1、第四章第四章 桿系結構有限元桿系結構有限元 41 41 有限元法的基本思想有限元法的基本思想 42 42 桿系結構有限元法概述桿系結構有限元法概述 43 43 桿單元桿單元 44 44 梁單元梁單元 45 45 坐標變換坐標變換 46 46 坐標變換矩陣坐標變換矩陣 第四章第四章 桿系結構有限元桿系結構有限元1. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想 有限元法在有限元法在20世紀世紀50年代起源于飛機結構的矩陣年代起源于飛機結構的矩陣分析分析（Argyris,Turner ,Clough），），其其基本思想基本思想是用是用有限個離散單元的集合體代替原連續體，采用能量有限個離散單元的集合體代替原

2、連續體，采用能量原理研究單元及其離散集合體的平衡，以計算機為原理研究單元及其離散集合體的平衡，以計算機為工具進行結構數值分析。工具進行結構數值分析。它避免了經典彈性力學獲它避免了經典彈性力學獲得連續解的困難（建立和求解偏微分方程），使大得連續解的困難（建立和求解偏微分方程），使大型、復雜結構的計算容易地在計算機上完成，應用型、復雜結構的計算容易地在計算機上完成，應用十分廣泛。十分廣泛。ANSYS、 SAP2000、ADINA ETABS、ABUQUS、MARC 把整體結構離散為有限個單元，研究單元的平把整體結構離散為有限個單元，研究單元的平衡和變形協調；再把這有限個離散單元集合還原成衡和變形協

3、調；再把這有限個離散單元集合還原成結構，研究離散結構的平衡和變形協調。結構，研究離散結構的平衡和變形協調。 劃分的單元大小和數目根據計算精度和計算機能劃分的單元大小和數目根據計算精度和計算機能力來確定。力來確定。12345678910P5764 56345678 彈性懸臂板彈性懸臂板剖分與集合剖分與集合單元、節點需編號單元、節點需編號2. 有限元法原理有限元法原理有限元法主要優點：有限元法主要優點：（1） 概念淺顯，容易掌握。（離散、插值、能概念淺顯，容易掌握。（離散、插值、能量原理、數學分析）量原理、數學分析）（2）適用性強，應用范圍廣，幾乎適用于所有）適用性強，應用范圍廣，幾乎適用于所有連

4、續體和場問題的分析。（結構、熱、流體、連續體和場問題的分析。（結構、熱、流體、電磁場和聲學等問題）電磁場和聲學等問題）（3）計算規格化（采用矩陣表示），便于計算）計算規格化（采用矩陣表示），便于計算機編程。機編程。3. 有限元法的分析步驟有限元法的分析步驟 （1）結構）結構離散化離散化：用點、線或面把結構剖分為有：用點、線或面把結構剖分為有限個離散單元體，并在單元指定點設置限個離散單元體，并在單元指定點設置節點節點。研究。研究單元的平衡和變形協調，形成單元平衡方程。單元的平衡和變形協調，形成單元平衡方程。l/2l/2P123 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/212l/223 1、F1

5、 2、F2 3、F3 4、F4單元的單元的節點上節點上有位移有位移 和力和力F（2）單元）單元集合集合：把所有離散的有限個單元集合起來：把所有離散的有限個單元集合起來代替原結構，形成離散結構節點平衡方程。代替原結構，形成離散結構節點平衡方程。（3）由平衡方程求解得節點位移和計算單元應力。）由平衡方程求解得節點位移和計算單元應力。 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/212l/223 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/2l/2P1234. 有限元法分析思路流程有限元法分析思路流程解綜合方程解綜合方程K= P求結構節點位移求結構節點位移計算結構內力和應力計算結構內力和應力系統分析系統

6、分析(把單元剛度矩陣集合成結構剛度矩陣把單元剛度矩陣集合成結構剛度矩陣K形成等價節點荷載形成等價節點荷載P )離散（剖分）結構離散（剖分）結構為若干單元為若干單元單元分析單元分析(建立單元剛度矩陣建立單元剛度矩陣ke形成單元等價節點力形成單元等價節點力)5. 位移模式和形函數位移模式和形函數位移函數概念位移函數概念 由于有限元法采用能量原理進行單元分析，因而由于有限元法采用能量原理進行單元分析，因而必須事先設定位移模式。必須事先設定位移模式。 “位移模式位移模式”也稱也稱 “位移位移函數函數”或或“形函數形函數”，是，是單元內部位移變化的數學表單元內部位移變化的數學表達式，設為坐標的函數達式，

