1、第二章 平面向量一、根底知識理解去記定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時(shí)用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a. |a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為向量【最近幾年常考】。定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量或共線向量，規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結(jié)合律。定理1 向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法那么。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)0，使得a=f定理

2、3 平面向量的根本定理，假設(shè)平面內(nèi)的向量a, b不共線，那么對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。定義3 向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，那么x, y叫做c坐標(biāo)。定義4 向量的數(shù)量積，假設(shè)非零向量a, b的夾角為，那么a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也稱內(nèi)積，其中|b|cos叫做b在a上的投影注：投影可能為負(fù)值。定理4 平面向

3、量的坐標(biāo)運(yùn)算：假設(shè)a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a·(b+c)=a·b+a·c，3a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定義5 假設(shè)點(diǎn)p是直線p1p2上異于p1，p2的一點(diǎn)，那么存在唯一實(shí)數(shù)，使，叫p分所成的比，假設(shè)o為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，那么。由此可得假設(shè)p1，p，p2的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，那么定義6 設(shè)

4、f是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個圖形，將f上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x, y)是f上任意一點(diǎn)，平移到上對應(yīng)的點(diǎn)為，那么稱為平移公式。定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|a|·|b|，并且|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)閨a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|a·b|0, |a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法那么及直線段最短定理可得|a+b

5、|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1對n維向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同樣有|a·b|a|·|b|，化簡即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|a·b|0, |a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法那么及直線段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1對n維向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同樣有|a·b|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+

6、xnyn)2。2對于任意n個向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、根底例題【必會】1向量定義和運(yùn)算法那么的運(yùn)用例1 設(shè)o是正n邊形a1a2an的中心，求證：【證明】 記，假設(shè)，那么將正n邊形繞中心o旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以例2 給定abc，求證：g是abc重心的充要條件是【證明】必要性。如下圖，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為d，e，f，延長ad至p，使dp=gd，那么又因?yàn)閎c與gp互相平分，所以bpcg為平行四邊形，所以bgpc，所以所以充分性。假設(shè)，延長ag交bc于d，使gp=ag，連結(jié)cp，那么因?yàn)椋敲矗詆bcp，所

7、以ag平分bc。同理bg平分ca。所以g為重心。例3 在凸四邊形abcd中，p和q分別為對角線bd和ac的中點(diǎn)，求證：ab2+bc2+cd2+da2=ac2+bd2+4pq2。【證明】 如下圖，結(jié)結(jié)bq，qd。因?yàn)椋?·= 又因?yàn)橥?， ， 由，可得。得證。 2證利用定理證明共線例4 abc外心為o，垂心為h，重心為g。求證：o，g，h為共線，且og：gh=1：【證明】 首先=其次設(shè)bo交外接圓于另一點(diǎn)e，那么連結(jié)ce后得ce又ahbc，所以ah/ce。又eaab，chab，所以ahce為平行四邊形。所以所以，所以，所以與共線，所以o，g，h共線。所以og：gh=1：2。3利用

8、數(shù)量積證明垂直例5 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6 abc內(nèi)接于o，ab=ac，d為ab中點(diǎn)，e為acd重心。求證：oecd。【證明】 設(shè)，那么，又，所以a·(b-c). 因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|oh|2又因?yàn)閍b=ac，ob=oc，所以oa為bc的中垂線。所以a·(b-c)=0. 所以oecd。4向量的坐標(biāo)運(yùn)算例7 四邊形abcd是正方形，be/ac，ac=ce，ec的延長線

9、交ba的延長線于點(diǎn)f，求證：af=ae。【證明】 如下圖，以cd所在的直線為x軸，以c為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，那么a，b坐標(biāo)分別為-1，1和0，1，設(shè)e點(diǎn)的坐標(biāo)為x, y，那么=(x, y-1), ，因?yàn)椋?x-(y-1)=0.又因?yàn)椋詘2+y2=2.由，解得所以設(shè)，那么。由和共線得所以，即f，所以=4+，所以af=ae。三、趨近高考【必懂】1.成都市高三第三次診斷理科向量a(3,2),b(2,1),那么|a2 b|的值為( )(a)3(b)7 (c) (d)【答案】c【解析】因?yàn)閍2 b(1,4) 故|a2 b|2. (綿陽市4月高三三診理科試題)向量a、b不共線，假

10、設(shè)向量a+b與b+a的方向相反，那么= c a1b0 c-1 d±1 3雅安市高三第三次診斷性考試?yán)砜茷榉橇阆蛄浚瘮?shù)，那么使的圖象為關(guān)于軸對稱的拋物線的一個必要不充分條件是( c ) abcd4資陽市 度高三第三次高考模擬理平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)a(1，1)，b(2，4)，c(1，3)，那么 b abc8d105瀘州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜迫鐖D：正六邊形a b c d6.四川省攀枝花市4月高三第二次統(tǒng)考文科試題，那么向量與向量的夾角是 c a. b. c. d. 是非零向量且滿足，那么的夾角是 a abcd二、填空題：是的充分不必要條件；假設(shè)函數(shù)滿足，那么是周期函數(shù)；如果一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)都加上同一個非零常數(shù)c，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都改變。9.眉山市4月高三第二次診斷性考試?yán)砜圃O(shè)是平面內(nèi)的四個向量，其中與的夾角為，對這個平面內(nèi)的任一個向量，規(guī)定經(jīng)過一次“斜二測變換得到向量，設(shè)向量，那么經(jīng)過一次“斜二測變換得到向量的模是_.10省瀘州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜葡蛄浚?，那么 5 .11瀘州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試文科向量，假設(shè)與垂直，那么 2 .12.四川省攀枝花市4月高三第二