1、7.5 直線與平面垂直一、選擇題1設m、n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是()若m，n，則mn；若，m，則m；若m，n，則mn；若，則.A和 B和 C和 D和答案：A2二面角l的大小為銳角，Pl，PA，PB且PAl，則()AAPB的最大值等于二面角的平面角BAPB的最小值等于二面角的平面角C二面角的平面角既不是APB的最大值，也不是APB的最小值DAPB就是二面角的平面角解析：如右圖，在平面內作PCl，則APC為二面角的平面角，cosAPBcosBPC·cosAPCcosAPC，即APBAPC，故選B.答案： B3二面角AB的平面角是銳角，C

2、，CD，垂足為D，EAB，且CEB是銳角，則CEB與DEB的大小關系為()ACEBDEB BCEBDEBCCEBDEB DCEB與DEB的大小關系不確定解析：如下圖：作DFAB垂足為F，連結CF由三垂線定理知CFD為二面角的平面角，可知CED，DEB均為銳角，cosCEBcosDEB·cosCEDcosDEB，即CEBDEB.答案： A4矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為()A. B. C. D.答案： C二、填空題5、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：mn；n；m，以其中三

3、個論斷作為條件，剩余的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題_答案：可填與中的一個6一條線段的兩個端點分別在一個直二面角的兩個面內，則這條線段與這兩個平面所成的角的和的范圍是_解析：作ACl垂足為C，作BDl垂足為D，連結BC、AD，則BAD和ABC分別為直線AB和平面和所成角由cosABDcosABC·cosDBCcosABC，即ABDABC，ABCBADABDBAD90°.答案：(0°，90°7已知P是ABC所在平面外一點，O是點P在平面內的射影(1)若P到ABC的三個頂點的距離相等，則O是ABC的_；(2)若PA、PB、PC與平面所成的角相等，

4、則O是ABC的_；(3)若P到ABC三邊距離相等，且O在ABC的內部，則O是ABC的_；(4)若平面PAB、PBC、PCA與平面所成的角相等，且O在ABC的內部，則O是ABC的_；(5)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是ABC的_答案：(1)外心(2)外心(3)內心(4)內心(5)垂心三、解答題8若P為ABC所在平面外一點，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求證：BCAC.證明：平面PAC平面PBC，作ADPC垂足為D，根據平面與平面垂直的性質定理知：AD平面PBC，則BCAD，又PA平面ABC，則BCPA，BC平面PAC.因此BCAC.9如右圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方

5、形，側面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，(1)證明AB平面VAD；(2)求面VAD與面VBD所成的二面角的正切值解答：(1)證明：平面VAD底面ABCD，又ABAD，則AB平面VAD.(2)取VD中點E，連結AE、BE，VAD是正三角形，則AEVD，由三垂線定理知BEVD.AEB為面VAD與面VBD所成二面角的平面角設AB1，在RtAED中，AEADsin 60°，tanAEB.10如下圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是棱AD的中點，求二面角ABD1P的大小解答：AB平面AD1P，平面AD1P平面AD1B.過P作PEAD1垂足為E，則PE平面AD1B，作EFB

6、D1，連結PF，則由三垂線定理知PFBD1，則PFE為二面角ABD1P的平面角，設AB1，RtAEPRtADD1，PE，在等腰PBD1中，BP，BFBD1，PF，在RtPEF中，sinPFE，PFE30°.1如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD.已知ABC45°，AB2，BC2，SASB.(1)證明SABC；(2)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值解答：(1)證明：作SOBC，垂足為O，連結AO，由側面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因為SASB，所以AOBO.又ABC45°，故AOB為等腰直角三角形，AOBO，由三

7、垂線定理，得SABC.(2)由(1)知SABC，依題設ADBC，故SAAD，由ADBC2，SA，AO，得SO1，SD.SAB的面積：S1AB·.連結DB，得DAB的面積S2AB·ADsin 135°2.設D到平面SAB的距離為h，由VDSABVSABD，得h·S1SO·S2，解得h.設SD與平面SAB所成角為，則sin .所以，直線SD與平面SAB所成的角正弦值為.2如下圖，已知四棱錐PABCD，PBAD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.(1)求點P到平面ABCD的距離；(2)求面APB與面CPB所成二面角的余弦值解答：(1)如下圖，作PO平面ABCD，垂足為O，連結OB、OA、OD，OB與AD交于E，連結PE，ADPB，ADOB，PAPD，OAOD，于是OB平分AD，點E為