7、設為坐標的函數。 一般而論，位移函數選取會影響甚至嚴重影響計一般而論，位移函數選取會影響甚至嚴重影響計算結果的精度。在彈性力學中，恰當選取位移函數算結果的精度。在彈性力學中，恰當選取位移函數不是一件容易的事情；但不是一件容易的事情；但在有限元中，當單元劃分在有限元中，當單元劃分得足夠小時，把位移函數設定為簡單的多項式就可得足夠小時，把位移函數設定為簡單的多項式就可以獲得相當好的精確度。以獲得相當好的精確度。這正是有限單元法具有的這正是有限單元法具有的重要優勢之一。重要優勢之一。u選取位移函數應考慮的問題選取位移函數應考慮的問題 （1）位移函數的個數位移函數的個數 等于單元中任意一點的位移分量個

8、數。等于單元中任意一點的位移分量個數。 （3）位移函數中待定常數的個數位移函數中待定常數的個數 待定常數的個數應等于待定常數的個數應等于單元節點自由度總數，單元節點自由度總數，以便用單元節點位移確定位移函數中的待定常數。以便用單元節點位移確定位移函數中的待定常數。（2）位移函數是坐標的函數位移函數是坐標的函數 （1）位移函數中必須包含單元的剛體位移。位移函數中必須包含單元的剛體位移。 （2）位移函數中必須包含單元的常應變。位移函數中必須包含單元的常應變。 （3）位移函數在單元內要連續；相鄰單元間要盡位移函數在單元內要連續；相鄰單元間要盡 量協調。量協調。 條件（條件（1）、（）、（2）構成單元

9、的）構成單元的完備性準則完備性準則。 條件（條件（3）是單元的）是單元的位移協調性條件位移協調性條件。 理論和實踐都已證明，理論和實踐都已證明，完備性準則是有限元解完備性準則是有限元解收斂于真實解的必要條件。收斂于真實解的必要條件。單元的位移協調條件構成單元的位移協調條件構成有限元解收斂于真實解的充分條件。有限元解收斂于真實解的充分條件。收斂準則收斂準則 桿系結構桿系結構：梁、拱、框架、桁架等，它們常可：梁、拱、框架、桁架等，它們常可離散成桿元和梁元。離散成桿元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架結構離散結構離散 取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支承取桿件與桿件交點、集中力作用點、桿件與支

10、承的交點為節點。相鄰兩節點間的桿件段是單元。節的交點為節點。相鄰兩節點間的桿件段是單元。節點編號時力求點編號時力求單元兩端點號差最小。單元兩端點號差最小。 坐標系坐標系 有限元中的坐標系有整體坐標系和局部坐標系。有限元中的坐標系有整體坐標系和局部坐標系。對于一個結構，整體坐標系一般只有一個；而局部對于一個結構，整體坐標系一般只有一個；而局部坐標系有很多個，一個單元就有一個局部坐標。并坐標系有很多個，一個單元就有一個局部坐標。并且局部坐標系每一個單元的規定都是相同的，這樣，且局部坐標系每一個單元的規定都是相同的，這樣，同類型單元剛度矩陣相同。同類型單元剛度矩陣相同。XYPxyxy 桿系結構單元主

11、要有鉸接桿單元和梁單元兩種桿系結構單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有類型。它們都只有2個節點個節點i、j。 約定：約定：單元坐標系的原點置于節點單元坐標系的原點置于節點i；節點；節點i 到到 j 的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。軸的正向。 y軸、軸、z軸都與軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。軸垂直，并符合右手螺旋法則。 對于梁單元，對于梁單元， y軸和軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。性主軸。xyzij 下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長，長度為度為l，彈性模

12、量為，彈性模量為E，軸向分布載荷為，軸向分布載荷為px。單元有。單元有2個結點個結點i，j，單元坐標為一維坐標軸，單元坐標為一維坐標軸x。ijxlLINKpxujui1、一維桿單元、一維桿單元單元結點力向量：單元結點力向量：jieFFF（1）位移模式和形函數）位移模式和形函數 位移模式位移模式單元結點位移向量單元結點位移向量 jieuu 因為只有因為只有2個結點，每個結點位移只有個結點，每個結點位移只有1個自由度，個自由度，因此單元的位移模式可設為：因此單元的位移模式可設為：xaau21（4-3）式中式中a1、a2為待定常數，可由結點位移條件為待定常數，可由結點位移條件 x=xi 時，時， u

13、=ui x=xj 時，時， u=uj確定。再將由此確定的確定。再將由此確定的a1、a2 其代入式（其代入式（4-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（4-4）a1a2 形函數形函數 將式（將式（5-4）改寫為下列形式）改寫為下列形式 eNu（4-5）式中形函數式中形函數N為為 )()(1xxxxlNNNijji（4-6）（2）應變矩陣）應變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應變一維鉸接桿單元僅有軸向應變 dxdu將式（將式（5-5）、（）、（5-6）代入上式，得）代入上式，得 el111上式也可寫為上式也可寫為 eB（4-7）式中式中B為應變矩陣為應變矩陣 111lBBBji（4-8）

