖像開口向上.又a0,其圖像必為(3).由圖像特征知f(0)=0,且對稱軸x=-a>0,a=-1,故f(-1)=-13.6.【思路點撥】先設出切點坐標,再根據導數的幾何意義寫出切線方程,最后由點(1,0)在切線上求出切點后再求a的值.【解析】選a.設過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,x03),所以切線方程為y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切線上,那么x0=0或x0=32,當x0=0時,由y=0與y=ax2+

7、154x-9相切可得=(154)2-4a(-9)=0,解得a=-2564,同理,當x0=32時,由y=274x-274與y=ax2+154x-9相切可得a=-1,所以選a.【方法技巧】導數幾何意義的應用導數的幾何意義是切點處切線的斜率,應用時主要表達在以下幾個方面:(1)切點a(x0,f(x0)求斜率k,即求該點處的導數值:k=f(x0).(2)斜率k,求切點a(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.(3)過某點m(x1,f(x1)(不是切點)的切線斜率為k時,常需設出切點a(x0,f(x0),利用k=f(x1)-f(x0)x1-x0求解.7.【解析】對f(x)=3x2+2xf(2)求導,

8、得f(x)=6x+2f(2).令x=2,得f(2)=-12.再令x=5,得f(5)=6×5+2f(2)=6.答案:68.【解析】y=ex,設切點坐標為(x0,y0),那么y0x0=ex0,即ex0x0=ex0,x0=1,因此切點的坐標為(1,e),切線的斜率為e.答案:(1,e)e9.【思路點撥】求出導函數,根據導函數有零點,求a的取值范圍.【解析】由題意可知f(x)=3ax2+1x,又因為存在垂直于y軸的切線,所以3ax2+1x=0a=(x>0)a(-,0).答案:(-,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+1

9、2x+11.方法二:y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)y=11-x+11+x=21-x,y=(21-x)=2(1-x)2.(3)y=cos2xsinx+cosx=cosx-sinx,y=-sinx-cosx.11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=74x-3.當x=2時,y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12

10、,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)設p(x0,y0)為曲線上任一點,由y=1+3x2知曲線在點p(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+3x02)(x-x0),即y-(x0-3x0)=(1+3x02)(x-x0).令x=0得y=-6x0,從而得切線與直線x=0的交點坐標為(0,-6x0).令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點坐標為(2x0,2x0),所以點p(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為s=12|-6x0|2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為

11、6.【變式備選】函數f(x)=x3+x-16.(1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標.(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-14x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.【解析】(1)方法一:設切點為(x0,y0),那么直線l的斜率為f(x0)=3x02+1,直線l的方程為y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又直線l過點(0,0),0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直線l的方程為y=13x,切點坐標為(-

12、2,-26).方法二:設直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0),那么k=y0-0x0-0=x03+x0-16x0.又k=f(x0)=3x02+1,x03+x0-16x0=3x02+1,解得x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直線l的方程為y=13x,切點坐標為(-2,-26).(2)切線與直線y=-14x+3垂直,切線的斜率k=4.設切點的坐標為(x0,y0),那么f(x0)=3x02+1=4,x0=±1,x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.切點坐標為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)對于c1:y=x2-2x+2,有y=2x-2,對于c2:y=-x2+ax+b,有y=-2x+a,設c1與c2的一個交點為(x0,y0),由題意知過交點(x0,y0)的兩條切線互