14、由應力應變關系由應力應變關系 （3）應力矩陣）應力矩陣E將式（將式（5-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（4-9）式中式中S為應力矩陣為應力矩陣 11lES（4-10）(4) 單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣仍按下式推出單元剛度矩陣仍按下式推出 dvBDBkvTe對于等截面鉸接桿單元（截面積為對于等截面鉸接桿單元（截面積為A ） ，v=Adx，故有：故有： dxBDBAkvTe(5-11) (5) 等效節點力等效節點力 單元上作用分布力單元上作用分布力px，則等效節點力計算公式仍，則等效節點力計算公式仍為以下形式為以下形式 dxpNFxTe當分布力集度當分布力集度px為常數時，有

15、為常數時，有 112)()(1lpdxpxxxxlFxxijxxepjix（4-13）)()(1xxxxlNNNijji1111lEAke（4-12）將式（將式（3-8）代入上式，得）代入上式，得例例4-1 一維拉桿一維拉桿圖示階梯形直桿，各段圖示階梯形直桿，各段長度均為，橫截面積分長度均為，橫截面積分別為別為3A，2A，A，材料，材料重度為重度為，彈性模量，彈性模量E。求結點位移和各段桿中求結點位移和各段桿中內力。內力。離散化：將單元劃分為離散化：將單元劃分為3個單元，個單元，4個結點。個結點。單元剛度矩陣：單元剛度矩陣： 2111113) 1 (lAEk1 23211112)2(lAEk2

16、 3431111)3(lAEk3 41111lEAke等效結點荷載：按靜力等效原則，有等效結點荷載：按靜力等效原則，有:1123)1(lAF1122)2(lAF112)3(lAF對號入座，組成總剛，形成整體結構平對號入座，組成總剛，形成整體結構平衡方程衡方程:FK設結點設結點1的約束反力為的約束反力為F1，則有，則有: 整體結構平衡方程整體結構平衡方程lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321劃去節點劃去節點1所對應的第所對應的第1行、行行、行1列列 。解得結點位移解得結點位移Eluuu21351101320252432Elu

17、EluElu24232281981587單元應力單元應力單元軸力單元軸力EAN單元應變單元應變luuijElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(21872、平面、平面桁架桁架桿單元（桿單元（2D LINK1） 1 2 3 4ijxyl（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量 4321e 1 2 3 4ijxy看成局部坐看成局部坐標下的拉壓桿標下的拉壓桿01011lBBBji（4-15）應力矩陣應力矩陣0101lES（4-16）應變矩陣應變矩陣0000010100000101lEAke（4-17）1111lEAke單元剛度矩陣單元剛度矩陣 0)(0)(1xxxx

18、lNij（4-14）形函數形函數010120)(0)(1plpdxxxxxlFijxxepji（4-16）等效節點力等效節點力 靜力等效靜力等效ijxylz3、空間桿單元（、空間桿單元（3D LINK8）（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量 1 2 4 5 3 6 Te654321（4-18） （2）形函數）形函數00)(00)(1xxxxlNij（4-19） （3）應變矩陣）應變矩陣（4-20）0010011lB （4）應力矩陣）應力矩陣 001001lES（4-21） (5) 等價節點力等價節點力 TeplF0010012（4-22） (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛

19、度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，對于等截面鉸接桿單元，（4-23）000000000000001001000000000000001001lEAke1111lEAke1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐標下單元位移和單元力）局部坐標下單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjiiTevv4321（4-24）其中，其中， vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（4-26）其中，其中， Q剪力剪力 M彎矩彎矩3322dxvdEIQd

20、xvdEIM（4-27）dxdv（2）位移函數和形函數）位移函數和形函數342321)(xaxaxaaxv（4-28） 位移模式位移模式 設單元坐標位移模式為設單元坐標位移模式為 形函數形函數 由單元兩端點的節點位移條件，解出式（由單元兩端點的節點位移條件，解出式（4-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫。再代入該式，可將位移模式寫為以下形式：為以下形式： ijxy 1 2 3 4l梁單元內一點有梁單元內一點有2個位移：個位移： v、 因為，因為， =dv/dx；僅一個位僅一個位移是獨立的，取移是獨立的，取 v 。eNxv)(（4-29）式中式中4321NNNNN

21、（4-30）232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-31）（3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 b與節點位移與節點位移e的關系。的關系。 梁單元上任一點的應變和該點撓度之間關系為：梁單元上任一點的應變和該點撓度之間關系為： 1xy22dxvdyb（4-32）1y 22tandxvdyyyb 1將式（將式（4-29）代入（）代入（4-32），得單元彎曲應變和單元位），得單元彎曲應變和單元位移之間關系移之間關系（4-34） )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321B

22、BBBB ebB（4-33）（4）應力矩陣）應力矩陣eNxv)( eebbSBEE（4-35）DB22dxvdyb (5) 等效節點力等效節點力 對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時可將其作用點取為結點，按結構的節點載荷處理。可將其作用點取為結點，按結構的節點載荷處理。 這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉化為等價節這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉化為等價節點力問題。點力問題。xyijlpy(x)（4-36） dxxpNFyTlepy)(0 將形函數矩陣將形函數矩陣N代入上式，積分可得分布荷載的代入上式，積分可得分布荷載的等效結點力。表等效結

23、點力。表1給出了幾種特殊情況的等價節點力。給出了幾種特殊情況的等價節點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價節點力幾種橫向分布荷載等價節點力 表表 1(6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為將式（將式（4-34）代入上式進行積分，并注意到）代入上式進行積分，并注意到Iz梁截面對梁截面對Z軸（主軸）的慣性矩軸（主軸）的慣性矩得單元坐標單元剛度矩陣得單元坐標單元剛度矩陣ke:Az

24、dAyI2（4-37） dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 單元剛度矩陣式單元剛度矩陣式(5-38)適合于適合于連續梁連續梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223（4-38）整體坐標與局部坐標方向一致。例例4-2 變截面梁變截面梁有一變截面梁，一端固定，另一端鉸支。梁長為有一變截面梁，一端固定，另一端鉸支。梁長為2l，固支端的截面盡寸為固支端的截面盡寸為b1.6h，鉸支端的截面尺寸為，鉸支端的截面尺寸為bh。梁上作用均布

25、載荷。梁上作用均布載荷p0。求梁端的約束反力。求梁端的約束反力。xy離散化離散化 將梁劃分成將梁劃分成2個單元，個單元，3個結點。每個單元個結點。每個單元 長長度為度為,截面取平均截面。截面取平均截面。0)1 ()1 (04. 345. 1IIhbA0)2()2(52. 115. 1IIhbA單元剛度矩陣單元剛度矩陣jilllllllllllllEIk2222346612266122661226612ij324661226612266124661252. 1222230)2(lllllllllllllEIk214661226612266124661204. 3222230)1(llllllll

26、lllllEIk 1 2 2 3對號入座，組合整體剛度矩陣對號入座，組合整體剛度矩陣 321233633633624363661226612266124661204. 32222222230lllllllllllllllllllllllllEIK 1 2 3荷載等效結點力向量荷載等效結點力向量2112/2/12/2/200200)1 (lplplplpFd3212/2/12/2/200200)2(lplplplpFd約束反力向量約束反力向量TBAAeRMRF000 1 2 312/2/012/2/12/2/012/2/00020002002000200lplpRlplpMlpRlplplplp

27、lpRMRFFFBAABAAde總荷載向量總荷載向量引入邊界條件引入邊界條件 0, 0, 0311vv將整體平衡方程中對應的將整體平衡方程中對應的1、2、5行和總剛中行和總剛中1、2、5列刪去列刪去 ，得，得 12/02363331804. 3200322222230lplpvlllllllllEI解方程組，得結點位移值解方程組，得結點位移值0303030204020889. 0003420388. 0EIlpEIlPEIlpv將結點位移值代入整體平衡方程，可得約束反力將結點位移值代入整體平衡方程，可得約束反力lpRlpMlpRBAA02000708,583. 0,29. 12、兩端承受軸力、

28、剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元 （平面剛架，（平面剛架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4（1）單元坐標單元位移和單元力）單元坐標單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjjiiiTevuvu654321（4-39）其中，其中， ux方向（軸向）位移。方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（4-40）其中，其中， N軸向力軸向力 Q剪力剪力 M彎矩彎矩 對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形對于小變形問

29、題，可以認為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，位移模式和形函數可以分別按互不影響，因此，位移模式和形函數可以分別按4.3節節一維拉壓桿單元一維拉壓桿單元和和彎剪平面梁單元彎剪平面梁單元的結果（式的結果（式4-3和式和式4-28）簡單集合而成。）簡單集合而成。（2）位移函數和形函數）位移函數和形函數 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4（4-41）xaau21362543xaxaxaav 形函數形函數式中形函數式中形函數N為：為： eNvuf（4-42） 653241000000NNNNNNN（4-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(

30、/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 與節點位移與節點位移e的關系：的關系： 軸剪彎梁單元軸剪彎梁單元上任一點的應變，應為該點撓度上任一點的應變，應為該點撓度（v）引起的應變和軸向位移（）引起的應變和軸向位移（u）引起的應變之和。）引起的應變之和。單元應變矩陣為：單元應變矩陣為：eB654321BBBBBBB （4-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（4-45） (5) 等價節點力等價節點力 xyijl圖

31、圖4-9qy(x) （4）應力矩陣）應力矩陣 eeSBEE（4-46）qx 將式彎剪梁（將式彎剪梁（4-36）、一維桿（）、一維桿（4-11）膨脹成）膨脹成61矩陣后相加，并注意到式（矩陣后相加，并注意到式（4-43），有），有（4-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00（4-11）112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix一維桿彎剪梁最后得等價節點力矩陣最后得等價節點力矩陣dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（4-47）荷載分布NiQiMiN

32、jQjMj幾種橫向分布荷載等價節點力幾種橫向分布荷載等價節點力 表表 22lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze46026061206120000026046061206120

33、0000222323222323（4-48）3、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受扭矩和面外剪力、彎矩的平面梁單元 (面外彎剪扭梁單元）面外彎剪扭梁單元）ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2 3 4 5 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 由于結構本身是平面結構，而節點也是由于結構本身是平面結構，而節點也是3個自由個自由度，所以仍稱為平面梁單元。此類單元適用于受度，所以仍稱為平面梁單元。此類單元適用于受面面外荷載的平面框架外荷載的平面框架。 x、Mx截面繞扭心軸截面繞扭心軸x

34、的扭轉角和相應扭矩。的扭轉角和相應扭矩。 y、My截面繞截面繞y軸的彎曲轉角和相應彎矩。軸的彎曲轉角和相應彎矩。 w、Q截面形心沿截面形心沿z軸的橫向位移和相應橫向剪力。軸的橫向位移和相應橫向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉之如果截面形心和扭心不重合，則彎曲和扭轉之間是相互不獨立的。這里只討論間是相互不獨立的。這里只討論截面形心與扭心重截面形心與扭心重合或可以近似認為重合的情形合或可以近似認為重合的情形，彎曲和扭轉之間是，彎曲和扭轉之間是相互獨立的。相互獨立的。 另外，另外，扭轉僅限于純扭轉或稱均勻扭轉。扭轉僅限于純扭轉或稱均勻扭轉。其特點其特點是扭矩和扭率（單位長度上的相對扭轉

35、角）成正比。是扭矩和扭率（單位長度上的相對扭轉角）成正比。即即lGJMxixjxj（4-49）扭矩平衡條件扭矩平衡條件0 xjxiMM（4-50）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（4-51）式中：式中：GJ為截面扭轉剛度。為截面扭轉剛度。只需要將式（只需要將式（5-48）中的）中的Iz換成換成Iy，并注意編號次序。，并注意編號次序。同時考慮到式（同時考慮到式（5-51），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEI

36、lEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（4-52） 4、空間梁單元、空間梁單元(BEAM4) 空間梁單元，每個節點有空間梁單元，每個節點有6個自由度，單元自由度個自由度，單元自由度為為12。下圖給出了空間梁單元節點位移分量的正方向。下圖給出了空間梁單元節點位移分量的正方向及其編號。單元力的正向及其編號與單元位移相同。及其編號。單元力的正向及其編號與單元位移相同。ijlxyzui xivi yiwi zivj yjwj zjuj xjijlxyz142536811912710 綜合前述結果，得空間梁單元單元坐標單元剛綜合前述結果，得空間梁單元單元坐標單元剛度矩陣度矩陣

37、(式式4-53）（式）（式4-57）。）。 4321kkkkke（4-53）軸彎剪(4-48）、彎剪扭（4-52）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223231（4-54）zyxzyxwvulEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006012006000120000002223232（5-55）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz2000600206000000006

38、012006000120000002223233（5-56）lEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEIlEIlEAkzzyyyyzz4000600406000000006012006000120000002223234（5-57） 在前面兩節中，單元位移和單元力都是按單元坐標在前面兩節中，單元位移和單元力都是按單元坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。單元坐標單元剛度矩陣。 進行系統分析時，需要把單元力按統一的結構坐標軸進行系統分析時，需要把單元力按統一的結構坐標軸的分量表示出來，以便建立結點平衡方程。因

39、此，在進行的分量表示出來，以便建立結點平衡方程。因此，在進行系統分析之前，必須把單元坐標系中的單元力以及單元剛系統分析之前，必須把單元坐標系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉換到結構坐標系中去。此外，還需要把結構坐度矩陣都轉換到結構坐標系中去。此外，還需要把結構坐標系中的節點位移轉換到單元坐標系中去，以計算結構內標系中的節點位移轉換到單元坐標系中去，以計算結構內力。這一轉換過程稱為力。這一轉換過程稱為坐標變換。坐標變換。(一維桿和彎剪梁單元一維桿和彎剪梁單元不需要坐標變換，因兩種坐標系統方向一致不需要坐標變換，因兩種坐標系統方向一致)結構坐標結構坐標符號約定：符號約定： 結構坐標單元位移結構坐標單

40、元位移 F 結構坐標單元力結構坐標單元力 k結構坐標單元剛度矩陣結構坐標單元剛度矩陣單元坐標中的符號約定：單元坐標中的符號約定：e單元坐標單元位移單元坐標單元位移 F e單元坐標單元力單元坐標單元力 ke單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣1、坐標變換矩陣定義、坐標變換矩陣定義 把單元位移從結構坐標系轉換到單元坐標系的變把單元位移從結構坐標系轉換到單元坐標系的變換矩陣定義為換矩陣定義為坐標變換矩陣坐標變換矩陣，用符號，用符號T表示。有表示。有 式（式（4-58）給出了結構坐標單元位移轉換為單元）給出了結構坐標單元位移轉換為單元坐標單元位移的轉換式，同時是坐標變換矩陣坐標單元位移的轉換式，同

41、時是坐標變換矩陣T的的定義式。定義式。 Te（4-58）2、結構坐標單元力、結構坐標單元力 單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改變而變。則有的改變而變。則有 TeTeFF)(將式（將式（4-58）代入，）代入， TTeFTF)(消去消去，得，得 TTeFTF)( TTeFTF)(對上式兩端進行轉置，注意到對上式兩端進行轉置，注意到TTTABBA TTeFTF)(即得即得 eTFTF （4-59）式（式（4-59）表明：）表明：結構坐標單元力等于單元坐標單元結構坐標單元力等于單元坐標單元力前乘坐標變換矩陣的轉置。力前乘坐標變換矩陣的轉置。在單元坐標系中

42、，有在單元坐標系中，有 eeekF 3、結構坐標單元剛度矩陣、結構坐標單元剛度矩陣上式兩端左乘上式兩端左乘TT， eeTeTkTFT注意到式（注意到式（4-58）、（）、（4-59），有），有 Te（4-58） eTFTF （4-59） TkTFeT kF k結構坐標單元剛度矩陣。結構坐標單元剛度矩陣。得得 TkTkeT（4-60） 式（式（4-60）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉換）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉換為結構坐標單元剛度矩陣的轉換式。為結構坐標單元剛度矩陣的轉換式。引入引入 坐標變換矩陣因單元類型不同而異。坐標變換矩陣因單元類型不同而異。1、平面鉸接桿單元（桁架元）、平面鉸接桿單

43、元（桁架元） 設設OXY為結構坐標，為結構坐標，oxy為單元坐標。為單元坐標。 為從單為從單元元 i 端出發的任一矢量。它在結構坐標系中的分量端出發的任一矢量。它在結構坐標系中的分量為為 X、 Y, 在單元坐標系中的分量為在單元坐標系中的分量為 x、 y。結構坐。結構坐標系中的分量標系中的分量 X、 Y 在單元坐標在單元坐標x軸上投影軸上投影的代數和的代數和給出給出 x 。同理，。同理， X、 Y 在單元坐標在單元坐標y軸上投影軸上投影的代的代數和給出數和給出 y 。cossinsincosYXyYXx（4-61）寫成矩陣形式，寫成矩陣形式，ia+abxyi XY X Y x y bacdcd

44、-caYXyxcossinsincos取取iiYXeiiyxvuvu,eiivuiivui節點在單元坐標系中的位移向量節點在單元坐標系中的位移向量i節點在結構坐標系中的位移向量節點在結構坐標系中的位移向量x對對X、Y的方向余弦的方向余弦y對對X、Y的方向余弦的方向余弦iieiivuvucossinsincos同理可得單元同理可得單元j節點在單元坐標系和結構坐標系中的位節點在單元坐標系和結構坐標系中的位移向量：移向量：jjYXejjyxvuvu,jjejjvuvucossinsincos有有組合上述結果，得平面鉸接桿單元的單元坐標單元位組合上述結果，得平面鉸接桿單元的單元坐標單元位移和結構坐標單

45、元位移之間關系：移和結構坐標單元位移之間關系：jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincosiieiivuvucossinsincosjjejjvuvucossinsincos i、j兩節點間的位移變換關系互不耦合。兩節點間的位移變換關系互不耦合。上式可寫成上式可寫成 Te坐標變換矩陣坐標變換矩陣T的計算式：的計算式：（4-62） cossin00sincos0000cossin00sincosT 2、彎剪平面梁單元、彎剪平面梁單元 如果在連續梁中使用這類單元，通常可將單元坐如果在連續梁中使用這類單元，通常可將單元坐標和結構坐標方向取得一致。

46、此時，無須進行坐標變標和結構坐標方向取得一致。此時，無須進行坐標變換。換。ij(e)XYij(e)xyijxy 2 3 5 6l 1 4ZzZzMM 于是得到：于是得到：XY 由于由于 1 、 2 、 4、 5的性質和平面鉸接桿相同的性質和平面鉸接桿相同，因，因而有而有相同的相同的T矩陣矩陣。又因。又因單元坐標系單元坐標系xy平面和結構坐平面和結構坐標系標系XY平面在同一平面上，平面在同一平面上， 因而因而單元坐標系單元坐標系z軸和結軸和結構坐標系的構坐標系的Z軸總有相同指向軸總有相同指向，所以恒有：，所以恒有：3、軸剪彎平面梁單元（剛架）、軸剪彎平面梁單元（剛架） 1000000sincos

47、0000sincos0000001000000cossin0000sincosT（4-63） zjjjziiiezjjjziiivuvuTvuvuijxyz 4、面外彎剪扭平面梁單元、面外彎剪扭平面梁單元 此時，此時，xy平面和結構坐標系平面和結構坐標系XY平面仍在同一平面平面仍在同一平面上，因而上，因而z軸和結構坐標系的軸和結構坐標系的Z軸指向相同軸指向相同，只須取，只須取l xi xj yi yjWiWjXYZ在單元坐標系中，單元每個節點（如在單元坐標系中，單元每個節點（如i）有）有3個位移分個位移分量：量： xi、 yi和和wi它的變換式和承受軸彎剪平面梁單元中向量它的變換式和承受軸彎剪

48、平面梁單元中向量eiivu的變換式相同。的變換式相同。 并且恒有并且恒有ieiWW ijxyvi ivj jluiujeyixi向量向量因此，變換矩陣與軸彎剪平面梁單元相同。因此，變換矩陣與軸彎剪平面梁單元相同。軸彎剪平面梁單元軸彎剪平面梁單元由此知：由此知： jYjXjiYiXiejyjxjiyixieWWTTWW其中，坐標變換矩陣其中，坐標變換矩陣T與軸彎剪平面梁單元相同。與軸彎剪平面梁單元相同。 設向量設向量 在單元坐標系和結構坐標系兩個坐標系在單元坐標系和結構坐標系兩個坐標系中的分量被表示中的分量被表示 為：為：xyzij 1 2 3 4 5 65、空間桿單元、空間桿單元 空間桿單元的

49、每個節點有空間桿單元的每個節點有3個相互垂直的線位移個相互垂直的線位移分量（分量（u、v、w）。單元自由度為）。單元自由度為6，如下圖。，如下圖。XYZxyz ZYXzyxe, x、 y、 z、向量向量 在單元坐標軸上的分量在單元坐標軸上的分量 X、 Y、 Z、向量向量 在結構坐標軸上的分量在結構坐標軸上的分量有有 333231232221131211（4-65） 是坐標系的旋轉矩陣，是單元坐標軸是坐標系的旋轉矩陣，是單元坐標軸x、y、z在在結構坐標系結構坐標系XYZ中的方向余弦：中的方向余弦： 11、 12、 13x軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、 22、

50、23y軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、 32、 33z軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 e（4-64） 容易理解，式（容易理解，式（4-64）可代表）可代表空間鉸接桿中一個空間鉸接桿中一個節點的節點位移坐標變換。空間桿單元有節點的節點位移坐標變換。空間桿單元有2個個節點，節點，所以坐標變換矩陣一般可表示為：所以坐標變換矩陣一般可表示為： 00R（4-66）下面討論下面討論 矩陣中元素矩陣中元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3)。 對于空間桿單元，無論單元在結構中的位置如何，對于空間桿單元，無論單元在結構中的位置如何，都可以把單元

51、坐標系的都可以把單元坐標系的xy面面和結構坐標系的和結構坐標系的XY面面取取成豎向平面，單元坐標系的成豎向平面，單元坐標系的z軸和結構坐標系的軸和結構坐標系的Z軸同軸同在水平面內。在水平面內。xyzXYZ i j lj x軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦：jXjZ任一單元任一單元ij的長度為的長度為l。單元坐標系中。單元坐標系中x軸從軸從i指向指向j，lZZlYYlXXijijij131211,（4-67）Xi、Yi、Zi節點節點i在結構坐標系中的坐標在結構坐標系中的坐標Xj、Yj、Zj節點節點j在結構坐標系中的坐標在結構坐標系中的坐標z軸在結構坐標系中的軸在結構坐

52、標系中的3個方向余弦：個方向余弦： 注意到注意到Y軸、軸、x軸和線段軸和線段ij 在同一豎直平面內。在同一豎直平面內。z軸在水平面內，軸在水平面內， z軸與軸與Y軸垂直，軸垂直， z軸也與軸也與線段線段ij 垂直。垂直。z軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦為：個方向余弦為：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（4-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111133cos),cos(Zz（4-68）y軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦：引入記號：引入記號

53、： i1、i2、i3結構坐標系中結構坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量e1、e2、e3單元坐標系中單元坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有132eee按矢量乘法規則，即得按矢量乘法規則，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()()(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（4-

54、69）綜合式（綜合式（4-67）、（）、（4-68）、（）、（4-69），得空間桿單），得空間桿單元的元的 矩陣矩陣 2132111121321113213211131221321121321112111312110(4-70) 必須指出：對于豎直空間桿單元，式（必須指出：對于豎直空間桿單元，式（4-70）是）是不能用的，因為不能用的，因為 112+ 132 =0，將導致計算溢出。，將導致計算溢出。lZZlYYlXXijijij131211,（4-67）豎直空間鉸接桿單元豎直空間鉸接桿單元 豎直的空間鉸接桿單元不外有下圖示出的兩種情豎直的空間鉸接桿單元不外有下圖示出的兩種情況：況：XYZijx

55、yzXYZijxyz（a）（b） 對于豎直的空間桿單元，單元坐標系中的對于豎直的空間桿單元，單元坐標系中的z軸方軸方向沒有特殊限制，水平面內任何方向皆可取作向沒有特殊限制，水平面內任何方向皆可取作z軸方軸方向。為了計算簡便起見，這里規定：向。為了計算簡便起見，這里規定： z軸方向與結構坐標系中的軸方向與結構坐標系中的Z軸方向相同。軸方向相同。 根據上圖容易確定單元坐標軸根據上圖容易確定單元坐標軸x、y、z在結構在結構坐標系中的方向余弦，從而直接得到坐標系中的方向余弦，從而直接得到 矩陣：矩陣： 10000001212（4-71） 333231232221131211X與x為90，Y與x為0或1

56、80；Z與x為06、空間梁單元、空間梁單元空間梁單元與空間桿單元相比，有以下兩個特點：空間梁單元與空間桿單元相比，有以下兩個特點：特點特點1：每個節點有沿單元坐標軸方向的兩組位移：每個節點有沿單元坐標軸方向的兩組位移 向量，即線位移（向量，即線位移（ui、vi、wi）和角位移）和角位移 （ xi、 yi、 zi）。它們都需要坐標變換。）。它們都需要坐標變換。因此，坐標變換矩陣應為因此，坐標變換矩陣應為 T00（4-72）特點特點2：空間梁單元單元坐標系中的空間梁單元單元坐標系中的y、z軸是單元橫截軸是單元橫截面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確定的，面上的兩個慣性主軸，可能是不能任意確定的，因

57、而因而無法保證無法保證z軸一定在水平面內軸一定在水平面內，即，即 在結構坐在結構坐標系中的標系中的XZ平面內。這就導致平面內。這就導致 矩陣的計算變矩陣的計算變得比空間桿復雜得多。得比空間桿復雜得多。 但有兩種情況可以空間桿單元的但有兩種情況可以空間桿單元的 矩矩 陣。陣。 具有軸對稱截面的梁單元具有軸對稱截面的梁單元 截面內過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，截面內過形心的任一根軸皆可作為慣性主軸。因而，恒可將恒可將z軸取在水平面內軸取在水平面內。 對于對于豎直豎直空間梁單元，也可使空間梁單元，也可使z軸與結構坐標系的軸與結構坐標系的Z軸重合。因而可用豎直鉸接桿單元的軸重合。因而可用豎直

58、鉸接桿單元的 矩陣。矩陣。 截面有一根慣性主軸軸在水平面內截面有一根慣性主軸軸在水平面內 可使用一般空間桿單元的可使用一般空間桿單元的 矩陣（式（矩陣（式（4-70）和（和（4-67）進行計算。必須指出，如果是單元）進行計算。必須指出，如果是單元是豎直的，且能保證單元坐標是豎直的，且能保證單元坐標z軸與結構坐標軸與結構坐標Z軸軸重合，使用豎向桿單元的重合，使用豎向桿單元的 矩陣。矩陣。 對于對于沒有截面慣性主軸在水平面內沒有截面慣性主軸在水平面內的空間梁單的空間梁單元，就不能使用空間鉸接桿單元元，就不能使用空間鉸接桿單元 矩陣。選擇結構矩陣。選擇結構坐標系坐標系XYZ，單元坐標系，單元坐標系xyz。并使：。并使：x軸沿軸沿ij，y、z是梁截面的兩個慣性主軸。是梁截面的兩個慣性主軸。 XYZxyz(b)1e3e2e 在單元坐標系的在單元坐標系的3個坐標軸上分別取個坐標軸上分別取3個單位矢個單位矢量：量： e1、e2、e3。結構坐標系中。結構坐標系中3個坐標軸上的單位個坐標軸上的單位矢量為矢量為i1、i2、i3 。yzXYZ(a)xXYZxyz3e2e3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie 11、 12 、 13由式（由式（4-67）確定，是已知的，）確定，是已知的，